エンベロープ（圏論）

圏論や数学の関連分野において、エンベロープは、局所凸空間の完備化や位相空間のストーン・チェフコンパクト化のような「外部完備化」の操作を一般化する構成です。双対構成はリファインメントと呼ばれます。

がカテゴリ、内のオブジェクト、内の2つの射のクラスであるとします。クラスのに対するのエンベロープの定義^[1]は、2つのステップから構成されます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \Phi}$

• の射は、 のとき、射のクラス のオブジェクトの、射のクラス に関する拡張と呼ばれます。また、クラスからの任意の射に対して、 となる一意の射がに存在します。${\displaystyle \sigma :X\to X'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \sigma \in \Omega }$${\displaystyle \varphi :X\to B}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \varphi ':X'\to B}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \varphi =\varphi '\circ \sigma }$

• 射のクラスに関する射のクラス内のオブジェクトの拡大は、（に関する の）他の任意の拡大に対して、 となる唯一の射が に存在する場合、に関する内ののエンベロープと呼ばれます。オブジェクトは、に関する内ののエンベロープとも呼ばれます。${\displaystyle \rho :X\to E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \sigma :X\to X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \upsilon :X'\to E}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \rho =\upsilon \circ \sigma }$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \Phi}$

表記:

${\displaystyle \rho ={\text{env}}_{\Phi }^{\Omega }X,\qquad E={\text{Env}}_{\Phi }^{\Omega }X.}$

が、その中のオブジェクトの与えられたクラスに属する範囲を持つすべての射のクラスである特別なケースでは、表記法 (および項) で を に置き換えると便利です。${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle L}$

${\displaystyle \rho ={\text{env}}_{\Phi }^{L}X,\qquad E={\text{Env}}_{\Phi }^{L}X.}$

同様に、 が、その中のオブジェクトの与えられたクラスに属する範囲を持つすべての射のクラスである場合、 の表記法 (および項) で を に置き換えると便利です。${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \rho ={\text{env}}_{M}^{\Omega }X,\qquad E={\text{Env}}_{M}^{\Omega }X.}$

たとえば、オブジェクトのクラス に関して、オブジェクトのクラス のエンベロープ${\displaystyle X}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$について話すことができます。

${\displaystyle \rho ={\text{env}}_{M}^{L}X,\qquad E={\text{Env}}_{M}^{L}X.}$

カテゴリ内の各オブジェクトに、から までのカテゴリのすべてのエピモーフィズムのクラスの サブセットが割り当てられ、次の 3 つの要件が満たされている とします。${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({K})}$${\displaystyle {K}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}^{X}}$${\displaystyle \operatorname {Epi} ^{X}}$${\displaystyle {K}}$${\displaystyle X}$

• 各オブジェクトについて、集合は空ではなく、継承された事前順序に関して左向きである。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}^{X}}$${\displaystyle \operatorname {Epi} ^{X}}$

${\displaystyle \forall \sigma ,\sigma '\in {\mathcal {N}}^{X}\quad \exists \rho \in {\mathcal {N}}^{X}\quad \rho \to \sigma \ \&\ \rho \to \sigma ',}$

• 各オブジェクトに対して、共変射のシステムは、${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}^{X}}$

${\displaystyle \{\iota _{\rho }^{\sigma };\ \rho ,\sigma \in {\mathcal {N}}^{X},\ \rho \to \sigma \}}$

には における余極限があり、これはにおける局所極限と呼ばれる。${\displaystyle \varprojlim {\mathcal {N}}^{X}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$

• 各射と各元に対して、元と射^[2]が存在し、${\displaystyle \alpha :X\to Y}$${\displaystyle \tau \in {\mathcal {N}}^{Y}}$${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {N}}^{X}}$${\displaystyle \alpha _{\sigma }^{\tau }:\operatorname {Cod} \sigma \to \operatorname {Cod} \tau }$

${\displaystyle \tau \circ \alpha =\alpha _{\sigma }^{\tau }\circ \sigma .}$

このとき、集合族はカテゴリ におけるエピモーフィズムのネットと呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{{\mathcal {N}}^{X};\ X\in \operatorname {Ob} ({K})\}}$${\displaystyle {K}}$

例。

1. 各局所凸位相ベクトル空間 と各閉凸平衡零近傍に対して、その核と単位球 とのノルム位相を備えた商空間を考え、を の完備化とします(明らかに はバナッハ空間であり、 によるの商バナッハ空間と呼ばれます)。自然写像のシステムは、局所凸位相ベクトル空間のカテゴリにおけるエピモフィズムの網です。${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle \operatorname {Ker} U=\bigcap _{\varepsilon >0}\varepsilon \cdot U}$${\displaystyle X/\operatorname {Ker} U}$${\displaystyle U+\operatorname {Ker} U}$${\displaystyle X/U=(X/\operatorname {Ker} U)^{\blacktriangledown }}$${\displaystyle X/\operatorname {Ker} U}$${\displaystyle X/U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X\to X/U}$${\displaystyle {\text{LCS}}}$
2. 局所凸位相代数およびゼロの乗法閉凸均衡近傍ごとに、${\displaystyle A}$${\displaystyle U\subseteq X}$

