ザッパ・シェップ製品

数学、特に群論において、ザッパ・シェップ積（ザッパ・レデイ・シェップ積、一般積、編み積、正確な因数分解、双交差積とも呼ばれる）は、2つの部分群から群を構成する方法を記述する。これは直積と半直積の一般化である。これは、グイド・ザッパ（1940）とイェーニュ・シェップ（1950）にちなんで名付けられたが、BHノイマン（1935）、GAミラー（1935）、JAデ・セギエ（1904）を含む他の人々によって独立に研究された。^[1]

G を単位元 e を持つ群とし、H と K を G の部分群とします。次のステートメントは同値です。

• G = HKかつH ∩ K = { e }
• G内の各gに対して、 g = hkとなるH内の一意のhとK内の一意のk が存在する。

これらのステートメントのいずれか（つまり両方）が成立する場合、G はHとKの内部Zappa–Szép 積であると言われます。

G = GL( n , C )、つまり複素数上の可逆なn × n行列の一般線型群とする。 Gの各行列Aについて、QR 分解は、A = QRとなるような、主対角要素が正の実数である唯一のユニタリ行列Qと唯一の上三角行列R が存在することを主張する。したがって、G は、ユニタリ群U ( n ) と、正の対角要素を持つ上三角行列の 群 (たとえば) Kとのザッパ・シェップ積である。

この最も重要な例の 1 つは、可溶性群に対するシロー系の存在に関するフィリップ・ホールの 1937 年の定理です。これは、すべての可溶性群がホールのp'部分群とシローのp部分群のザッパ・シェップ積であり、実際には群がそのシロー部分群の特定の代表集合の (多重因子) ザッパ・シェップ積であることを示しています。

1935 年、ジョージ・ミラーは、正則部分群を持つ任意の非正則推移的置換群は、正則部分群と点安定群のザッパ・シェップ積であることを示した。彼は PSL(2,11) と次数 5 の交代群を例として挙げており、もちろん素数次数の交代群はすべて例である。この同じ論文では、四元数群や次数 6 の交代群など、適切な部分群のザッパ・シェップ積として実現できない群の例もいくつか挙げている。

直積および半直積と同様に、与えられた群の部分群であることが事前にわかっていない群に対して、外部バージョンの Zappa–Szép 積が存在します。これを説明するため、 G = HK を群Gの部分群HおよびKの内部 Zappa–Szép 積とします。Kの各kおよびHの各hに対して、 Hにはα( k , h )が、 Kにはβ( k , h )が存在し、 kh = α( k , h ) β( k , h )となります。これにより、 α: K × H → Hおよび β: K × H → Kのマッピングが定義され、次の特性を持つことがわかります。

• α( e , h ) = hかつ β( k , e ) = kただし、すべてのh はHに含まれ、k はKに含まれる。
• α( k ₁ k ₂ , h ) = α( k ₁ , α( k ₂ ,  h ))
• β( k , h ₁ h ₂ ) = β(β( k , h ₁ ), h ₂ )
• α( k , h ₁ h ₂ ) = α( k ,  h ₁ ) α(β( k ,  h ₁ ), h ₂ )
• β( k ₁ k ₂ , h ) = β( k ₁ , α( k ₂ ,  h )) β( k ₂ ,  h )

Hのすべてのh ₁、h _{2 、}Kのすべてのk ₁、k ₂に対して成り立つ。これらから 、

• K内の各kに対して、写像h ↦ α( k , h ) はHの全単射です。
• H内の各hに対して、写像k ↦ β( k , h ) はKの全単射です。

(実際、α( k , h ₁ ) = α( k , h ₂ ) と仮定します。すると、h ₁ = α( k ⁻¹ k , h ₁ ) = α( k ⁻¹ , α( k ,  h ₁ )) = α( k ⁻¹ , α( k ,  h ₂ )) = h ₂となります。これにより単射性が確立され、全射性のためにはh = α( k , α( k ⁻¹ ,  h )) を使用します。)

より簡潔に言えば、上記の最初の 3 つの特性は、写像 α : K × H → HがKの(基底集合の) Hへの左作用であり、 β : K × H → KがHの (基底集合の) Kへの右作用であることを主張しています。左作用をh → ^k h、右作用をk → k ^hと表すと、最後の 2 つの特性は^k ( h ₁ h ₂ ) = ^k h ₁ ^{k h ₁} h ₂および ( k ₁ k ₂ ) ^h = k ₁ ^{k ₂ h} k ₂ ^hとなります。

これを逆にして、HとKが群（各群の単位元をeとする）であり、上記の性質を満たす写像 α : K × H → Hと β : K × H → Kが存在するとする。直積 H × Kに対して、乗算写像と反転写像をそれぞれ次のように定義する。

• ( h ₁、k ₁ ) ( h ₂、k ₂ ) = ( h ₁  α( k ₁、  h ₂ )、 β( k ₁、  h ₂ )  k ₂ )
• ( h , k ) ⁻¹ = (α( k ⁻¹ ,  h ⁻¹ ), β( k ⁻¹ ,  h ⁻¹ ))

すると、H × K は、群HとKの外部ザッパ・シェップ積と呼ばれる群になります。部分集合H × { e } と { e } × K は、それぞれHとKに同型な部分群であり、H × Kは、実際、H × { e } と { e } × Kの内部ザッパ・シェップ積です。

G = HK を部分群HとKの内部ザッパ・シェップ積とします。H がGで正規ならば、写像 α と β はそれぞれ α( k , h ) = khk ^{− 1}と β( k , h ) = kで与えられます。これは、の正規性により となり、 と なるため簡単にわかります。この場合、G はHとKの内部半直積です。 ${\displaystyle (h_{1}k_{1})(h_{2}k_{2})=(h_{1}k_{1}h_{2}k_{1}^{-1})(k_{1}k_{2})}$${\displaystyle h_{1}k_{1}h_{2}k_{1}^{-1}\in H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle k_{1}h_{2}k_{1}^{-1}\in H}$

さらに、K がGにおいて正規分布である場合、 α( k , h ) = h となる。この場合、G はHとKの内部直積となる。

補集合（群論）

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