ウィック製品

確率論において、ウィック積は、イタリアの物理学者ジャン・カルロ・ウィックにちなんで名付けられ、一組のランダム変数の調整された積を定義する特別な方法です。最低次の積では、調整は平均値を減算することに相当し、平均がゼロになる結果が残ります。高次の積では、調整はランダム変数の低次の（通常の）積を対称的に減算することを含み、平均がゼロになる結果が再び残ります。ウィック積は、ランダム変数、その期待値、およびその積の期待値の多項式関数です。

ウィック積の定義は、ただちに単一のランダム変数のウィック累乗につながり、これにより、べき級数展開における通常の累乗をウィック累乗に置き換えることに基づいて、ランダム変数の他の関数の類似物を定義できるようになります。よく見られるランダム変数のウィック累乗は、ベルヌーイ多項式やエルミート多項式などの特殊関数で表現できます。

X ₁ , ..., X _{k は}有限モーメントを持つランダム変数であると仮定する。ウィック積

$${\displaystyle \langle X_{1},\dots ,X_{k}\rangle \,}$$

は、次のように再帰的に定義される積の一種である。^{[引用が必要]}

$${\displaystyle \langle \rangle =1\,}$$

（つまり、空積、つまりランダム変数が全くない積は1である）。k ≥ 1の場合、次の要件を課す。

$${\displaystyle {\partial \langle X_{1},\dots ,X_{k}\rangle \over \partial X_{i}}=\langle X_{1},\dots ,X_{i-1},{\widehat {X}}_{i},X_{i+1},\dots ,X_{k}\rangle ,}$$

ここで、X _{i は}存在しないことを意味し、平均はゼロであるという制約が加わる。 ${\displaystyle {\widehat {X}}_{i}}$

$${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}\langle X_{1},\dots ,X_{k}\rangle {\bigr ]}=0.\,}$$

同様に、ウィック積は、単項式X ₁、...、X _{k を} 「ウィック多項式」として記述することによって定義できます。

$${\displaystyle X_{1}\dots X_{k}=\!\!\sum _{S\subseteq \left\{1,\dots ,k\right\}}\!\!\operatorname {E} \left[\textstyle \prod _{i\notin S}X_{i}\right]\cdot \langle X_{i}:i\in S\rangle ,}$$

ここで、 はウィック積を表します。これは、帰納的定義を満たすことが容易にわかります。 ${\displaystyle \langle X_{i}:i\in S\rangle }$${\displaystyle \langle X_{i_{1}},\dots ,X_{i_{m}}\rangle }$${\displaystyle S=\left\{i_{1},\dots ,i_{m}\right\}}.}$

すると、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle X\rangle =&\ X-\operatorname {E} [X],\\[4pt]\langle X,Y\rangle =&\ XY-\operatorname {E} [Y]\cdot X-\operatorname {E} [X]\cdot Y+2(\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [Y])-\operatorname {E} [XY],\\[4pt]\langle X,Y,Z\rangle =&\ XYZ\\&-\operatorname {E} [Y]\cdot XZ\\&-\operatorname {E} [Z]\cdot XY\\&-\operatorname {E} [X]\cdot YZ\\&+2(\operatorname {E} [Y])(\operatorname {E} [Z])\cdot X\\&+2(\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [Z])\cdot Y\\&+2(\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [Y])\cdot Z\\&-\operatorname {E} [XZ]\cdot Y\\&-\operatorname {E} [XY]\cdot Z\\&-\operatorname {E} [YZ]\cdot X\\&-\operatorname {E} [XYZ]\\&+2\operatorname {E} [XY]\operatorname {E} [Z]\\&+2\operatorname {E} [XZ]\operatorname {E} [Y]\\&+2\operatorname {E} [YZ]\operatorname {E} [X]\\&-6(\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [Y])(\operatorname {E} [Z]).\end{aligned}}}$$

物理学者の間で慣例となっている表記法では、ウィック積は次のように表記されることが多いです。

$${\displaystyle :X_{1},\dots ,X_{k}:\,}$$

そして山括弧表記

$${\displaystyle \langle X\rangle \,}$$

ランダム変数Xの期待値を表すために使用されます。

ランダム変数Xのn番目のウィック乗はウィック積である。

$${\displaystyle X'^{n}=\langle X,\dots ,X\rangle \,}$$

n個の因子を持つ。

多項式P _nの列は、

$${\displaystyle P_{n}(X)=\langle X,\dots ,X\rangle =X'^{n}\,}$$

アペル列を形成する、すなわちそれらは恒等式を満たす

$${\displaystyle P_{n}'(x)=nP_{n-1}(x),\,}$$

n = 0, 1, 2, ...であり、P ₀ ( x )はゼロ以外の定数です。

例えば、Xが区間[ 0, 1]に一様分布している場合、

$${\displaystyle X'^{n}=B_{n}(X)\,}$$

ここで、B _{n は}n次のベルヌーイ多項式です。同様に、Xが分散1の 正規分布に従う場合、

$${\displaystyle X'^{n}=H_{n}(X)\,}$$

ここでH _{n は}n次のエルミート多項式です。

$${\displaystyle (aX+bY)^{'n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{i}b^{ni}X^{'i}Y^{'{ni}}}$$

$${\displaystyle \langle \operatorname {exp} (aX)\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {a^{i}}{i!}}X^{'i}}$$

• ウィック製品シュプリンガー数学百科事典
• Florin Avram とMurad Taqqu (1987)「非心極限定理と Appell 多項式」、Annals of Probability、第 15 巻、第 2 号、767-775 ページ、1987 年。
• Hida, T. および Ikeda, N. (1967)「多重ウィーナー積分から生じる再生核を持つヒルベルト空間の解析」第 5 回バークレーシンポジウム「数学、統計学、確率」(カリフォルニア州バークレー、1965/66 年)。第 2 巻: 確率論への貢献、第 1 部、 pp. 117–143、カリフォルニア大学出版局
• ウィック、GC（1950）「衝突行列の評価」。Physical Rev. 80（2）、268-272。