演算（数学）

数学では、演算とは集合からそれ自体への関数です。たとえば、実数に対する演算は実数を受け取り、実数を返します。演算は、0 個以上の入力値 (「オペランド」または「引数」とも呼ばれます) を受け取り、明確に定義された出力値を得ることができます。オペランドの数は、演算の アリティです。

最も一般的に研究される演算は、加算や乗算などの二項演算（つまり、アリティが2の演算）と、加法逆や乗法逆などの単項演算（つまり、アリティが1の演算）です。アリティが0の演算、つまりヌル演算は定数です。^{[1] [2]}混合積は、三項演算とも呼ばれるアリティが3の演算の例です。

一般的に、アリティは有限であると考えられています。しかし、無限演算が考慮されることもあり、^[1]その場合、有限アリティの「通常の」演算は有限演算と呼ばれます。

部分操作は操作と同様に定義されますが、関数の代わりに 部分関数が使用されます。

演算には、単項演算と二項演算の2つの一般的な種類があります。単項演算は、否定や三角関数など、1つの値のみを扱います。^[3]一方、二項演算は2つの値を取り、加算、減算、乗算、除算、累乗が含まれます。^[4]

演算には数値以外の数学的対象も含まれる。論理値 trueとfalse はand、or、notなどの論理演算を使用して組み合わせることができる。ベクトルは加算および減算できる。^[5]回転は関数合成演算を使用して組み合わせることができ、最初の回転を実行してから2番目の回転を実行する。集合に対する演算には二項演算の和集合と積集合、および単項演算の補集合が含まれる。^{[6] [7] [8]}関数に対する演算には合成と畳み込みが含まれる。^{[9] [10]}

演算は、その定義域のすべての可能な値に対して定義できるとは限りません。たとえば、実数ではゼロで割ることも^[11]、負の数の平方根を取ることもできません。演算が定義される値は、定義域または有効定義域と呼ばれる集合を形成します。生成された値を含む集合は共域と呼ばれますが、演算によって得られる実際の値の集合は定義域、有効共域、像、または値域です。^[12]たとえば、実数では、2乗演算は非負の数のみを生成します。共域は実数の集合ですが、値域は非負の数です。

演算には異なるオブジェクトが関係することがある。ベクトルにスカラーを掛けて別のベクトルを形成する（スカラー乗算と呼ばれる演算）^[13]ことや、 2つのベクトルの内積演算によってスカラー量が得られる。^{[14] [15]演算には}結合性、可換性、反可換性、べき等性など 、特定の特性がある場合とない場合がある。

結合された値はオペランド、引数、または入力と呼ばれ、生成された値は値、結果、または出力と呼ばれます。演算には2つより少ないまたは2つ以上の入力（入力がゼロの場合や無限に多い場合を含む^[1]）を含めることができます。

演算子は、演算を表すために使用される記号またはプロセスを指すという点で操作に似ていますが、視点が異なります。たとえば、オペランドと結果に焦点を当てる場合は、「加算の演算」または「加算演算」と呼ばれることがよくありますが、プロセスに焦点を当てる場合は「加算演算子」（まれに「加算演算子」）に切り替えます。または、より記号的な観点からは、関数+: X × X → X (X は実数の集合などの集合) になります。

集合Xに対するn項演算 ωは、関数ω : X ⁿ → Xです。集合X ⁿは演算の定義域、出力集合は演算の共域、固定された非負整数n (オペランドの数) は演算の引数と呼ばれます。したがって、単項演算は引数が 1 で、二項演算は引数が 2 です。引数が 0 の演算はヌル引数演算と呼ばれ、共域Yの単なる要素です。n項演算は、 n 個の入力定義域で完全で、出力定義域で一意である( n + 1)項関係と見なすこともできます。

X ⁿからXへのn項部分演算 ωは、部分関数ω : X ⁿ → X です。n項部分演算は、その出力ドメインで一意の ( n + 1)項関係として見ることもできます。

上記は、通常有限演算と呼ばれるもので、オペランドの数が有限である（値n ）ことを表しています。アリティが無限の順序数または基数^[1]、あるいはオペランドをインデックスする任意のセット とされる明らかな拡張もあります。

多くの場合、演算という用語の使用は、関数の定義域がコドメインのべき乗（つまり、コドメインの1つ以上のコピーの直積）を含むことを意味しますが、 ^{[16]これは決して普遍的ではありません。}ドット積の場合のように、ベクトルが乗算されてスカラーになる場合などです。n項演算ω : X ⁿ → Xは、内部演算。n項演算ω : X ⁱ × S × X ^{n − i − 1} → X（ただし0 ≤ i < n ）は、スカラー集合または演算子集合Sによって外部演算と呼ばれます。特に二項演算の場合、 ω : S × X → XはSによって左外部演算と呼ばれ、 ω : X × S → X はSによって右外部演算と呼ばれます。内部演算の例はベクトル加算で、2 つのベクトルが加算されてベクトルが生成されます。外部演算の例はスカラー乗算、ベクトルにスカラーが乗算されてベクトルが生成されます。

n項多関数または多重演算 ωは集合の直交座標系上のべき乗からその集合の部分集合への写像であり、形式的には^[17]で。${\displaystyle \omega :X^{n}\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}$

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