フェルマーの原理

仮に次のような状況を想定してみましょう。

1. 擾乱は、遠隔地での作用なしに、媒体（ 真空または何らかの物質、必ずしも均質または等方性である必要はない）を順次伝播する。
2. 伝播中、任意の中間点Pにおける擾乱が周囲の点に及ぼす影響は、ゼロでない角度広がりを持ちます ( P が音源であるかのように)。そのため、任意の点Aから発生した擾乱は、無限の経路を経て他の任意の点Bに到達し、 B はAにおける擾乱の無限の遅延バージョンを受け取ります。[^{注1 ]}
3. これらの遅延した擾乱は、ある程度の許容範囲内で同期している場合、 B地点で互いに増幅し合う。

すると、 AからBへのさまざまな伝搬経路は、通過時間が上記の許容範囲内で一致する場合、互いに助け合ったり、建設的に干渉したりします。許容範囲が小さい場合（極限の場合）、経路の通過時間が変化に対して定常的であるような経路であれば、経路の変動の許容範囲は最大になります。つまり、経路の変動によって通過時間が最大で2次変化します。 ^{[ 5 ]}

走査時間の定常性の最も明白な例は、（局所的または全体的な）最小値、つまりフェルマーの原理の「強い」形式のように、最短時間の経路である。しかし、その条件は議論の本質的なものではない。^{[注2 ]}

定常移動時間の経路が、隣接する経路の最大幅の回廊によって強化されることがわかったが、この強化が光線の直感的な概念にどのように対応するのかを説明する必要がある。しかし、説明を簡潔にするために、まず光線経路を定常移動時間の経路として定義する。

AからBへの光線経路を補強する経路の回廊が大きく遮られると、 AからBに到達する擾乱は著しく変化します。これは、回廊の外側にある同程度の大きさの障害物（互いに補強しない経路を遮断する）とは異なります。前者の障害物はAからBに到達する信号を著しく妨害しますが、後者は妨害しません。したがって、光線経路は信号経路を示します。信号が可視光の場合、前者の障害物はBの観測者から見たAにある物体の見え方を大きく左右しますが、後者は左右しません。したがって、光線経路は視線を示します。

光学実験では、視線は通常、光線の経路であると仮定される。^{[ 6 ]}

AからBへの光線経路を補強する経路の回廊が著しく妨害されると、AからBに到達するエネルギー^{[注3 ]}に重大な影響を及ぼします。これは、そのような回廊の外にある同サイズの障害物とは異なります。したがって、光線経路は、ビームと同様に、エネルギー経路を示します。

点Aから広がる波面が、点Aから点Bへの光線経路上にある点Pを通過すると仮定します。定義により、波面上のすべての点はAから同じ伝搬時間を持ちます。ここで、波面を、点Pを中心とし、 AからBへの光線経路を補強する経路の回廊内に位置するほど小さい窓を除いて遮断します。すると、波面の遮られていない部分上のすべての点は、Bまでほぼ等しい伝搬時間を持ちますが、他の方向の点までは等しくないため、 B は窓を通して入射するビームのピーク強度の方向になります。^{[ 7 ]}つまり、光線経路がビームを示します。そして、光学実験では、ビームは通常、光線の集合、または（狭い場合は）光線の近似として考えられます（図3）。^{[ 8 ]}

フェルマーの原理の「強い」形式によれば、伝播速度の速い媒質中の点Aから伝播速度の遅い媒質中の点Bへの光線の経路を見つける問題 (図1 ) は、ライフガードが泳ぐよりも速く走れるという条件の下で、溺れている泳ぎ手にできるだけ早く到達するためにどこから水に入るかを決定するというライフガードが直面する問題に類似している。 ^{[ 9 ]}しかし、この類似性は光の挙動を説明するには不十分である。なぜなら、ライフガードは (たとえ一瞬であっても) 問題について考えることができるのに対し、光はおそらく考えることができないためである。アリが同様の計算を行うことができるという発見^{[ 10 ]}は、生物と無生物の間のギャップを埋めるものではない。

