スペクトル密度

PSDは、正の周波数のみの片側関数であるか、正と負の周波数の両方の関数であるが振幅は半分である両側関数のいずれかになります。ノイズPSDは、一般的に工学では片側関数であり、物理学では両側関数です。^{[ 5 ]}

信号処理において、信号のエネルギー${\displaystyle x(t)}$は $${\displaystyle E\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\ dt.}$$ 全エネルギーが有限であると仮定すると（${\displaystyle x(t)}$は二乗可積分関数であるため、パーセバルの定理（またはプランシュレルの定理）を適用できます。^{[ 6 ]}つまり、 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}\,df,}$$ どこ $${\displaystyle {\hat {x}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi ft}x(t)\ dt,}$$はフーリエ変換で ある${\displaystyle x(t)}$周波数で${\displaystyle f}$（Hz単位）。^{[ 7 ]}この定理は離散時間の場合にも成り立つ。左辺の積分は信号のエネルギーなので、$\displaystyle \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}df}$これは、周波数における信号に含まれるエネルギーを表す、極めて小さな周波数間隔を乗じた密度関数として解釈できる。${\displaystyle f}$周波数間隔において${\displaystyle f+df}$。

したがって、エネルギースペクトル密度は${\displaystyle x(t)}$^{[ 8 ]}と定義される

機能${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$そして自己相関${\displaystyle x(t)}$フーリエ変換ペアを形成する。これはウィーナー・ヒンチン定理としても知られている結果である（周期図も参照）。

信号のエネルギースペクトル密度を測定する物理的な例として、${\displaystyle V(t)}$インピーダンスの伝送線路を伝搬する電気パルスの電位（ボルト単位）を表す。${\displaystyle Z}$そして、ラインが整合抵抗で終端されていると仮定します（つまり、パルスエネルギーはすべて抵抗に供給され、反射はされません）。オームの法則により、時刻 に抵抗に供給される電力は${\displaystyle t}$に等しい${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$したがって、全エネルギーは積分によって求められます。${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$パルスの持続時間における時間に関して。エネルギースペクトル密度の値を求める${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$周波数で${\displaystyle f}$伝送線路と抵抗器の間に、狭い周波数範囲のみを通過させるバンドパスフィルタを挿入することができる（${\displaystyle \Delta f}$（例えば）目的の周波数付近で全エネルギーを測定し、${\displaystyle E(f)}$抵抗器で消費される。${\displaystyle f}$推定値は${\displaystyle E(f)/\Delta f}$この例では、電力${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$単位は V ² ⋅Ω ⁻¹であり、エネルギーは${\displaystyle E(f)}$単位は V ² ⋅s⋅Ω ⁻¹  = Jであり、したがって推定値は${\displaystyle E(f)/\Delta f}$エネルギースペクトル密度の単位は J⋅Hz ⁻¹である。多くの場合、で割るステップを省略するのが一般的である。${\displaystyle Z}$そのため、エネルギースペクトル密度は代わりに V ² ⋅s·Hz ⁻¹の単位を持つ。

この定義は、可算無限個の値を持つ離散信号にも容易に一般化できる。${\displaystyle x_{n}}$例えば、離散的な時間でサンプリングされた信号など${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$: $${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }(\Delta t)^{2}\underbrace {\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}} _{\left|{\hat {x}}_{d}(f)\right|^{2}},}$$ どこ${\displaystyle {\hat {x}}_{d}(f)}$は離散時間フーリエ変換である${\displaystyle x_{n}.}$ サンプリング間隔${\displaystyle \Delta t}$正しい物理単位を維持し、極限で連続ケースを確実に回復するために必要です。${\displaystyle \Delta t\to 0}$しかし、数学分野では、この間隔はしばしば1に設定され、一般性を犠牲にして結果を単純化する。（正規化頻度（単位）も参照）

上記のエネルギースペクトル密度の定義は、エネルギーが1つの時間窓付近に集中している過渡現象（パルス状信号）に適しています。このような場合、信号のフーリエ変換は一般的に存在します。全時間にわたる連続信号の場合、定常過程に存在するパワースペクトル密度（PSD）を定義する必要があります。これは、前述の簡単な例のように、信号または時系列のパワーが周波数に対してどのように分布しているかを記述します。ここで、パワーは実際の物理的なパワーである場合もあれば、抽象的な信号を扱う際の便宜上、信号の二乗値と同一視されることが多い場合もあります。例えば、統計学者は関数の時間的変動を研究します。${\displaystyle x(t)}$（または別の独立変数に関して）電気信号（他の物理プロセスの中でも）との類推を用いると、物理的な電力が関与していない場合でも、これをパワースペクトルと呼ぶのが一般的です。${\displaystyle x(t)}$そしてそれを1オームの抵抗器の端子に印加すると、その抵抗器で消費される瞬時電力は確かに次のように与えられる。${\displaystyle x^{2}(t)}$ワット。

