ボーアのコンパクト化

数学において、 位相群Gのボーアコンパクト化は、 Gに正準に関連付けられるコンパクトなハウスドルフ位相群Hです。その重要性は、 G上の一様ほぼ周期関数の理論をH上の連続関数の理論に還元したことにあります。この概念は、実数直線上のほぼ周期関数の研究の先駆者であるハラルド・ボーアにちなんで名付けられました。

位相群 Gが与えられたとき、Gのボーアコンパクト化は コンパクトなハウスドルフ位相群ボーア( G )と連続準同型である^[1]

b : G →ボーア( G )

これはコンパクトハウスドルフ群への準同型に関して普遍的である。これは、 Kが別のコンパクトハウスドルフ位相群であり、

f : G → K

が連続準同型ならば、唯一の連続準同型が存在する。

ボーア( f ):ボーア( G ) → K

f = Bohr ( f ) ∘ bとなる。

定理。ボーアのコンパクト化は存在し^{[2] [3]}、同型性を除いて一意である。

Gのボーアコンパクト化をボーア( G )と表記し、標準写像を

${\displaystyle \mathbf {b} :G\rightarrow \mathbf {ボーア} (G).}$

対応G ↦ Bohr ( G ) は、位相群と連続準同型のカテゴリ上の共変関数を定義します。

ボーアのコンパクト化は、位相群の有限次元ユニタリ表現理論と密接に関係しています。bの核は、有限次元ユニタリ表現によってGの恒等式から分離できないGの要素から構成されます。

ボーアのコンパクト化は、位相群上のほぼ周期的な関数の理論における多くの問題を、コンパクト群上の関数の問題に還元します。

位相群G上の有界連続複素数値関数fが一様ほぼ周期的であるための必要十分条件は、右平行移動の集合が_g fを次のように変換する場合である。

${\displaystyle [{}_{g}f](x)=f(g^{-1}\cdot x)}$

g がGを通して変化するとき、一様位相では比較的コンパクトになります。

定理。G上の有界連続複素数値関数fが一様ほぼ周期的であるためには、ボーア( G )上の連続関数f ₁（一意に決定される）が存在し、

${\displaystyle f=f_{1}\circ \mathbf {b} .}$^[4]

ボーアのコンパクト化写像が単射である位相群は、最大限に概周期的（またはMAP群）と呼ばれます。たとえば、すべてのアーベル群、すべてのコンパクト群、すべての自由群はMAPです。^[5] Gが局所コンパクト連結群である場合、MAP群は完全に特徴付けられます。つまり、MAP群はコンパクト群と有限次元のベクトル群の積です。

• コンパクト空間 – 数学的空間の種類
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• 「ボーアのコンパクト化」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]