対照的に、上記の仮定（1）から（3）はあらゆる波動的な擾乱に対して成り立ち、知識や目的を一切含まない純粋に機械論的な観点からフェルマーの原理を説明する。

この原理は、流体中の音波や固体中の弾性波など、一般的な波に適用されます。^{[ 11 ]}修正された形では、物質波にも適用できます。量子力学では、粒子の古典的な経路は、関連する波にフェルマーの原理を適用することによって得られますが、周波数は経路によって変化する可能性があるため、定常性は位相シフト（またはサイクル数）にあり、必ずしも時間にあるとは限りません。^{[ 12 ] [ 13 ]}

フェルマーの原理は、可視光線の場合に最もよく知られています。これは、光線を用いて特定の光学現象を記述する幾何光学と、光が波動であるという仮説に基づいて同じ現象を説明する光の波動理論（または物理光学）を結びつけるものです。部分的な遮蔽も回折の項で説明されます。

等方性媒質では、伝搬速度が方向に依存しないため、与えられた微小時間内に一次波面上の点から広がる二次波面は球形であり、^{[ 18 ]}接点における共通接面に対して半径が垂直になります。しかし、半径は光線の方向を示し、共通接面は一般的な波面です。したがって、光線は波面に垂直（直交）です。^{[ 26 ]}

光学の教育の多くは等方性媒質に焦点を当て、異方性媒質はオプションのトピックとして扱われるため、光線が波面に垂直であるという仮定が非常に広まり、実際にはフェルマーの原理はより一般的なものであるにもかかわらず、フェルマーの原理でさえその仮定の下で説明されることがある。^{[ 27 ]}

均質な媒質（均一媒質とも呼ばれる）では、与えられた一次波面Wから与えられた時間Δ t内に広がるすべての二次波面は、合同で同様の向きを持つため、それらの包絡線W ′ は、中心（ソース）がW上を移動しても向きを維持する単一の二次波面の包絡線とみなすことができます。P がその中心で、P ′ が W ′ との接点である場合、 P ′はPと平行に移動するため、P ′におけるW ′の接平面は、 PにおけるWの接平面と平行になります。別の（合同で同様の向きを持つ）二次波面をP ′に中心を置き、Pと共に移動させ、その包絡線W ″が点P ″で交わるとします。すると、同じ推論により、 P ″におけるW ″の接平面は、他の 2 つの平面と平行になります。したがって、合同性と類似した向きにより、光線の方向PP ′とP ′ P ″は同じです (ただし、二次波面は必ずしも球面ではないため、必ずしも波面に垂直ではありません)。この構成は任意の回数繰り返すことができ、任意の長さの直線光線が得られます。したがって、均質な媒質は直線光線を許容します。^{[ 28 ]}

点Aから点Bまで伸びる経路Γを考える。sをAから経路に沿って測った弧長とし、 tを光線速度でその弧長を横断するのにかかる時間とする。${\displaystyle v_{\mathrm {r} }}$（つまり、経路上の各位置と方向における局所的な二次波面の半径方向速度で）。すると、経路Γ全体の通過時間は

（ここで、AとBは単に端点を表し、tまたはsの値として解釈されるべきではない）。Γが光線経路であるための条件は、 Γの変化によるTの1次変化がゼロであること、すなわち、 $${\displaystyle \delta T=\,\delta \int _{A}^{B}{\frac {ds}{\,v_{\mathrm {r} }\,}}\,=\,0\,.}$$