平均電力${\displaystyle P}$信号の${\displaystyle x(t)}$したがって、全期間にわたる平均は、次の時間平均で与えられます。ここで、周期は${\displaystyle T}$ある任意の時間を中心としている$t=t_0$: $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}\left|x(t)\right|^{2}\,dt}$$

積分範囲の時間制限ではなく、信号自体の時間制限を扱う方が都合が良い場合は、平均電力は次のように表すこともできます。 $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|x_{T}(t)\right|^{2}\,dt,}$$ どこ${\displaystyle x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t)}$そして${\displaystyle w_{T}(t)}$任意期間内では1、それ以外の期間では0となる。

いつ${\displaystyle P}$がゼロでない場合、積分は少なくとも と同じ速さで無限大に増加する必要があります。${\displaystyle T}$そうです。それが、発散する積分である信号のエネルギーを使用できない理由です。

信号の周波数成分を分析すると${\displaystyle x(t)}$通常のフーリエ変換を計算したいと思うかもしれない${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$;しかし、多くの関心対象信号に対して、通常のフーリエ変換は形式的には存在しない。^{[注1 ]}ただし、適切な条件下では、フーリエ変換の特定の一般化（例えば、フーリエ・スティルチェス変換）は依然としてパーセバルの定理に従う。したがって、 $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,df,}$$ ここで、被積分関数はパワースペクトル密度を定義します: ^{[ 9 ] [ 10 ]}

畳み込み定理は、${\displaystyle |{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}}$時間畳み込みのフーリエ変換として${\displaystyle x_{T}^{*}(-t)}$そして${\displaystyle x_{T}(t)}$ここで、*は複素共役を表します。

以下の主張を証明するために、式2の表現を見つけます。${\displaystyle [{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}}$それは目的に役立つでしょう。実際、私たちはそれを実証します。${\displaystyle [{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}}$まず最初に、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\end{aligned}}}$$ そして${\displaystyle z=-t}$、 となることによって${\displaystyle z\rightarrow -\infty }$いつ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$そしてその逆もまた然り。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt&=\int _{\infty }^{-\infty }x_{T}^{*}(z)e^{i2\pi fz}\left(-dz\right)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(z)e^{i2\pi fz}dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\end{aligned}}}$$ 最後の行では、${\displaystyle z}$そして${\displaystyle t}$ダミー変数です。したがって、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)[e^{-i2\pi ft}]^{*}dt\\&=\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}(t)e^{-i2\pi ft}dt\right]^{*}\\&=\left[{\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\right]^{*}\\&=\left[{\hat {x}}_{T}(f)\right]^{*}\end{aligned}}}$$ 証明終了

それでは、証明された恒等式を用いて、式2の以下の主張を証明してみましょう。さらに、置換を行います。${\displaystyle u(t)=x_{T}^{*}(-t)}$このように、以下のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}&=[{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}\cdot {\hat {x}}_{T}(f)\\&={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\mathbin {\mathbf {*} } x_{T}(t)\right\}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }u(\tau -t)x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau ,\end{aligned}}}$$ ここで、畳み込み定理は3行目から4行目へ移行する際に使用されています。

さて、上記の時間畳み込みを周期で割ると${\displaystyle T}$そして極限をとると${\displaystyle T\rightarrow \infty }$すると、それはウィンドウ処理されていない信号の自己相関関数となる。${\displaystyle x(t)}$と表記される${\displaystyle R_{xx}(\tau )}$ただし、${\displaystyle x(t)}$エルゴード的であるが、これは実際的なケースのほとんどで当てはまるが、すべてに当てはまるわけではない。^{[注2 ]}$${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$$

エルゴード性を仮定すると、${\displaystyle x(t)}$パワースペクトル密度は、自己相関関数のフーリエ変換として再び求められる。${\displaystyle R_{xx}}$これはウィーナー・ヒンチン定理として知られる性質である。^{[ 11 ]}

多くの著者は、我々が行ったように信号のフーリエ変換ではなく、自己相関関数の観点からパワースペクトル密度を定義するためにこの関係を使用しています。^{[ 12 ]}

特定の周波数帯域における信号のパワー${\displaystyle [f_{1},f_{2}]}$、 どこ${\displaystyle 0<f_{1}<f_{2}}$は周波数について積分することで計算できます。${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$正の周波数帯域と負の周波数帯域には同量の電力が割り当てられ、次の形式で係数2が示されます（このような些細な係数は使用される慣例に依存します）。 $${\displaystyle P_{\textsf {band-limited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f)\,df}$$ より一般的には、同様の手法を用いて時間変動スペクトル密度を推定することができる。この場合、時間間隔は${\displaystyle T}$は無限大に近づくのではなく有限です。この結果、以下の周波数ではスペクトル範囲と解像度が低下します。${\displaystyle 1/T}$はサンプリングされず、結果は${\displaystyle 1/T}$これらは独立ではありません。このような時系列を1つだけ使用すると、推定パワースペクトルは非常に「ノイズ」が多くなります。しかし、上記の式で期待値を評価する際に、実現値の統計的アンサンブルに対応する多数の（または無限の）短期スペクトルを使用できれば、この問題は軽減できます。${\displaystyle x(t)}$指定された期間にわたって評価される。

