不定積

数学において、不定積演算子は の逆演算子です。これは、非ニュートン微積分法の 1 つである幾何微積分の離散バージョンです。 ${\textstyle Q(f(x))={\frac {f(x+1)}{f(x)}}}$

したがって

${\displaystyle Q\left(\prod _{x}f(x)\right)=f(x)\,.}$

より明確に言えば、ならば、 ${\textstyle \prod _{x}f(x)=F(x)}$

${\displaystyle {\frac {F(x+1)}{F(x)}}=f(x)\,.}$

F ( x ) が与えられたf ( x )に対するこの関数方程式の解である場合、任意の定数Cに対するCF ( x ) も解になります。したがって、各不定積は実際には乗法定数によって異なる関数の族を表します。

関数の周期であれ ば${\displaystyle T}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \prod _{x}f(Tx)=Cf(Tx)^{x-1}}$

不定積は不定和で表すことができます。

${\displaystyle \prod _{x}f(x)=\exp \left(\sum _{x}\ln f(x)\right)}$

一部の著者は、上限の数値が与えられていない積を説明するために、わずかに異なるが関連性のある意味で「不定積」という語句を使用しています。^[1] 例：

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}f(k)}$。

${\displaystyle \prod _{x}f(x)g(x)=\prod _{x}f(x)\prod _{x}g(x)}$

${\displaystyle \prod _{x}f(x)^{a}=\left(\prod _{x}f(x)\right)^{a}}$

${\displaystyle \prod _{x}a^{f(x)}=a^{\sum _{x}f(x)}}$

これは不定積のリストです。すべての関数が基本関数で表現できる不定積を持つわけではありません。 ${\textstyle \prod _{x}f(x)}$

${\displaystyle \prod _{x}a=Ca^{x}}$

${\displaystyle \prod _{x}x=C\,\Gamma (x)}$

${\displaystyle \prod _{x}{\frac {x+1}{x}}=Cx}$

${\displaystyle \prod _{x}{\frac {x+a}{x}}={\frac {C\,\Gamma (x+a)}{\Gamma (x)}}}$

${\displaystyle \prod _{x}x^{a}=C\,\Gamma (x)^{a}}$

${\displaystyle \prod _{x}ax=Ca^{x}\Gamma (x)}$

${\displaystyle \prod _{x}a^{x}=Ca^{{\frac {x}{2}}(x-1)}}$

${\displaystyle \prod _{x}a^{\frac {1}{x}}=Ca^{\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}}$

${\displaystyle \prod _{x}x^{x}=C\,e^{\zeta ^{\prime }(-1,x)-\zeta ^{\prime }(-1)}=C\ ,e^{\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )}=C\,\オペレーター名 {K} (x)}$

（K関数を参照）

${\displaystyle \prod _{x}\Gamma (x)={\frac {C\,\Gamma (x)^{x-1}}{\operatorname {K} (x)}}=C\,\Gamma (x)^{x-1}e^{{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )-{\frac {z^{2}-z}{2}}-\psi ^{(-2)}(z)}=C\,\operatorname {G} (x)}$

（Barnes G関数を参照）

${\displaystyle \prod _{x}\operatorname {sexp} _{a}(x)={\frac {C\,(\operatorname {sexp} _{a}(x))'}{\operatorname {sexp} _{a}(x)(\ln a)^{x}}}}$

（超指数関数を参照）

${\displaystyle \prod _{x}x+a=C\,\Gamma (x+a)}$

${\displaystyle \prod _{x}ax+b=C\,a^{x}\Gamma \left(x+{\frac {b}{a}}\right)}$

${\displaystyle \prod _{x}ax^{2}+bx=C\,a^{x}\Gamma (x)\Gamma \left(x+{\frac {b}{a}}\right)}$

${\displaystyle \prod _{x}x^{2}+1=C\,\Gamma (xi)\Gamma (x+i)}$

${\displaystyle \prod _{x}x+{\frac {1}{x}}={\frac {C\,\Gamma (xi)\Gamma (x+i)}{\Gamma (x)}}}$

${\displaystyle \prod _{x}\csc x\sin(x+1)=C\sin x}$

${\displaystyle \prod _{x}\sec x\cos(x+1)=C\cos x}$

${\displaystyle \prod _{x}\cot x\tan(x+1)=C\tan x}$

${\displaystyle \prod _{x}\tan x\cot(x+1)=C\cot x}$

• 不定額
• 積分積分
• 代替計算における微分と積分の一覧
• フラクタル微分

• http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Product.html -Mathematica による不定積
• [1] - Maple VからMaple 8までの不定積の扱いに関するバグ
• マルクス・ミュラー。非整数項の加算方法と、異常な無限和の生成方法
• マルクス・ミュラー、ディーク・シュライヒャー。分数和とオイラーのような恒等式

• 非ニュートン微積分学のウェブサイト