物理学における変分原理の歴史

物理学において、変分原理は、関数または汎関数の極値（最小値、最大値、または鞍点）として識別することにより、物理システムの状態またはダイナミクスを決定するための代替方法です。変分法は、物質と光をシミュレートするために多くの最新のソフトウェアで利用されています。

18 世紀に解析力学が発展して以来、物理学の基本方程式は通常、変分原理をシステムの作用に適用して基本的な運動方程式を復元する 作用原理の観点から確立されてきました。

この記事では、物理学で応用されているこのような作用原理やその他の変分法の歴史的発展について説明します。概要については物理学の歴史を、関連する歴史については物理学の歴史の概要を参照してください。

変分原理は、測量や光学における初期のアイデアの中に見出される。古代エジプトの縄張り職人は、2 点間に紐状のロープを張り、その距離が最小となる経路を測った。また、クラウディウス・プトレマイオスは、著書『地理学』 （第 1 巻、第 2 章）で、「直線経路からの逸脱」を修正する必要があることを強調した。古代ギリシャでは、ユークリッドは著書『カトプトリカ』で、鏡から反射する光の経路については、入射角が反射角に等しいと述べている。また、後にアレクサンドリアのヘロンは、この経路が最短距離で最短時間であることを示した。^{[1] : 580}

力を受けているが機械的平衡に固定されている物体の静的解析では、仮想仕事の原理は平衡からのわずかな数学的シフトを想定する。各シフトは力に対して仕事（エネルギーの損失または獲得）を行うが、これらすべての仮想仕事の合計はゼロでなければならない。この原理は、 1715年にヨハン・ベルヌーイがピエール・ヴァリニョンに宛てた手紙の中で展開されたが、個別に出版されることはなかった。^{[2] : 23} コルネリウス・ランチョスは、わずかに異なる定義をすべての解析力学の単一の公理として使用し、それによってエネルギーに基づく変分原理がニュートン力学よりも強力であることを示した。^{[2] : 87}

1743年、ジャン・ル・ロン・ダランベールは、現在仮想仕事と呼ばれる概念を、張力を受ける棒や弦のような固定された拘束を持つ動的システムに一般化し、ダランベール原理として知られるようになりました。^{[3] ：190}摩擦のない静的（平衡状態）剛体の場合、仮想仕事の原理によれば、位置の変化（）に対するすべての作用力（）の正味の仕事はゼロになります。 ${\displaystyle F_{i}^{(a)}}$${\displaystyle r_{i}}$

${\displaystyle \Sigma _{i}F_{i}^{(a)}\cdot \delta r_{i}=0}$

同様の条件ですが、動力学（運動するシステム）に有効で、各力に対して運動量の変化が生じます。 ${\displaystyle {\dot {p}}_{i}}$

${\displaystyle \Sigma _{i}(F_{i}-{\dot {p}}_{i})\cdot \delta r_{i}=0}$

これはダランベールの原理である。^{[4] : 17}

光学における初期の幾何学的概念は、ピエール・ド・フェルマーによって一般化されました。フェルマーは 17 世紀に、この原理を「光は最短時間の経路に沿って 2 つの特定の点の間を移動する」と洗練しました。これは現在、最小時間の原理またはフェルマーの原理として知られています。フェルマーは、この原理が観察された屈折の法則を予測することを示しました。フェルマーのアプローチは形而上学的なものであり、自然は単純かつ経済的に作用すると主張しました。^{[1] : 580}

1696年、ヨハン・ベルヌーイはヨーロッパの数学者に、摩擦のないビーズが高点と低点の間を最短時間で落下する運動の曲線を導き出すという難問を出した。彼はその曲線を「最速降下曲線」と名付けた（ 「最短」を意味するbrachysと「時間」を意味するchronosから）。 ^{[5] : 31} アイザック・ニュートン、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツらが解を出し、1718年にヨハン・ベルヌーイは弟のジェームズ・ベルヌーイが作成した解に基づく解析を発表した。これらの研究、特にベルヌーイ兄弟が採用した手法は、落下するビーズの軌道の小さな偏差についての推論を含んでいた。したがって、これは変分法の最初の応用となったが、一般原則というよりは特殊なケースであった。^{[5] : 68}

^1744年[6]と1746年^[7] に、ピエール・ルイ・モーペルテュイはフェルマーの概念を最小作用の原理の形で力学に一般化した^{[8] 。}モーペルテュイは形而上学的に「自然はあらゆる作用において倹約的である」と考え、その原理を広く適用した。

