スペクトル漏洩

時間の関数 s(t) のフーリエ変換は、周波数の複素数値関数 S(f) であり、周波数スペクトル と呼ばれることがよくあります。s ( t ) に対する線形時間不変演算は、H(f)•S(f) という形式の新しいスペクトルを生成し、S(f) の非ゼロ値の相対的な大きさや角度 (位相) を変更します。 その他の種類の演算は、最も広い意味で スペクトル漏れと呼ばれる新しい周波数成分を生成します。たとえば、サンプリング は漏れを生成しますが、これを元のスペクトル成分のエイリアスと呼びます。フーリエ変換の目的では、サンプリングはs(t) とディラックのくし形関数の積としてモデル化されます。 積のスペクトルは、 S(f) と別の関数の畳み込みであり、必然的に新しい周波数成分が生成されます。 ただし、「漏れ」という用語は通常、s(t) と異なる種類の関数 (ウィンドウ関数) の積であるウィンドウ処理の効果を指します。ウィンドウ関数には有限の期間がありますが、漏れを発生させるためにはそれが必須ではありません。時間変動関数による乗算で十分です。

関数cos( ωt )のフーリエ変換は、周波数 ± ωを除いてゼロです。ただし、他の多くの関数や波形には、便利な閉形式の変換がありません。あるいは、特定の期間のみのスペクトル内容に関心がある場合もあります。どちらの場合でも、フーリエ変換 (または同様の変換) は、波形の 1 つ以上の有限間隔に適用できます。一般に、変換は波形とウィンドウ関数の積に適用されます。任意のウィンドウ (長方形を含む) は、この方法で計算されるスペクトル推定に影響します。

これらの効果は、正弦波 s(t) 関数への影響によって最も簡単に特徴付けられます。この関数のウィンドウなしフーリエ変換は、1 つの周波数を除いてすべて 0 になります。ウィンドウ付きフーリエ変換は、単にウィンドウ関数自体のフーリエ変換であるため、通常選択される周波数は 0 Hz です ( 「ウィンドウ関数の例」を参照) 。

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{w(t)\cdot \underbrace {\cos(2\pi 0t)} _{1}\}={\mathcal {F}}\{w(t)\}.}$

サンプリングとウィンドウ処理の両方を s(t) に適用した場合、どちらの順序であっても、ウィンドウ処理によって生じる漏れは周波数成分の比較的局所的な拡散であり、多くの場合はぼやけた効果を伴いますが、サンプリングによって生じるエイリアシングはぼやけたスペクトル全体の周期的な繰り返しです。

cos( ωt )のような単純な波形にウィンドウ処理を施すと、そのフーリエ変換によってω以外の周波数でゼロ以外の値 (一般にスペクトル漏れと呼ばれる) が発生します。漏れはω の近くで最悪 (最大) になり、 ωから最も遠い周波数で最小になる 傾向があります。

分析対象の波形が周波数の異なる 2 つの正弦波で構成されている場合、漏れによってスペクトル的にそれらを区別する能力が妨げられる可能性があります。考えられる干渉の種類は、多くの場合、次のように 2 つの対立するクラスに分類されます。成分の周波数が異なり、一方の成分が弱い場合、強い成分からの漏れによって弱い成分の存在が不明瞭になる可能性があります。しかし、周波数が近すぎると、漏れによって正弦波の強度が同じであっても分離できなくなる可能性があります。最初の種類の干渉、つまり成分の周波数と振幅が異なる場合に有効なウィンドウは、高ダイナミックレンジと呼ばれます。逆に、周波数と振幅が似ている成分を区別できるウィンドウは、高解像度と呼ばれます。

長方形ウィンドウは、高解像度だがダイナミック レンジが低いウィンドウの例です。つまり、周波数が近い場合でも同様の振幅の成分を区別するのには適していますが、周波数が離れていても異なる振幅の成分を区別するのは苦手です。長方形ウィンドウなどの高解像度でダイナミック レンジが低いウィンドウには、高感度という特性もあります。これは、加法的なランダム ノイズがある場合でも比較的弱い正弦波を検出できる能力です。これは、ノイズが高解像度ウィンドウよりも高ダイナミック レンジ ウィンドウの方が強い反応を生成するためです。

ウィンドウの種類の範囲のもう一方の極端なものは、ダイナミック レンジは高いが解像度と感度が低いウィンドウです。ダイナミック レンジが高いウィンドウは、分析対象のスペクトルにさまざまな振幅のさまざまなコンポーネントが含まれることが予想される広帯域アプリケーションで最もよく使用されます。