${\displaystyle U\cdot U\subseteq U}$、

再びその核と、単位球 とのノルム位相を備えた商代数を考え、を の完備化とします(明らかに はバナッハ代数であり、によるの商バナッハ代数と呼ばれます)。自然写像のシステムは、局所凸位相代数のカテゴリにおけるエピモーフィズムの網です。${\displaystyle \operatorname {Ker} U=\bigcap _{\varepsilon >0}\varepsilon \cdot U}$${\displaystyle A/\operatorname {Ker} U}$${\displaystyle U+\operatorname {Ker} U}$${\displaystyle A/U=(A/\operatorname {Ker} U)^{\blacktriangledown }}$${\displaystyle A/\operatorname {Ker} U}$${\displaystyle A/U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A\to A/U}$${\displaystyle {\text{LCS}}}$

定理。^{[3] を} カテゴリ内の射影の網とし、その内部に射影のクラスを生成するものとする。${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle {K}}$${\displaystyle \varPhi }$

${\displaystyle {\mathcal {N}}\subseteq \varPhi \subseteq \operatorname {Mor} ({K})\circ {\mathcal {N}}.}$

すると、すべての局所極限を含む 内の任意のエピモフィズムのクラスに対して、${\displaystyle \varOmega }$${\displaystyle K}$${\displaystyle \varprojlim {\mathcal {N}}^{X}}$

${\displaystyle \{\varprojlim {\mathcal {N}}^{X};\ X\in \operatorname {Ob} (K)\}\subseteq \varOmega \subseteq \operatorname {Epi} (K),}$

次のことが当てはまります。

(i)局所極限内の各オブジェクトに対して、に関するエンベロープ${\displaystyle X}$${\displaystyle {K}}$${\displaystyle \varprojlim {\mathcal {N}}^{X}}$ は次のようになります。 ${\displaystyle \operatorname {env} _{\varPhi }^{\varOmega }X}$${\displaystyle \varOmega }$${\displaystyle \varPhi }$

${\displaystyle \varprojlim {\mathcal {N}}^{X}=\operatorname {env} _{\varPhi }^{\varOmega }X,}$

(ii)エンベロープは関数として定義できる。${\displaystyle \operatorname {Env} _{\varPhi }^{\varOmega }}$

定理. ^{[4] を} カテゴリ内の射影の網とし、その内部に射影のクラスを生成するものとする。${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle {K}}$${\displaystyle \varPhi }$

${\displaystyle {\mathcal {N}}\subseteq \varPhi \subseteq \operatorname {Mor} ({K})\circ {\mathcal {N}}.}$

すると、包絡線上で共冪^[5]となるような任意の単相補完可能なエピモーフィズムのクラスに対して、関数として定義することができます。${\displaystyle \varOmega }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \varOmega }$${\displaystyle \operatorname {Env} _{\varPhi }^{\varOmega }}$

定理^[6] カテゴリとオブジェクトのクラスが次のプロパティを持つとします。${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$

(i) は共完全であり、${\displaystyle K}$

（ii）は節点分解を持ち、${\displaystyle K}$

(iii) はクラス において共存可能である、^[7]${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Epi} }$

(iv) は次のように変換されます:${\displaystyle \operatorname {Mor} (K,L)}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \forall X\in \operatorname {Ob} (K)\quad \exists \varphi \in \operatorname {Mor} (K)\quad \operatorname {Dom} \varphi =X\quad \&\quad \operatorname {Cod} \varphi \in L}$、

(v) は外側の射が異なる: 任意の 2 つの異なる平行射に対して、となる射が存在する。${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha \neq \beta :X\to Y}$${\displaystyle \varphi :Y\to Z\in L}$${\displaystyle \varphi \circ \alpha \neq \varphi \circ \beta }$

（vi）は余極限への通過に関して閉じている、${\displaystyle L}$

(vii) は、射の余域からその節点像への通過に関して閉じている：ならば、である。${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \operatorname {Cod} \alpha \in L}$${\displaystyle \operatorname {Im} _{\infty }\alpha \in L}$