この原理から導き出される運動と静止の法則は、自然界で観察されるものとまったく同じであるため、あらゆる現象にこの法則が当てはまることに感心することができます。動物の運動、植物の栄養成長などは、この法則の結果にすぎません。そして、最も賢明に確立された少数の法則がすべての動きに十分であることが分かれば、宇宙の光景はより壮大で、より美しく、その創造主の価値をさらに高めます。

— ピエール・ルイ・モーペルテュイ^[9]

モーペルテュイのこの概念は、今日ではいくぶん決定論的ではあるものの、変分力学の本質の多くを捉えています。

物理学への応用において、モーペルチュイは最小化されるべき量は、作用によるシステム内の運動の持続時間（時間）の積であると示唆した。彼の作用の定義は、彼が論じた問題によって様々であった。^{[1] : 581}彼が使用した形式の1つは「 vis viva 」 と呼ばれていた。

これは、現在システムの 運動エネルギー Tと呼んでいるものの 2 倍の積分です。

レオンハルト・オイラーは1740年から1744年までモーペルチュイと文通していた。^{[1] : 582} 1744年にオイラーは最小作用原理の洗練された定式化を提案した。^[10]彼は書いている^[11]

「発射体の質量をMとし、発射体が距離ds を移動する間に、その高さから生じる速度の二乗を とします。物体は運動量を持ち、これに距離dsを掛けると、距離dsにわたって積分された物体の運動量が得られます。ここで、物体によってこのように記述される曲線は、（同じ端点を結ぶ他のすべての曲線の中から） を最小化する曲線、または Mが一定である限りであると主張します。」^{[注 1]}${\displaystyle v}$${\displaystyle M{\sqrt {v}}}$${\displaystyle Mds{\sqrt {v}}}$${\displaystyle \int Mds{\sqrt {v}}}$${\displaystyle \int ds{\sqrt {v}}}$

オイラーが述べているように、は運動量を移動距離で積分したものであり（ここでは通常の表記法とは逆に速度の二乗を表している点に注意）、現代の表記法では、省略された作用に等しい：^{[4] ：359}${\displaystyle \int Mds{\sqrt {v}}}$${\displaystyle v}$

彼はかなり一般的な言葉で、「宇宙の構造は最も完璧であり、最も賢明な創造主の作品であるため、宇宙で起こることはすべて、最大値と最小値の関係が現れないことはない」と書いています。

オイラーはこのテーマについて書き続け、著書『自然の一般法則に関する考察』（1748 年）では、この量を「努力」と呼んでいます。彼の表現は、現在位置エネルギーと呼ばれるものに対応しており、静力学における最小作用の記述は、静止した物体の系が全位置エネルギーを最小にする構成を採用するという原理に相当します。

「変分法」という用語が初めて使われたのは、1755年、若きジョセフ・ルイ・ラグランジュの研究を通してでした。オイラーは1756年にベルリンアカデミーにラグランジュのアプローチを「変分法」として発表しました。オイラーとは異なり、ラグランジュのアプローチは幾何学的ではなく、純粋に解析的でした。ラグランジュは、個々の座標ではなく、端点間の曲線または経路全体の変分という考え方を導入しました。このために、彼は、座標ではなく積分に作用する、と書かれた新しい形式の微分を導入しました。^{[5] : 111} 彼の表記法は今日でも使用されています。^{[1] : 583}${\displaystyle \delta}$${\displaystyle d}$

変分原理が運動方程式の導出に使われるようになったのは、それから約75年後の1834年と1835年^[12]にウィリアム・ローワン・ハミルトンが 変分原理をラグランジュ関数（Tは運動エネルギー、Vは物体の位置エネルギー）に適用して、現在オイラー・ラグランジュ方程式と呼ばれる方程式を導出したときだった。ハミルトンは、自分の結果がエネルギー保存則によって制約されていると信じ、これを生命力保存則と呼んだ^{[13] 。163}${\displaystyle L=TV}$

この時代にはドイツの科学者で英語の論文を読む人はほとんどいなかったが、1836年にドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコビがハミルトンの研究を読み、すぐに新しい数学の研究を始め、翌年には変分原理に関する画期的な研究を発表した。^[14]ヤコビの成果の中には、ハミルトンの方法を時間依存ポテンシャル（当時は「力関数」と呼ばれていた）に拡張したものもあった。^{[13] : 201}