特定の経路の光学的長さ（光路長、OPL）は、光線が局所的な光線速度で特定の経路を通過するのにかかる時間と同じ時間内に、均質等方性参照媒質（例えば真空）内を光線が進む距離として定義されます。^{[ 29 ]}ここで、c が参照媒質中の伝搬速度（例えば真空中の光速）を表す場合、時間dtで通過する経路の光学的長さはdS = c dtであり、時間Tで通過する経路の光学的長さはS = cTです。したがって、式(1)にcを掛けると次のようになります 。 $${\displaystyle S\,=\int _{A}^{B}\!dS\,=\int _{A}^{B}{\frac {\,c\,}{v_{\mathrm {r} }}}\,ds=\int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,ds\,,}$$ どこ${\displaystyle \,n_{\mathrm {r} }=c/v_{\mathrm {r} }\,}$は光線指数、つまり通常の位相速度（波面法線速度）ではなく光線速度に基づいて計算された屈折率です。 ^{[ 30 ]}微小経路の場合、${\displaystyle dS=n_{\mathrm {r} \,}ds\,,\,}$これは、光路長が物理的な長さに光線指数を掛けたものであることを示している。OPLは、時間という要素が取り除かれた概念的な幾何学的量である。OPLの観点から、 Γが光線経路となる条件（フェルマーの原理）は次のようになる。

これは古典力学におけるモーペルテュイの原理（単一粒子の場合）の形をしており、光学における光線の屈折率が力学における運動量または速度の役割を果たしている。^{[ 31 ]}

等方性媒質では、光線速度が位相速度でもあるため、^{[注7 ]}通常の屈折率n をn _rの代わりに使用できます。^{[ 32 ] [ 33 ]} 

x、y、zがデカルト座標であり、上付きドットがsに関する微分を表す場合、フェルマーの原理(2)は^{[ 34 ]}と書くことができる。$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S&=\,\delta \int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}\\&=\,\delta \int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}~ds\,=\,0\,.\end{aligned}}}$$ 等方性媒質の場合、n _{r は通常の屈折率}n ( x , y , z )に置き換えることができ、これは単なるスカラー場である。光学ラグランジアン^{[ 35 ]}を次のように 定義する。$${\displaystyle L(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})\,=\,n(x,y,z)\,{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}\,,}$$ フェルマーの原理は^{[ 36 ]}$${\displaystyle \delta S=\,\delta \int _{A}^{B}\!L(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})\,ds\,=\,0\,.}$$ 伝搬方向が常にパスのパラメータとしてsの代わりにzを使用できるような場合（そしてドットはsの代わりにzに関する微分を表す）、光学ラグランジアンは代わりに^{[ 37 ]}と書くことができる。 $${\displaystyle L{\big (}x(z),y(z),{\dot {x}}(z),{\dot {y}}(z),z{\big )}=n(x,y,z)\,{\sqrt {1+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\,,}$$ フェルマーの原理は次のようになる $${\displaystyle \delta S=\,\delta \int _{A}^{B}\!L{\big (}x(z),y(z),{\dot {x}}(z),{\dot {y}}(z),z{\big )}\,dz\,=\,0.}$$これは、時間次元が欠けていることを除けば、古典力学におけるハミルトンの原理 の形をしています。光学における第3の空間座標が、力学における時間の役割を果たします。 ^{[ 38 ]} 光学ラグランジアンは、経路のパラメータに関して積分するとOPLが得られる関数であり、ラグランジアン光学とハミルトン光学の基礎となっています。^{[ 39 ]}

11世紀の博学者イブン・アル＝ハイサムは後にこの原理を屈折に拡張し、フェルマーの原理の初期バージョンを与えた。^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]}

1657年、ピエール・ド・フェルマーはマラン・キュロー・ド・ラ・シャンブルから新しく出版された論文のコピーを受け取った。その中でラ・ シャンブルはヘロンの原理に言及し、それが屈折には適用できないと不満を述べていた。^{[ 45 ]}

フェルマーは、光が抵抗の少ない経路を通ると仮定し、異なる媒質が異なる抵抗を示すとすれば、屈折も同じ枠組みに組み込むことができると答えた。 1662年1月 1日付のラ・シャンブル宛の手紙に記述された彼の最終的な解決策 は、「抵抗」を速度に反比例するものと解釈し、光が最短時間で進む経路を通るとした。この前提から、光が光学的に密度の高い媒質ではより遅く進むという条件の下で、通常の屈折法則が得られた。^{[ 46 ] [注8 ]}

