モノイドカテゴリ

数学において、モノイド圏（またはテンソル圏）は、双関手を備えた圏である。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle \otimes :\mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$

は自然同型まで結合的 であり、また、 ⊗ の左右の恒等写像であるオブジェクトIは自然同型まで結合的である。関連する自然同型は、特定の一貫性条件に従い、関連するすべての図が交換することを保証する。

通常のテンソル積は、ベクトル空間、アーベル群、R加群、またはR代数をモノイド カテゴリに変換します。モノイド カテゴリは、これらおよびその他の例の一般化として考えることができます。すべての (小さな) モノイド カテゴリは、基礎となるモノイドの「カテゴリ化」と見なすこともできます。モノイドとは、カテゴリのオブジェクトの同型類を要素とし、その二項演算がカテゴリのテンソル積によって与えられるモノイドです。

モノイド圏が抽象化とみなせるかなり異なる応用として、 2 つの型を受け取り集約型を構築する型構築子の下で閉じたデータ型のシステムがあります。型はオブジェクトとして機能し、⊗ は集約型構築子です。同型性までの結合性は、同じデータを集約するさまざまな方法 ( や など) が、集約値が同じである必要がない場合でも同じ情報を格納することを表現する方法です。集約型は、加算 (型 sum) または乗算 (型 product) の演算に類似している場合があります。型 product の場合、恒等オブジェクトは単位 であるため、型の所有者は 1 つだけであり、そのため、これとの積は常に他のオペランドと同型です。型 sum の場合、恒等オブジェクトはvoid 型であり、これは情報を格納せず、所有者をアドレス指定することはできません。モノイド圏の概念は、このような集約型の値を分解できることを前提としていません。それどころか、古典情報理論と量子情報理論を統合する枠組みを提供している。^[1]${\displaystyle ((a,b),c)}$${\displaystyle (a,(b,c))}$${\displaystyle ()}$

圏論では、モノイド圏はモノイドオブジェクトの概念と、その圏のオブジェクトに対する関連する作用を定義するために使用できます。また、強化圏の定義にも使用されます。

モノイド圏は圏論そのもの以外にも多くの応用がある。直観主義 線型論理の乗法フラグメントのモデルを定義するのに使われる。また、凝縮物質物理学における位相的秩序の数学的基礎を形成する。編み込みモノイド圏は量子情報、量子場理論、弦理論に応用されている。

モノイドカテゴリは、 モノイド構造を備えた カテゴリです。モノイド構造は次の要素で構成されます。${\displaystyle \mathbf {C} }$

• モノイド積^[2]またはテンソル積と呼ばれる双関手 、${\displaystyle \otimes \colon \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$
• モノイド単位^[2]、単位オブジェクト、または恒等オブジェクトと呼ばれるオブジェクト、${\displaystyle I}$
• テンソル演算が次の事実を表す 特定の一貫性条件に従う3 つの自然な同型:
  • は結合的である: 3 つの引数、、のそれぞれに、結合子と呼ばれる自然な同型性があり、その成分は、${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon A\otimes (B\otimes C)\cong (A\otimes B)\otimes C}$
  • は左単位元と右単位元として存在します。つまり、とという 2 つの自然な同型があり、それぞれ左ユニタと右ユニタと呼ばれ、その成分はとです。${\displaystyle I}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \lambda _{A}\colon I\otimes A\cong A}$${\displaystyle \rho _{A}\colon A\otimes I\cong A}$

と の作用を覚える良い方法は頭韻法であることに注意してください。Lambda、 、は左側の恒等式をキャンセルし、Rho、 、は右側の恒等式をキャンセルします。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \rho}$

これらの自然変換の一貫性条件は次のとおりです。

• すべての、、およびにおいて、五角形図${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

通勤する;