カール・フリードリヒ・ガウスの 1829 年の最小制約原理や、その帰結であるハインリヒ・ヘルツの 1896 年の最小曲率原理など、古典力学の他の極限原理も定式化されました。

作用原理は3世紀にわたる試行錯誤によって開発され、その名前は原理を自己説明するものではありません。^[15] リチャード・ファインマンは、博士論文^[16]とその後の学部物理学コースの改革を通じて、物理学における変分原理の分野を再活性化しました。^[15]その過程で、彼は用語をひっくり返しました。ファインマンはハミルトンの主要な機能を単に「作用」と呼び、ハミルトンの原理を「最小作用の原理」と呼びました。^[17]以下の表は、現代の物理学の文献に見られる主要な用語をまとめたものです。

表記は、一定エネルギーでの の変化を意味します。 は、 一定エネルギーでの の変化を意味します。 ^[18]省略された作用は、 と表記されることがあります。^[15]一部の著者は、作用を含む変分原理を意味するために「定常作用」または「最小作用」を使用しています。^{[2] : viii  [21] : 92}${\displaystyle (\delta S)_{T}=0}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T=t_{2}-t_{1}}$${\displaystyle (\delta W)_{E}}$${\displaystyle S_{0}}$

1915年、デイヴィッド・ヒルベルトは変分原理を適用して、アルバート・アインシュタインの導出と一致した一般相対性理論の重力場方程式を導出した。 ^[22]（アインシュタインとヒルベルトは1915年を通して、直接または書簡でアインシュタインの一般相対性理論に関する研究について議論した。^[23]）ヒルベルトのアプローチでは、変分原理を「公理」として受け入れる必要があり、これは今日では広く受け入れられている要件だが、1915年の物理学者にとっては疑問視されていた。ヒルベルトの変分は、アインシュタイン-ヒルベルト作用として知られるようになったものに基づいており、

${\displaystyle {\mathcal {S}}[g]={\frac {1}{2\kappa }}\int R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$、

ここで、κはアインシュタインの重力定数、は時空ローレンツ計量の行列式、はスカラー曲率です。 ${\displaystyle g=\det(g_{\alpha \beta })}$${\displaystyle R}$

変分原理は量子力学の発展における重要な時期に決定的な役割を果たした。

マックス・プランクが量子放射体で黒体放射スペクトルを説明するという提案と、アルベルト・アインシュタインが量子放射の仮説で光電効果を説明するという提案に続いて、ニールス・ボーアは原子のモデルにおける軌道の量子化されたエネルギーレベルを提案し、それによって原子による放射の吸収に関するバルマー系列を説明した。しかし、この仮説には力学モデルは含まれていなかった。その後、アルノルド・ゾンマーフェルトは、水素の軌道作用の量子化が、スペクトル線の微細構造につながる相対論的補正を完備したバルマー系列を予測することを示した。しかし、このアプローチはより多くの電子を持つ原子には拡張できず、より根本的なことに、量子仮説自体もこの古典力学の解決策からは説明できなかった。^{[21] : 97}

ド・ブロイは、アインシュタインの相対性理論と光電効果の結果を組み合わせて、ゾンマーフェルトの量子化作用が量子化波動効果に関係しているのではないかと示唆した。エルヴィン・シュレーディンガーはこの考えを採用し、ハミルトンの光機械類推を応用して量子化作用をその作用のハミルトン・ヤコビ方程式に結び付けた。ハミルトンの光線と光波の関係は、物質の軌跡とド・ブロイ物質波の関係になった。^{[21] : 119} 結果として得られたシュレーディンガー方程式は、最初の成功した量子力学となった。

シュレーディンガー方程式を基にした研究は、ハミルトン力学との類似性に依存していた。1933年、ポール・ディラックはラグランジアン力学に基づく代替定式化を求める論文を発表した。彼は作用原理の力と作用自体の相対論的不変性に動機づけられた。^[24]ディラックは、波動関数の確率振幅が作用の複素指数関数を介して振幅と関係していることを示すことができた。 ^{[25] : 1025}${\displaystyle x_{1},t_{2}}$${\displaystyle x_{2},t_{2}}$

ディラックの研究からほぼ10年後の1942年、リチャード・ファインマンは作用原理に基づく新しい量子力学の定式化を構築した。ファインマンはディラックの公式を、との間におけるあらゆる可能な経路からの確率振幅寄与の物理的処方箋として解釈した。これらの可能性は干渉し、建設的干渉は最大振幅の経路を与える。作用の値が と比較して大きい古典的極限では、作用原理によって与えられる単一の古典的経路が結果として生じる。^{[25] : 1027}${\displaystyle x_{1},t_{2}}$${\displaystyle x_{2},t_{2}}$${\displaystyle h}$