フェルマーの解は、当時知られていた幾何光学の法則を変分原理または作用原理のもとに統一した点で画期的であり、古典力学における最小作用原理や他の分野における対応する原理の先例となった（物理学における変分原理の歴史を参照）。^{[ 47 ]}さらに注目すべきは、フェルマーの解が等式法を用いた点である。等式法は、後から考えると、無限に短い弦の傾きがゼロになる点を見つけることとして理解できる。 ^{[ 48 ]}傾きの一般的な表現（導関数）を見つけるという中間段階を経ずに。

また、この法則はすぐに物議を醸した。当時、光の屈折の法則はルネ・デカルト（1650年没）に帰せられていた。デカルトは、光は瞬時に伝播する力である、あるいは光は密度の高い媒質中を速く移動するテニスボールに似ていると仮定することで、この法則を説明しようとした^{[ 49 ] [ 50 ]}。しかし、どちらの前提もフェルマーの法則とは矛盾していた。デカルトの最も著名な擁護者であるクロード・クレルセリエは、フェルマーが自然に知識と意図を帰属させていること、そして自然が距離よりも時間を節約することを好む理由を説明できていないことを批判した。クレルセリエは次のように書いている。

1. あなたが証明の基礎としている原理、すなわち自然は常に最短かつ最も単純な方法で作用するという原理は、単なる道徳原理であって物理的な原理ではありません。それは自然界におけるいかなる効果の原因でもなく、また原因になり得ません 。…そうでなければ、私たちは自然に知識を帰属させることになるでしょう。しかしここで言う「自然」とは、予見も選択もなく、必然的な決定によって作用する、この世界に存在する秩序と法則のみを意味します。

2. この同じ原理は自然を優柔不断にするだろう … なぜなら、私はあなた方に尋ねる … 光線が希薄な媒質中の点から密な媒質中の点へ通過しなければならないとき、あなたの原理によれば、直線が曲がった線よりもすぐに直線を選ばなければならないとしたら、後者の方が時間が短いことがわかれば前者の方が短くて長さも単純であるのだから、自然がためらう理由はないだろうか？ 誰が決定し、誰が宣言するのだろうか？^{[ 51 ]}

フェルマーは自身の原理の機械論的基礎を認識していなかったため、純粋に幾何学的および運動学的命題として以外では、それを擁護する立場にはなかった。^{[ 52 ] [ 53 ]}フェルマーの死の年にロバート・フックによって最初に提唱され、 ^{[ 54 ]} イグナス＝ガストン・パルディーズ^{[ 55 ]}と（特に）クリスティアーン・ホイヘンス[ ^{56 ]}によって急速に改良された光の波動説に^は必要な基礎が含まれていたが、この事実の認識は驚くほど遅かった。

1678年、ホイヘンスは、光による擾乱が到達するすべての点が球面波の発生源となり、これらの二次波の総和がその後の任意の時点での波の形状を決定すると提唱した。^{[ 57 ]}ホイヘンスは、二次波面の包絡線を繰り返し運動の終点と呼んだ。 ^{[ 58 ]}つまり、後の波面は、ある時間内に擾乱が到達できる外側の境界であり、^{[ 59 ]}したがって、後の波面上の各点が到達できる最小時間であった。しかし、彼は最小時間の方向が二次光源から接点への方向であるとは主張しなかった。代わりに、彼は、初期波面の特定の範囲に対応する共通接面の範囲から光線の方向を推論した。^{[ 60 ]}フェルマーの原理に対する彼の唯一の支持は範囲が限られていた。光線が波面に垂直である通常の屈折の法則を導き出した後、^{[ 61 ]}ホイヘンスは、この法則に従って屈折する光線が最短時間の経路をたどることを幾何学的に証明した。^{[ 62 ]}最短時間の原理が、通常の屈折の法則だけでなく、直線伝播と通常の反射の法則（これらもフェルマーの原理から導かれることが知られていた）や、以前は知られていなかった異常屈折の法則（後者は、二次波面が球面ではなく球状であるため、結果として光線が一般的に波面に斜めになる）を導き出したのと同じ共通接線 構成から直接導かれることを知っていたら、彼はこれを必要だとは考えなかっただろう。ホイヘンスは、自分の構成がフェルマーの原理を暗示していることに気付かなかったかのようであり、その原理の例外を見つけたとさえ思っていたかのようである。アラン・E・シャピロが引用した原稿の証拠は、ホイヘンスが「光線が波面に垂直でない複屈折」においては最小時間原理が無効であると信じていたことを裏付けている。^{[ 63 ] [注9 ]}