• すべてのおよびに対して、三角形の図${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

通勤する。

厳密なモノイドカテゴリとは、自然同型α、λ、ρが恒等写像となるカテゴリです。すべてのモノイドカテゴリは、厳密なモノイドカテゴリと モノイド的に同値です。

• 有限積を持つ任意のカテゴリは、積をモノイド積、終端オブジェクトを単位としてモノイドと見なすことができます。このようなカテゴリは、デカルトモノイドカテゴリと呼ばれることもあります。たとえば、
  • 集合、直積を持つ集合のカテゴリ、単位として機能する特定の 1 要素集合。
  • Cat は、製品カテゴリを持つ小さなカテゴリのカテゴリで、1 つのオブジェクトとそのアイデンティティ マップのみを持つカテゴリが単位となります。
• 双対的に、有限余積を持つ任意のカテゴリは、余積をモノイド積、初期オブジェクトを単位とするモノイドである。このようなモノイドカテゴリはコカルテシアンモノイドと呼ばれる。
• R -Mod は、可換環R上の加群のカテゴリであり、⊗ _Rのテンソル積がモノイド積として機能し、環R (それ自身の加群と考えられる) が単位として機能するモノイドカテゴリです。特殊なケースとして、次のものがあります。
  • K -Vect、体K上のベクトル空間のカテゴリ。1 次元ベクトル空間Kが単位として機能します。
  • Ab、アーベル群のカテゴリ。整数群 Zが単位として機能します。
• 任意の可換環Rに対して、 R代数のカテゴリは、代数のテンソル積を積、R を単位としてモノイド的です。
• 尖った空間のカテゴリ（たとえばコンパクトに生成された空間に限定）は、スマッシュ積が積として機能し、尖った0 球面（2 点の離散空間）が単位として機能するモノイドです。
• カテゴリC上のすべてのエンドファンクタのカテゴリは、ファンクタの合成を積、恒等ファンクタを単位とする厳密なモノイド カテゴリです。
• 任意のカテゴリEの場合と同様に、任意のオブジェクトによって張られる完全なサブカテゴリはモノイドであり、任意の2 カテゴリ EとOb( E ) 内の任意のオブジェクトCの場合、 { C } によって張られるEの完全な 2 サブカテゴリはモノイド カテゴリです。 E = Catの場合、上記のエンドファンクタの例が得られます。
• 有界上ミート半格子は厳密な対称モノイドカテゴリです。積はミートであり、単位元は最上位要素です。
• 任意の通常のモノイドは、オブジェクト セット、射に対する恒等関係のみ、テンソル積として、およびその恒等関係オブジェクトとして を持つ小さなモノイド カテゴリです。逆に、モノイド カテゴリの同型類の集合 (このようなことが意味をなす場合) は、テンソル積に関してモノイドです。${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle 1}$
• 任意の可換モノイドは、単一のオブジェクトを持つモノイドカテゴリとして実現できます。単一のオブジェクトを持つカテゴリは通常のモノイドと同じものであることを思い出してください。エックマン-ヒルトンの議論により、 に別のモノイド積を追加するには、積が可換である必要があります。${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$${\displaystyle M}$

3 つの定義的一貫性条件から、多数の図式 (つまり、、、恒等式、テンソル積を使用してモルフィズムが構築される図式) が可換であることがわかります。これがMac Lane の「一貫性定理」です。このような図式はすべて可換であると不正確に述べられることがあります。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \rho}$

モノイドカテゴリには、モノイドオブジェクトの一般的な概念があり、これは抽象代数 のモノイドの通常の概念を一般化したものです。通常のモノイドは、まさにデカルトモノイドカテゴリSet内のモノイドオブジェクトです。さらに、任意の（小さな）正格モノイドカテゴリは、カテゴリCat内のモノイドオブジェクト（デカルト積によって誘導されるモノイド構造を備えている）と見なすことができます。

モノイド関数は、テンソル積を保存するモノイドカテゴリ間の関数であり、モノイド自然変換は、テンソル積と「互換性がある」関数間の自然変換です。

すべてのモノイドカテゴリは、1つのオブジェクト（∗ で表記）のみを持つ 二カテゴリBのカテゴリB (∗, ∗)として見ることができます。

モノイドカテゴリMで強化されたカテゴリC の概念は、C内のオブジェクトのペア間の射の集合の概念を、 C内のすべての 2 つのオブジェクト間の射のMオブジェクトの概念に置き換えます。