1950年、ジュリアン・シュウィンガーはディラックのラグランジアン論文を再検討し、作用原理を別の方向に発展させた。^{[25] : 1082}ファインマンが経路に焦点を当てたのとは異なり、シュウィンガーのアプローチは「微分的」または局所的であった。

標準モデルは、既知のすべての素粒子、ヒッグス場、3つの基本的な相互作用（電磁気、弱い相互作用、強い相互作用、重力相互作用を除く）を含むラグランジアン密度の観点から定義されます。その定式化は1970年代に始まり、微視的物理学に関連するほぼすべての実験結果を説明することに成功しました。^[26]

作用原理によって研究される物理現象の広範さから、あらゆる時代の科学者はこれらの概念を特に基本的なものとみなすようになった。経路による2点の接続は、ある特定の経路の選択に「目的」があると示唆する者もいる。^[27]この目的論的観点は、初期の物理学からフェルマー、モーペルテュイ、そしてマックス・プランクまで続くが、科学的な裏付けはない。^{[21] : 162}現代でも、色彩豊かな言葉遣いが使われており、「自然の命令はすべての経路を探索することだ！」^[28]や「粒子が最小作用の経路を取るのではなく、近傍のすべての経路を嗅ぎ分けるのだ...」^{[17] : II:19}

レイリー卿は、 1877年の『音響理論』で、弾性と古典波の研究のために、固有値と固有ベクトルの探索に変分原理を初めて広く採用した。^[29]レイリー法では、材料組成を完全に把握しなくても、また計算能力を必要とせずに、基本周波数を近似することができる。^[29] 1903年から1908年にかけて、ヴァルター・リッツは、試行関数の最適化に基づく静的および自由振動の問題に対する一連の改良法を導入した。リッツは、オイラー・ベルヌーイの梁理論とクラドニ図の決定でその方法の使用を実証した。^[29]

長年、リッツの研究は西ヨーロッパではほとんど引用されず、1909年にリッツが死去した後にようやく人気が出ました。 ^[30]ロシアでは、物理学者のイヴァン・ブブノフ（1913年）やボリス・ガレルキン（1915年）が1908年のリッツの方法のいくつかを再発見し、普及させました。1940年に、ゲオルギー・I・ペトロフがこれらの近似値を改良しました。^{[30]これらの方法は現在、ブブノフ・ガレルキン法、}ペトロフ・ガレルキン法、リッツ・ガレルキン法など、さまざまな名前で知られています。^[29]

1911年、レイリーはクラドニ問題を解くためのリッツの手法を称賛したが、彼の以前の研究が引用されていないことに不満を述べた。しかし、レイリーとリッツの手法の類似性は時々異議を唱えられてきた。^{[29] [31] [30]}リッツの手法は、手順に応じてレイリー–リッツ法または単にリッツ法と呼ばれることもある。 ^{[29] [30]リッツの手法は、物理学における}偏微分方程式の数値解法のための有限要素法の開発につながった。^[30]

リッツの変分法は、ヘルマン・ファインマン定理の発展とともに量子力学で利用されるようになった。この定理は1926年にシュレーディンガーによって初めて議論され、1932年にパウル・ギュッティンガーによって最初の証明が与えられ、その後1933年にヴォルフガング・パウリとハンス・ヘルマンによって独立に再発見され、1939年にはファインマンによっても再発見された。 ^[要出典]

量子化学と凝縮物質物理学では、量子力学の枠組みで原子、分子、原子核、固体を研究するために変分法が開発されました。これらの中には、ヘリウム原子のスペクトルを決定するためのリッツ法、1930 年のハートリー・フォック法、1964 年の密度汎関数理論と変分モンテカルロ法、1992 年の密度行列繰り込み群(DMRG) などがあります。^{[出典が必要]}

2014年、変分原理は、強力だが不完全な量子コンピュータと古典コンピュータを組み合わせた、ノイズの多い中規模量子（NISQ）コンピューティングと呼ばれるハイブリッド戦略の一部でした。 ^[32]最初の提案には、 変分法と近似最適化アルゴリズムを使用して原子や小分子をシミュレートするために量子現象を利用する変分量子固有値ソルバー[ ^{33]が含まれていました。 [34] [35]}