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線群は、線に沿った移動に関連する対称性を数学的に記述する方法です。これらの対称性には、その線に沿った繰り返しが含まれ、その線は 1 次元の格子になります。ただし、線群は複数の次元を持つ場合があり、それらの次元が等長変換または対称変換に関係する場合があります。
直線群は、空間の全次元における点群を取り、空間群を構成するのと同様に、直線に沿った移動またはオフセットを点群の各要素に追加することによって構成されます。これらのオフセットには、繰り返しと、繰り返しの一部（要素ごとに 1 つの部分）が含まれます。便宜上、部分は繰り返しのサイズに合わせて調整されます。つまり、直線の単位格子セグメント内にあります。
一次元
1次元の直線群は2つあります。これらは離散2次元点群C nと D nの無限極限です。
2次元
フリーズ グループは7 つあり、線に沿った反射、線に垂直な反射、および 2 次元での 180 度回転が含まれます。
3次元
3次元線群には13の無限族があり[1] 、これらは7つの軸3次元点群の無限族から派生している。一般的な空間群と同様に、同じ点群を持つ線群でもオフセットのパターンは異なる。各族は、n次の軸周りの回転群に基づいている。群はヘルマン・モーガン記法で列挙され、点群はシェーンフライス記法で列挙される。線群にはこれに相当する記法はないようだ。これらの群は、 3次元点群やフリーズ群と同様に、円筒の周りにn回巻き付けられ、円筒の軸に沿って無限に繰り返される壁紙群[2]のパターンとして解釈することもできる。これらの群の表:
オフセットの種類は次のとおりです。
- なし。軸に沿ったオフセットには、軸の周りの単位セルの繰り返し内の軸の周りのオフセットは含まれません。
- らせん度qのらせんオフセット。軸に沿った単位オフセットの場合、その周囲には q のオフセットがあります。オフセットが繰り返される点はらせんを描きます。
- ジグザグ オフセット。軸の周りの単位セルに対する 1/2 のらせんオフセット。
壁紙グループ pm、pg、cm、pmg が 2 回出現することに注意してください。各出現は、線グループ軸に対する向きが異なり、反射平行 (h) または垂直 (v) です。その他のグループにはこのような向きはありません (p1、p2、pmm、pgg、cmm)。
点群が結晶学的点群、つまりある3次元格子の対称性に制限される場合、結果として得られる線群は棒群と呼ばれます。棒群は75個あります。
- Coxeter表記法は、垂直軸が対称順序nまたは2nの円筒にラップされた長方形の壁紙グループに基づいています。
nから ∞ までの連続体極限では、可能な点群は C ∞、 C ∞h、 C ∞v、 D ∞、 D ∞hとなり、線群はジグザグを除いて適切なオフセットを持ちます。
らせん対称性
グループ C n ( q ) と D n ( q ) はらせん状の物体の対称性を表します。C n ( q ) はn 個のらせんが同じ方向に向いている場合、D n ( q ) はn 個の向きがずれたらせんと2n 個のらせんが交互に向きを変えている場合です。qの符号を逆にすると鏡像が作成され、らせんのキラリティーまたは左右が逆になります。
核酸、DNA、RNAはらせん対称性があることでよく知られています。核酸は方向が明確に定義されており、一本鎖はC 1 ( q )となります。二本鎖は反対方向を持ち、らせん軸の反対側にあるため、D 1 ( q )となります。
参照
参考文献
- ^ ダムニャノビッチ、ミラン; ミロシェビッチ、イヴァンカ (2010)、「線群構造」、物理学における線群、物理学講義ノート、第801巻、シュプリンガー、pp. 7–27、doi :10.1007/978-3-642-11172-3_2、ISBN 978-3-642-11171-6
- ^ ラサット、アンドレ (1996)、「球状アルカン、フラーレン、チューブル、その他の柱状集合体の対称性」、ツォカリス、ジョルジュ、アトウッド、JL、リプコウスキー、ヤヌス (編)、超分子化合物の結晶学、NATO サイエンス シリーズ C: (閉鎖)、第 480 巻、シュプリンガー、pp. 181–201、ISBN 978-0-7923-4051-5（books.google.com [1]）