デカルトモノイドカテゴリ

数学、特に圏論として知られる分野では、モノイド(「テンソル」) 積が圏積であるモノイド圏をデカルトモノイド圏と呼ぶ。有限積 (「有限積圏」) を持つ任意の圏は、デカルトモノイド圏と考えることができる。任意のデカルトモノイド圏において、終端オブジェクトはモノイド単位である。双対的に、モノイド構造が余積と単位によって与えられるモノイド有限余積圏をコカルトモノイド圏と呼び、任意の有限余積圏をコカルトモノイド圏と考えることができる。

積の随伴関手である内部Hom関手を持つデカルト圏はデカルト閉圏と呼ばれる。^[1]

デカルトモノイド圏には、任意のオブジェクトxに対する対角写像Δ _x  :  x  →  x  ⊗  xや拡張e _x  :  x  →  Iの存在など、いくつ かの特別で重要な特性があります。コンピュータサイエンスへの応用では、 Δ を「データの複製」、 e を「データの削除」と考えることができます。これらの写像により、任意のオブジェクトがコモノイドになります。実際、デカルトモノイド圏の任意のオブジェクトは、一意の方法でコモノイドになります。

デカルトモノイドカテゴリ:

• 集合、単一集合を単位とする集合のカテゴリ。
• Cat は、製品カテゴリを持つ小さなカテゴリの二カテゴリであり、1 つのオブジェクトとそのアイデンティティ マップのみを持つカテゴリが単位となります。

コカルテジアンモノイドカテゴリ:

• 与えられた体上のベクトル空間のカテゴリであるVectは、ベクトル空間の直和と自明なベクトル空間によって与えられるモノイド積を単位として、コカルテジアンモノイドにすることができます。
• Ab、アーベル群の直和をモノイド積、自明群を単位とするアーベル群のカテゴリ。
• より一般的には、環R (可換または非可換)上の(左)加群のカテゴリR - Modは、加群の直和をテンソル積、自明な加群を単位とするコカルテシアン モノイド カテゴリになります。

コカルテジアンモノイド構造を備えたこれらの各カテゴリのモジュールでは、有限積と余積が一致します (有限個のオブジェクトの積と余積が同型であるという意味で)。または、より正式には、f  :  X ₁ ∐ ... ∐ X _n →  X ₁  × ... ×  X _nが、自然数nについて、オブジェクトX _jのn次余積からそれらの積への「標準的な」写像である場合、写像fが同型であるときは、オブジェクトX _jの重積は、写像i _j  :  X _j  →  Xおよびp _j  :  X  →   X _jと同型であり、ペア ( X、 { i _j }) はオブジェクトX _jの余積図であり、ペア ( X、 { p _j }) はオブジェクトX _jの積図であり、p _j  ∘  i _j  = id _{X j}であるオブジェクトであるといえます。さらに、問題のカテゴリにゼロ オブジェクトがあり、任意のオブジェクトAとBに対して一意のマップ 0 _{A , B}  :  A  → 0 →  Bが存在する場合、 p _k  ∘  i _j  = :  δ _ij、つまりクロネッカーのデルタが成り立つことがよくあります。ここで、 0 と 1 は、それぞれオブジェクトX _jとX _kの 0 マップと恒等マップとして解釈されます。詳細については、 前加法カテゴリを参照してください。 ${\displaystyle X=\bigoplus _{j\in {1,\ldots ,n}}X_{j}}$${\displaystyle \coprod _{j\in {1,\ldots ,n}}X_{j}}$${\displaystyle \prod _{j\in {1,\ldots ,n}}X_{j}}$

• デカルトの閉カテゴリ