シャピロはさらに、17世紀と18世紀に「ホイヘンスの原理」を受け入れた唯一の3人の権威、すなわちフィリップ・ド・ラ・イール、ドニ・パパン、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは、それが「アイスランド結晶」（方解石）の異常な屈折を、それまで知られていた幾何光学の法則と同じように説明できたから受け入れたのだと報告している。^{[ 64 ]}しかし、フェルマーの原理の対応する拡張は、当面の間は注目されなかった。

1809年1月30日、^{[ 65 ]}ピエール＝シモン・ラプラスは、弟子のエティエンヌ＝ルイ・マリュスの研究について報告し、方解石の異常屈折は、モーペルテュイの最小作用の原理、すなわち距離に対する速度の積分が最小となる原理を用いて、光の粒子説の下で説明できると主張した。この原理を満たす粒子速度は、ホイヘンスの回転楕円体の半径によって与えられる光線速度の逆数に比例する。ラプラスは続けて次のように述べた。

ホイヘンスによれば、結晶中の異常光線の速度は、回転楕円体の半径で単純に表される。したがって、彼の仮説は最小作用の原理とは一致しない。しかし、光が結晶外の特定の点から結晶内の特定の点まで最短時間で到達するというフェルマーの原理とは一致することは注目に値する。なぜなら、速度の式を反転すれば、この原理が最小作用の原理と一致することは容易にわかるからである。^{[ 66 ]}

ラプラスの報告はトーマス・ヤングによる広範な反論の対象となり、ヤングは次のように書いている。

フェルマーの原理は、その数学者が仮説的、あるいは想像上の根拠に基づいて仮定したものではあるが、実際には波動運動に関する基本法則であり、ホイヘンス理論におけるあらゆる決定の基礎となっている。ラプラス氏は、彼が比較している2つの理論のうちの1つのこの最も重要な原理を知らないようである。なぜなら、彼はホイヘンス法則の異常屈折がフェルマーの原理と一致することは「注目に値する」と言っているからである。もし彼がその法則が原理の直接的な結果であることを知っていたら、彼はほとんどそのことに気づかなかっただろう。^{[ 67 ]} 

実際、ラプラスは、等方性媒質から異方性媒質への屈折の場合、フェルマーの原理がホイヘンスの構成から導かれることを認識していた。幾何学的証明は、1810年に印刷されたラプラスの報告書の長文版に含まれていた。^{[ 68 ]}

ヤングの主張はラプラスの主張よりも一般的であり、光線が一般的に波面に垂直ではない 異常屈折の場合においてもフェルマーの原理を支持していた。しかし残念なことに、ヤングの引用段落の省略された中間の文は「あらゆる波動の運動は、その表面に垂直な 方向でなければならない…」（強調追加）で始まっており、明快さよりも混乱を招く結果となった。

オーギュスタン＝ジャン・フレネルの複屈折に関する「第二覚書」（フレネル、 1827年）には、そのような混乱は見られない。この覚書では、フェルマーの原理について（フェルマーの名前は挙げずに）複数箇所で論じており、光線が波面に垂直な特殊な場合から、光線が最短時間または定常時間の経路である一般的な場合へと展開している。（以下の要約では、ページ番号はアルフレッド・W・ホブソンの翻訳版に基づいている。）

