ウィットル確率

統計学において、ホイットル尤度は定常ガウス時系列の尤度関数の近似値である。これは数学者で統計学者のピーター・ホイットルにちなんで名付けられ、彼は1951年に博士論文でこれを導入した。^[1] これは時系列分析や信号処理においてパラメータ推定や信号検出によく使用される。

定常ガウス時系列モデルでは、尤度関数は（ガウスモデルでは通常）関連する平均と共分散パラメータの関数です。観測値の数（ ）が多いと、（）共分散行列が非常に大きくなり、実際には計算コストが非常に高くなります。ただし、定常性のため、共分散行列の構造はかなり単純であり、近似を使用することで計算を大幅に簡素化できます（ から まで）。^{[2]この考え方は、}フーリエ領域で異分散ゼロ平均ガウスモデルを想定することに実質的に帰着します。モデルの定式化は、時系列の離散フーリエ変換とそのパワースペクトル密度に基づいています。^{[3] [4] [5]}${\displaystyle N}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle O(N^{2})}$${\displaystyle O(N\log(N))}$

を（片側）パワースペクトル密度を持つ定常ガウス時系列とします。ここで、は偶数で、サンプルは一定のサンプリング間隔で取得されます。を時系列の（複素数値）離散フーリエ変換（DFT）とします。すると、ホイットル尤度に対して、実部と虚部の分散が次式で与えられる、 すべてに対して独立したゼロ平均ガウス分布を仮定することが事実上可能になります。${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$${\displaystyle S_{1}(f)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Delta_{t}}$${\displaystyle {\tilde {X}}_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{N/2+1}}$${\displaystyle {\tilde {X}}_{j}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\operatorname {Re} ({\tilde {X}}_{j})\right)=\operatorname {Var} \left(\operatorname {Im} ({\tilde {X}}_{j})\right)=S_{1}(f_{j})}$

ここで、は 番目のフーリエ周波数である。この近似モデルは、（対数）尤度関数を直ちに導く。 ${\displaystyle f_{j}={\frac {j}{N\,\Delta _{t}}}}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle \log \left(P(x_{1},\ldots ,x_{N})\right)\propto -\sum _{j}\left(\log \left(S_{1}(f_{j})\right)+{\frac {|{\tilde {x}}_{j}|^{2}}{{\frac {N}{2\,\Delta _{t}}}S_{1}(f_{j})}}\right)}$

ここで はの絶対値を表します。^{[3] [4] [6]}${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle |{\tilde {x}}_{j}|^{2}=\left(\operatorname {Re} ({\tilde {x}}_{j})\right)^{2}+\left(\operatorname {Im} ({\tilde {x}}_{j})\right)^{2}}$

ノイズスペクトルが事前に分かっており、ノイズ特性がデータから推測されない 場合、尤度関数は定数項を無視することでさらに簡略化され、二乗和の式が得られる。

${\displaystyle \log \left(P(x_{1},\ldots ,x_{N})\right)\;\propto \;-\sum _{j}{\frac {|{\tilde {x}}_{j}|^{2}}{{\frac {N}{2\,\Delta _{t}}}S_{1}(f_{j})}}}$

この式は、一般的なマッチドフィルタの基礎でもあります。

一般にホイットル尤度は近似値に過ぎず、スペクトルが一定である場合、つまり白色ノイズの単純なケースでのみ正確である。ホイットル近似値の効率は常に特定の状況に依存する。 ^{[7] [8]}

フーリエ変換の線形性により、フーリエ領域でのガウス性は時間領域でのガウス性を意味し、逆もまた同様であることに注意してください。ホイットル尤度が近似的にしか正確でないのは、サンプリング定理、つまり有限数のデータ ポイントのみをフーリエ変換する効果に関係しており、これは関連する問題でスペクトル漏れとして現れます(同じ方法、つまりウィンドウ処理を使用して改善できます)。この場合、暗黙の周期性仮定は、最初と最後のサンプル (および) 間の相関を意味し、これらは事実上「隣接する」サンプル (およびなど)として扱われます。 ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{N}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

ホイットル尤度は、非白色雑音に埋もれた信号の信号パラメータを推定するのによく使用されます。雑音スペクトルは既知であると仮定することも、^[9] 信号パラメータとともに推測することもできます。^{[4] [6]}

信号検出は、既知のノイズパワースペクトル密度の場合のホイットル尤度に基づく整合フィルタで一般的に行われる。 ^{[10] [11]整合フィルタは、信号の}最大尤度フィッティングをノイズデータに対して 効果的に実行し、結果として得られる尤度比を検出統計として使用する。^[12]

整合フィルタは、ノイズスペクトルの不確実性（例えば推定の不確実性）も考慮することで、スチューデントt分布に基づく類似の手順に一般化することができます。技術的な面では、EMアルゴリズムをここで利用することができ、実質的に繰り返し整合フィルタリングにつながります。^[12]

ホイットル尤度は、単独でも信号パラメータと組み合わせても、ノイズスペクトルの推定に適用できます。 ^{[13] [14]}

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• 加重最小二乗法