次に、エンベロープを関数として定義できます。${\displaystyle \operatorname {Env} _{L}^{L}}$

次のリストでは、すべてのエンベロープは関数として定義できます。

1.局所凸位相ベクトル空間の完備化は、 バナッハ空間のクラスに関する局所凸空間全体の圏におけるの包絡線である: ^[8]。明らかに、は商バナッハ空間 (上で定義) の逆極限である: ${\displaystyle X^{\blacktriangledown }}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{LCS}}}$${\displaystyle {\text{Ban}}}$ ${\displaystyle X^{\blacktriangledown }={\text{Env}}_{\text{Ban}}^{\text{LCS}}X}$${\displaystyle X^{\blacktriangledown }}$${\displaystyle X/U}$

${\displaystyle X^{\blacktriangledown }=\lim _{0\gets U}X/U.}$

2.ティホノフ位相空間のストーン・チェフコンパクト化は、 コンパクト空間のクラスに属するすべてのティホノフ空間のカテゴリにおける、同じクラスに関するエンベロープである: ^[8]${\displaystyle \beta :X\to \beta X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{Tikh}}}$${\displaystyle {\text{Com}}}$${\displaystyle {\text{Com}}}$ ${\displaystyle \beta X={\text{Env}}_{\text{Com}}^{\text{Com}}X.}$

3.別々に連続な乗法を持つ局所凸位相代数のアレンズ・マイケル包絡線^{[9] [10] [11] [12]} は、バナッハ代数のクラスに関する、クラス内のすべての（局所凸）位相代数（別々に連続な乗法を持つ）のカテゴリにおけるの包絡線です。代数は、商バナッハ代数（上で定義） の逆極限です。${\displaystyle A^{\text{AM}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\text{TopAlg}}}$${\displaystyle {\text{TopAlg}}}$${\displaystyle {\text{Ban}}}$${\displaystyle A^{\text{AM}}={\text{Env}}_{\text{Ban}}^{\text{TopAlg}}A}$${\displaystyle A^{\text{AM}}}$${\displaystyle A/U}$

${\displaystyle A^{\text{AM}}=\lim _{0\gets U}A/U.}$

4.ステレオタイプ代数の正則包^[13] は、すべてのバナッハ代数のクラスに関して、すべての稠密エピモーフィズムのクラス^[14]のすべてのステレオタイプ代数のカテゴリの包である。${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {O}}A}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\text{SteAlg}}}$${\displaystyle {\text{DEpi}}}$${\displaystyle {\text{SteAlg}}}$${\displaystyle {\text{Ban}}}$${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {O}}A={\text{Env}}_{\text{Ban}}^{\text{DEpi}}A.}$

5.ステレオタイプ代数の滑らかなエンベロープ^[15] は、自己結合冪零元が結合した様々なC*-代数へのすべての微分準同型写像のクラスに関して、すべての稠密エピモフィズムのクラス^[14]のすべての逆ステレオタイプ代数のカテゴリのエンベロープです。${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {E}}A}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\text{InvSteAlg}}}$${\displaystyle {\text{DEpi}}}$${\displaystyle {\text{InvSteAlg}}}$${\displaystyle {\text{DiffMor}}}$${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {E}}A={\text{Env}}_{\text{DiffMor}}^{\text{DEpi}}A.}$

6.ステレオタイプ代数の連続エンベロープ^{[16] [17]} は、すべてのC*-代数のクラスに関して、すべての稠密エピモーフィズムのクラス^[14]のすべての逆ステレオタイプ代数のカテゴリのエンベロープです。${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {C}}A}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\text{InvSteAlg}}}$${\displaystyle {\text{DEpi}}}$${\displaystyle {\text{InvSteAlg}}}$${\displaystyle {\text{C}}^{*}}$${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {C}}A={\text{Env}}_{{\text{C}}^{*}}^{\text{DEpi}}A.}$

エンベロープは数学のさまざまな分野で標準的な関数として登場します。上記の例以外にも、

• 可換な畳み込みステレオタイプ代数のゲルファント変換は 、の連続包絡線である。^{[18] [19]}${\displaystyle G_{A}:A\to C({\text{Spec}}A)}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

• 各局所コンパクトアーベル群 に対して、フーリエ変換はコンパクトな台を持つ測度のステレオタイプ群代数 の連続包絡線である。^[18]${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{A}:C^{\star }(G)\to C({\widehat {G}})}$ ${\displaystyle C^{\star }(G)}$${\displaystyle G}$

抽象調和解析において、エンベロープの概念は、ポンチャギン双対性理論^[20]を非可換群のクラスに一般化する上で重要な役割を果たしている。ステレオタイプ代数の正則エンベロープ、滑らかなエンベロープ、連続エンベロープ（上記の例）は、それぞれ、複素幾何学、微分幾何学、位相幾何学といった大きな幾何学の分野における正則双対性、滑らかなエンベロープ、連続双対性の構築につながる。これは、これらの分野で考慮される特定のクラスの（必ずしも可換ではない）位相群（アフィン代数群、およびリー群とムーア群のいくつかのクラス）に対して行われる。 ^{[21] [18] [20] [22]}

• 改良