表現のカテゴリー

表現論では、何らかの代数構造Aの表現のカテゴリには、オブジェクトとしてのAの表現と、それらの間の射としての同変写像が含まれます。表現論の基本的な推進力の 1 つは、このカテゴリが半単純である条件、つまり、オブジェクトが単純なオブジェクトに分解されるかどうかを理解することです(有限群の場合はMaschke の定理を参照)。

タンナキアン形式論は、群 Gをその表現の圏からベクトル空間の圏への忘却関手とともに復元できる条件を与える。^[1]

群Gの有限次元表現のカテゴリのグロタンディーク環は、 Gの表現環と呼ばれます。

検討したい表現の種類に応じて、わずかに異なる定義を使用するのが一般的です。

有限群Gと体 Fに対して、GのF上の表現のカテゴリは

• オブジェクト: F上のベクトル空間Vのペア( V ,  f )とそのベクトル空間上のGの表現f
• 射影: 同変写像
• 合成:同変写像の合成
• 恒等関数:恒等関数(同変マップ)。

カテゴリはまたはで示されます。 ${\displaystyle \operatorname {Rep} _{F}(G)}$${\displaystyle \operatorname {Rep} (G)}$

リー群の場合、表現が滑らかであるか許容可能であることが通常要求されます。リー代数の場合は、リー代数の表現を参照してください。カテゴリ Oも参照してください。

体F上の群Gの表現のカテゴリ(上記) と群環F [ G ]上の加群のカテゴリ ( F [ G ]-Modと表記) の間にはカテゴリの同型性があります。

あらゆる群G は、単一のオブジェクトを持つカテゴリと見なすことができます。このカテゴリ内の射はGの要素であり、合成はグループ演算によって与えられます。したがって、G は一意のオブジェクトの自己同型群です。任意のカテゴリCが与えられた場合、C内のGの表現は、 GからCへの関数です。このような関数は、一意のオブジェクトをC内のオブジェクトX などに送信し、グループ準同型を誘導します。詳細については、自己同型群#カテゴリ理論におけるを参照してください。たとえば、G集合は、Gから集合のカテゴリSetへの関数と同等であり、線型表現は 、体F上のベクトル空間のカテゴリVect _Fへの関数と同等です。^[2] ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X)}$

この設定では、GのF上の線型表現のカテゴリは、自然変換をその射として 持つ関手カテゴリG → Vect _Fです。

群の線型表現のカテゴリは、表現のテンソル積によって与えられるモノイド構造を持ち、これはタナカ-クライン双対性（以下を参照）の重要な要素である。

マシュケの定理は、 Fの特性がGの位数を割り切れないとき、 F上のGの表現のカテゴリは半単純であると述べています。

部分群Hを持つ群Gが与えられたとき、 （固定体上の）GとHの表現のカテゴリの間には2つの基本関手が存在する。1つは制限関手と呼ばれる忘却関手である。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} _{H}^{G}:\operatorname {Rep} (G)&\longrightarrow \operatorname {Rep} (H)\\\pi &\longmapsto \pi |_{H}\end{aligned}}}$

そしてもう一つは、誘導関数

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}:\operatorname {Rep} (H)\to \operatorname {Rep} (G)}$。

GとHが有限群である場合、それらは互いに 随伴である。

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(\operatorname {Ind} _{H}^{G}W,U)\cong \operatorname {Hom} _{H}(W,\operatorname {Res} _{H}^{G}U)}$、

フロベニウスの相互性と呼ばれる定理。

基本的な問題は、既約表現（カテゴリの単純なオブジェクト）への分解が制限または帰納の下で動作するかどうかです。この問題は、たとえばMackey 理論によって解決される可能性があります。

タナカ・クラインの双対性は、コンパクトな 位相群とその線型表現のカテゴリの相互作用に関係しています。タナカの定理は、グループGの有限次元表現のカテゴリからグループGへの逆の経路を記述し、グループをその表現のカテゴリから復元できるようにします。クラインの定理は、事実上、このようにグループから生じる可能性のあるすべてのカテゴリを完全に特徴付けます。これらの概念は、いくつかの異なる構造の表現に適用できます。詳細については、メインの記事を参照してください。

• https://ncatlab.org/nlab/show/category+of+representations