両極端の間には、ハンやハミングなどの中程度のウィンドウがあります。これらは、電話チャネルのスペクトルなどの 狭帯域アプリケーションでよく使用されます。

要約すると、スペクトル解析では、類似した周波数の同等の強度成分を分解すること（高解像度/高感度）と、異なる周波数の異なる強度成分を分解すること（高ダイナミックレンジ）との間でトレードオフが発生します。このトレードオフは、ウィンドウ関数を選択した場合に発生します。^{[1] ：p.90}

入力波形が連続的ではなく時間サンプリングされている場合、分析は通常、ウィンドウ関数を適用してから離散フーリエ変換(DFT) を適用することによって行われます。しかし、DFT は実際の離散時間フーリエ変換(DTFT) スペクトルのスパース サンプリングのみを提供します。図 2、行 3 は、長方形ウィンドウの正弦波の DTFT を示しています。正弦波の実際の周波数は、水平軸に「13」として示されています。その他はすべて漏れであり、対数表示を使用して誇張されています。周波数の単位は「DFT ビン」です。つまり、周波数軸上の整数値は、DFT によってサンプリングされた周波数に対応します。^{[2] : p.56 式 (16)} したがって、この図は、正弦波の実際の周波数が DFT サンプルと一致し、スペクトルの最大値がそのサンプルによって正確に測定される場合を示しています。 4 行目では、最大値を1 ⁄ 2ビン分逃しており、その結果生じる測定誤差はスカロッピング損失と呼ばれます(ピークの形状に由来)。音符や正弦波テスト信号などの既知の周波数の場合、サンプリング レートとウィンドウ内のサイクル数が整数になるウィンドウ長を選択することで、周波数を DFT ビンに一致させることを事前に準備できます。

解像度とダイナミック レンジの概念は、ユーザーが実際に何をしようとしているかによって、いくぶん主観的になりがちです。しかし、これらはまた、定量化可能な総リークと高い相関関係にある傾向があります。これは通常、等価帯域幅 B として表されます。これは、DTFT を、高さがスペクトル最大値に等しく、幅が B の長方形に再分配するものと考えることができます。 ^{[A] [3]} リークが大きいほど、帯域幅は大きくなります。これは、入力信号にランダム ノイズ成分が含まれている場合 (または単なるランダム ノイズである場合)に各 DFT ビンによって記録される平均電力に比例するため、ノイズ等価帯域幅または等価ノイズ帯域幅と呼ばれることもあります。時間で平均化されたパワー スペクトルのグラフは、通常、この効果によって生じる平坦なノイズ フロアを明らかにします。ノイズ フロアの高さは B に比例します。そのため、図 1 と図 3 に示すように、2 つの異なるウィンドウ関数によって異なるノイズ フロアが生成される可能性があります。

信号処理では、信号とそれを妨害する影響との相違を利用して、信号の品質の何らかの側面を改善する操作が選択されます。信号が加法性ランダム ノイズによって妨害された正弦波である場合、スペクトル解析によって信号とノイズの成分が別々に分散されるため、多くの場合、信号の存在を検出したり、振幅や周波数などの特定の特性を計測したりすることが容易になります。実質的には、ノイズを均一に分散し、正弦波のエネルギーのほとんどを 1 つの周波数に集中させることで、 信号対ノイズ比(SNR) が向上します。処理ゲインは、SNR の改善を説明するためによく使用される用語です。スペクトル解析の処理ゲインは、ウィンドウ関数、つまりノイズ帯域幅 (B) と潜在的なスカロッピング損失の両方に依存します。スカロッピングが最も少ないウィンドウは当然、リークが最も大きくなるため、これらの効果は部分的に相殺されます。

図 3 は、加法性ノイズの 2 つの等強度正弦波を含む同じデータ セットに対する 3 つの異なるウィンドウ関数の効果を示しています。正弦波の周波数は、1 つがスカロッピングを起こさず、もう 1 つが最大のスカロッピングを起こせるように選択されています。両方の正弦波は、ブラックマン ハリスウィンドウよりもハンウィンドウの方が SNR 損失が少なくなります。一般的に (前述のように)、これは低ダイナミック レンジ アプリケーションで高ダイナミック レンジ ウィンドウを使用することを阻む要因となります。

§ ウィンドウ関数の例で提供されている式は、連続ウィンドウ関数が「サンプリング」されたかのように、離散的なシーケンスを生成します。（Kaiserウィンドウの例を参照してください。）スペクトル解析用のウィンドウシーケンスは、対称または対称から1サンプル短い（周期、^{[4] [5]} DFT-偶数、またはDFT-対称^{[2] ：p.52}と呼ばれる）のいずれかです。たとえば、単一の中心点で最大値を持つ真の対称シーケンスは、MATLAB関数によって生成されますhann(9,'symmetric')。最後のサンプルを削除すると、 と同一のシーケンスが生成されますhann(8,'periodic')。同様に、シーケンスにhann(8,'symmetric')は2つの等しい中心点があります。^[6]