エネルギースペクトル密度と同様に、パワースペクトル密度の定義も離散時間変数に一般化することができる。${\displaystyle x_{n}}$以前と同様に、${\displaystyle -N\leq n\leq N}$信号は離散的な時間でサンプリングされる${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$測定期間全体${\displaystyle T=(2N+1)\,\Delta t}$。 $${\displaystyle S_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }{\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}}$$ PSDの単一の推定値は有限個のサンプリングによって得られることに注意してください。これまでと同様に、実際のP​​SDは、次の場合に得られます。${\displaystyle N}$（したがって）${\displaystyle T}$）が無限大に近づくと、期待値が正式に適用されます。実際のアプリケーションでは、通常、有限測定PSDを多数の試行にわたって平均化し、個々の測定の根底にある物理プロセスの理論PS​​Dのより正確な推定値を取得します。この計算されたPSDは、周期図と呼ばれることもあります。この周期図は、推定回数と平均化時間間隔が長くなるにつれて、真のPSDに収束します。${\displaystyle T}$無限大に近づく。^{[ 13 ]}

2つの信号が両方ともパワースペクトル密度を持つ場合、同様に相互スペクトル密度を計算できます。PSDが自己相関と関連しているように、相互スペクトル密度も相互相関と関連しています。

2つの信号が与えられた場合${\displaystyle x(t)}$そして${\displaystyle y(t)}$それぞれがパワースペクトル密度を持つ${\displaystyle S_{xx}(f)}$そして${\displaystyle S_{yy}(f)}$相互パワースペクトル密度（CPSD）または相互スペクトル密度（CSD ）を定義することが可能です。まず、このような合成信号の平均パワーについて考えてみましょう。 $${\displaystyle {\begin{aligned}P&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]^{*}\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]dt\\&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+|y_{T}(t)|^{2}dt\\\end{aligned}}}$$

パワースペクトル密度の導出に使用したのと同じ表記法と方法を用いて、パーセバルの定理を利用し、 $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {x}}_{T}^{*}(f){\hat {y}}_{T}(f)\right]&S_{yx}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {y}}_{T}^{*}(f){\hat {x}}_{T}(f)\right]\end{aligned}}}$$ ここでもまた、${\displaystyle S_{xx}(f)}$そして${\displaystyle S_{yy}(f)}$既に理解されている。${\displaystyle S_{xy}^{*}(f)=S_{yx}(f)}$したがって、クロスパワーへの完全な寄与は、一般に、個々のCPSDの実部を 2 倍したものから得られます。これまでと同様に、ここからこれらの積を時間畳み込みのフーリエ変換として再定式化し、それを周期で割って極限を取ると、${\displaystyle T\to \infty }$相互相関関数のフーリエ変換となる。^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )y_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\S_{yx}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{yx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau ,\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle R_{xy}(\tau )}$は相互相関です${\displaystyle x(t)}$と${\displaystyle y(t)}$そして${\displaystyle R_{yx}(\tau )}$は相互相関です${\displaystyle y(t)}$と${\displaystyle x(t)}$こうした観点から、PSDはCSDの特殊なケースと見なされる。${\displaystyle x(t)=y(t)}$。 もし${\displaystyle x(t)}$そして${\displaystyle y(t)}$は実信号（電圧や電流など）であり、そのフーリエ変換は${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$そして${\displaystyle {\hat {y}}(f)}$慣例として、通常は正の周波数に限定されます。したがって、一般的な信号処理では、完全なCPSDは、 CPSDの1つを2倍にスケーリングしたものになります。 $${\displaystyle \operatorname {CPSD} _{\text{Full}}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)}$$

離散信号x _nとy _nの場合、相互スペクトル密度と相互共分散の関係は次のようになります。 $${\displaystyle S_{xy}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau _{n})e^{-i2\pi f\tau _{n}}\,\Delta \tau }$$

信号のパワースペクトルの概念と利用は、電気工学、特に無線通信、レーダー、関連システム、受動型リモートセンシング技術などの電子通信システムにおいて基礎となるものです。信号のパワースペクトルを観測・測定するために、スペクトラムアナライザと呼ばれる電子機器が使用されます。

スペクトルアナライザは、入力信号の短時間フーリエ変換（STFT）の振幅を測定します。解析対象の信号が定常過程とみなせる場合、STFTはその信号のパワースペクトル密度の平滑化された良好な推定値となります。

初期宇宙における原始的なゆらぎ、すなわち密度の変動は、空間スケールの関数として変動のパワーを示すパワースペクトルによって定量化される。