• 異方性結晶ウェッジの一方の面に平行入射する平面波の屈折（ 291～292ページ）については、ウェッジのもう一方の面の向こう側の観測点に「最初に到達した光線」を見つけるには、結晶の外側の光線を波面に垂直に扱い、結晶内では平行な波面のみを考慮すれば十分である（光線の方向に関係なく）。したがって、この場合、フレネルは完全な光線経路を追跡しようとはしない。^{[注10 ]}
• 次に、フレネルは、結晶内部の点光源Mから屈折した光線が、結晶表面上の点Aを通って外部の観測点Bに到達する場合を考察する（294～296頁）。ホイヘンスの構成によれば、Bを通過する面は「最初に到達する擾乱の軌跡」によって与えられ、「最も速く到達する光線AB」に垂直である。しかし、この構成には結晶内部の「波面」（すなわち二次波面）に関する知識が必要となる。
• 次に彼は、非球面二次波面を持つ媒質中を伝播する平面波面を考察する。二次波面は、ホイヘンスの構成によって与えられる光線経路（二次波面の発生源から後続の一次波面との接点までの経路）が一次波面に垂直にならないように配向されている（296ページ）。彼は、この経路が、先行する一次波面から接点までの「擾乱が最も速く到達する経路」であることを示している。
• 後の見出し（305ページ）で、彼は「最速到達経路を決定するホイヘンスの作図法」はあらゆる形状の二次波面に適用できると述べている。そして、ホイヘンスの作図法を2枚のシート状の二次波面を持つ結晶への屈折に適用し、2つの接点から二次波面の中心に線を引くと、「最速到達経路の2つの方向、ひいては常光線と異常光線の方向が得られる」と指摘している。
• 「光線の定義」（309ページ）という見出しの下で、彼はこの用語は二次波の中心と表面上の点を結ぶ線に適用されなければならないと結論付けている。この線の表面に対する傾斜は関係ない。
• 「新たな考察」（310～311ページ）として、彼は、平面波面が点Eを中心とする小さな穴を通過する場合、結果として生じるビームの最大強度方向EDは、 Eから始まる二次波が「最初にそこに到達する」方向であり、穴の反対側（Eから等距離）からの二次波面が「同時にDに到達する」方向であると指摘している。この方向は、どの波面に対しても垂直であるとは想定されていない。

このようにフレネルは、異方性媒質の場合でも、ホイヘンスの構成によって与えられる光線経路は、平面波または発散波面の連続する位置間の最短時間経路であり、光線速度は単位時間後の二次「波面」の半径であり、静止した通過時間はビームの最大強度の方向を説明することを示した。しかし、ホイヘンスの構成とフェルマーの原理との間の一般的な等価性を確立するには、フェルマーの原理を点対点の観点からさらに検討する必要があっただろう。

ヘンドリック・ローレンツは、1886年に執筆され1907年に再出版された論文^{[ 69 ]}で、ホイヘンスの構成から点から点への最短時間原理を導き出した。しかし、彼の議論の本質は、エーテルとエーテル抵抗への明らかな依存によってやや不明瞭になっていた。

ローレンツの研究は1959年にアドリアーン・J・デ・ウィッテによって引用され 、彼はその後、自身の議論を提示した。それは「本質的には同じだが、より説得力があり、より一般的であると考えられている」。デ・ ウィッテの扱いは、2次元に限定されているものの、その説明が示唆するよりも独創的である。彼は変分法を用いて、ホイヘンスの構成とフェルマーの原理が光線の経路に関する同じ微分方程式につながること、そしてフェルマーの原理の場合はその逆が成り立つことを示した。デ・ ウィッテはまた、「この問題は教科書では扱われていないようだ」と指摘した。^{[ 70 ]}