一部の関数には 1 つまたは 2 つのゼロ値のエンドポイントがありますが、これはほとんどのアプリケーションでは不要です。ゼロ値のエンドポイントを削除しても、DTFT (スペクトル漏れ) には影響しません。ただし、 1 つまたは両方のエンドポイントを削除することを想定してN  + 1 またはN  + 2 サンプル用に設計された関数は、通常、メインローブがわずかに狭く、サイドローブがわずかに高く、ノイズ帯域幅がわずかに小さくなります。^[7]

DFT の前身は有限フーリエ変換であり、ウィンドウ関数は「常に奇数の点を持ち、原点に関して偶対称性を示す」ものでした。^{[2] : p.52} その場合、DTFT は完全に実数値です。同じシーケンスがDFT データウィンドウにシフトされると、DTFT は、 の一定間隔で配置された周波数を除いて複素数値になります。 ^[a]したがって、長さの DFT でサンプリングされた場合、サンプル ( DFT 係数と呼ばれる) は依然として実数値です。近似値は、長さN +1 のシーケンス (実質的に) を切り捨て、長さの DFT を計算することです。DTFT (スペクトル漏れ) はわずかに影響を受けますが、サンプルは実数値のままです。^{[8] [B]} DFT 偶数および周期的という 用語は、切り捨てられたシーケンスが定期的に繰り返される場合、 に関して偶対称になり、その DTFT は完全に実数値になるという考えを指します。しかし、実際の DTFT は、DFT 係数を除いて、一般的に複素数値です。§ウィンドウ関数の例のようなスペクトル プロットは、 よりもはるかに小さい間隔で DTFT をサンプリングし、複素数の振幅成分のみを表示することによって生成されます。 ${\displaystyle [0\leq n\leq N],}$${\displaystyle 1/N.}$${\displaystyle N}$${\displaystyle w[N]=0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n=0,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 1/N}$

N +1 の長さのシーケンスの DTFT を 間隔でサンプリングする正確な方法は、 DTFT § L=N+1で説明されています。基本的に、は と(加算によって) 結合され、切り捨てられたシーケンスに対して - 点 DFT が実行されます。同様に、スペクトル解析は、切り捨てられた対称ウィンドウを適用する前に、とデータサンプルを組み合わせることによって行われます。切り捨てられたウィンドウは非常に一般的ですが、これは一般的な方法ではありません。^{[2] [9] [10] [11] [12] [13] [b]}${\displaystyle 1/N}$${\displaystyle w[N]}$${\displaystyle w[0]}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle n=N}$

DFT 対称ウィンドウの魅力は、 DFT の実装に高速フーリエ変換(FFT) アルゴリズムが普及していることで説明できます。これは、奇数長のシーケンスを切り捨てると偶数長のシーケンスになるためです。実数値の DFT 係数は、DFT 係数とデータのウィンドウなし DFT との畳み込みによってウィンドウ処理が実現される、特定の難解なアプリケーション^{[C]でも有利です。 [14] [2] : p.62  [1] : p.85} これらのアプリケーションでは、コサイン和ファミリの DFT 対称ウィンドウ (偶数または奇数長) が好まれます。これは、ほとんどの DFT 係数がゼロ値であるため、畳み込みが非常に効率的になるためです。^{[D] [1] : p.85}

アプリケーションに適切なウィンドウ関数を選択する場合、この比較グラフが役立つ場合があります。長さNのウィンドウがデータに適用され、長さNの変換が計算されると、周波数軸には FFT「ビン」の単位が表示されます。たとえば、周波数⁠の値1/2⁠ 「ビン」は、周波数k  +  の正弦波信号に対してビンkとk + 1で測定される応答です。 ⁠1/2⁠。これは、信号周波数が整数のビンであるときに発生する最大可能応答に対する相対値です。周波数 ⁠ の値1/2⁠はウィンドウの最大スカロップ損失と呼ばれ、ウィンドウを比較するために使用される 1 つのメトリックです。このメトリックに関して、長方形のウィンドウは他のウィンドウよりも著しく劣っています。

他に確認できる指標としては、メインローブの幅とサイドローブのピーク レベルがあります。これらはそれぞれ、同等の強度の信号と異なる強度の信号を分解する能力を決定します。たとえば、長方形ウィンドウは前者には最適な選択ですが、後者には最悪の選択です。グラフからはわかりませんが、長方形ウィンドウはノイズ帯域幅が最適であり、ホワイト ノイズ環境で低レベルの正弦波を検出するのに適しています。ゼロ パディングや周波数シフトなどの補間技術を使用して、潜在的なスカロッピング損失を軽減できます。

• § DTFTのサンプリング
• ナイフエッジ効果、切り捨ての空間的類似物
• ギブス現象