あらゆるカテゴリCに対して、自由厳密モノイドカテゴリ Σ( C ) は次のように構成できます。

• そのオブジェクトはCのオブジェクトのリスト（有限シーケンス）A ₁、...、A _nです。
• m = nの場合にのみ、 2 つのオブジェクトA ₁、...、A _mとB ₁、...、B _nの間に矢印が存在し、その場合、矢印はCの矢印f ₁ : A ₁ → B ₁、...、f _n : A _n → B _nのリスト (有限シーケンス) になります。
• 2つのオブジェクト A ₁、...、A _nとB ₁、...、B _mのテンソル積は、2つのリストの連結A ₁、...、A _n、B ₁、...、B _mであり、同様に、2つの射のテンソル積はリストの連結によって与えられます。恒等オブジェクトは空リストです。

この操作 Σ はカテゴリCを Σ( C ) にマッピングし、 Cat上の厳密な 2モナドに拡張できます。

• モノイドカテゴリにおいて、と が一貫性条件と両立する形で自然に同型である場合、編組モノイドカテゴリと呼ばれます。さらに、この自然同型が自身の逆である場合、対称モノイドカテゴリが得られます。${\displaystyle A\otimes B}$${\displaystyle B\otimes A}$
• 閉じたモノイドカテゴリとは、関数が右随伴関数を持つモノイドカテゴリであり、これを「内部 Hom 関数」と呼びます。例としては、集合のカテゴリであるSetなどの直交閉カテゴリや、有限次元ベクトル空間のカテゴリであるFdVectなどのコンパクト閉カテゴリがあります。${\displaystyle X\mapsto X\otimes A}$${\displaystyle X\mapsto \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,X)}$
• 自律カテゴリ(またはコンパクト閉カテゴリ、剛性カテゴリ) は、優れた特性を持つ双対が存在するモノイド カテゴリです。これらは、 FdVectの概念を抽象化します。
• ダガー対称モノイドカテゴリは、追加のダガー関手を備え、有限次元ヒルベルト空間であるFdHilbの考え方を抽象化します。これには、ダガーコンパクトカテゴリが含まれます。
• タンナキアンカテゴリは、体上で強化されたモノイドカテゴリであり、線型代数群の表現カテゴリと非常によく似ています。

事前順序付きモノイドは、2 つのオブジェクト に対してCに最大 1 つの射が存在するモノイド カテゴリです。事前順序のコンテキストでは、射は と表記されることがあります。従来の意味で定義された順序の反射性と推移性の特性は、それぞれCの恒等射と合成式によってカテゴリ構造に組み込まれます。およびの場合、オブジェクトは同型であり、 と表記されます。 ${\displaystyle c,c'\in \mathrm {Ob} (\mathbf {C} )}$${\displaystyle c\to c'}$${\displaystyle c\to c'}$${\displaystyle c\leq c'}$${\displaystyle c\leq c'}$${\displaystyle c'\leq c}$${\displaystyle c,c'}$${\displaystyle c\cong c'}$

前置順序Cにモノイド構造を導入するには 、

• モノイド単位と呼ばれるオブジェクトと、${\displaystyle I\in \mathbf {C} }$
• 「 」で表され、 モノイド乗算と呼ばれる関数。${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$${\displaystyle \;\cdot \;}$

${\displaystyle I}$そして同型性を除いて単位的かつ結合的である必要がある。つまり、 ${\displaystyle \cdot}$

${\displaystyle (c_{1}\cdot c_{2})\cdot c_{3}\cong c_{1}\cdot (c_{2}\cdot c_{3})}$そして。${\displaystyle I\cdot c\cong c\cong c\cdot I}$

· は関数なので、

ならば、そして。${\displaystyle c_{1}\to c_{1}'}$${\displaystyle c_{2}\to c_{2}'}$${\displaystyle (c_{1}\cdot c_{2})\to (c_{1}'\cdot c_{2}')}$

モノイドカテゴリの他の一貫性条件は、すべての図が前順序で可換であるため、前順序構造を通じて満たされます。

自然数はモノイド事前順序の例です。モノイド構造(+ と 0 を使用) と事前順序構造(≤ を使用) の両方を持つことで、モノイド事前順序が形成され、 が意味されます。 ${\displaystyle m\leq n}$${\displaystyle m'\leq n'}$${\displaystyle m+m'\leq n+n'}$

ある生成集合上の自由モノイドはモノイド事前順序を生成し、半Thueシステムを生成します。

• スケルトン（圏論）
• 球状カテゴリ
• モノイドカテゴリアクション

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