群遅延と位相遅延

フーリエ解析は、時間信号が三角関数に基づく正弦波周波数成分の和として表現できることを明らかにします。${\displaystyle \sin(x)}$振幅と位相が固定されており、始まりも終わりもない。

線形時不変システムは、各正弦波成分を独立して処理します。線形性という性質は、重ね合わせの原理を満たすことを意味します。

線形時不変システムまたはデバイスは、位相応答特性と位相遅延特性を持ち、一方から他方を正確に計算できます。位相遅延は、デバイスまたはシステムの個々の正弦波周波数成分の時間遅延を直接測定します。関心のある周波数範囲内の任意の周波数における位相遅延関数が、選択された周波数での位相と選択された周波数自体との間の比例定数が同じである場合、システム/デバイスは理想的な平坦な位相遅延特性、つまり線形位相を持ちます。^{[ 1 ]}位相遅延は時間遅延を与える周波数の関数であるため、その関数グラフの平坦性からの逸脱は、信号のさまざまな正弦波周波数成分間の時間遅延の違いを明らかにする可能性があり、その場合、これらの違いは信号の歪みに寄与し、出力信号の波形の形状が入力信号の形状と異なるという形で現れます。

一般的に、位相遅延特性は、デバイス入力が変調信号である場合、有用な情報を提供しません。そのため、群遅延を使用する必要があります。

群遅延は、変調システムにおける周波数に対する位相の線形性を測定する便利な尺度です。^{[ 3 ] [ 4 ]}変調信号（通過帯域信号）の場合、信号によって運ばれる情報は、波形の包絡線にのみ含まれています。したがって、群遅延は包絡線から得られる周波数成分のみで動作します。

基本変調システム

デバイスの群遅延は、デバイスの位相応答から正確に計算できますが、その逆はできません。群遅延の最も単純な使用例は図 1 に示されています。これは概念的な変調システムを示しており、それ自体がベースバンド出力が理想的にはベースバンド信号入力の正確なコピーである LTI システムです。このシステム全体は、ここでは外側の LTI システム/デバイスと呼ばれ、その中に内側 (赤いブロック) LTI システム/デバイスが含まれています。無線システムの場合によくあるように、図 1 の内側の赤い LTI システムは、カスケード接続された 2 つの LTI システムを表すことができます。たとえば、送信側で送信アンテナを駆動するアンプと、受信側でアンテナとアンプを駆動するアンプなどです。

このようなシステムが、正弦波に振幅包絡線を乗じた波束によって駆動されると仮定します。${\displaystyle \displaystyle A_{\text{env}}(t)>0}$入力は${\displaystyle \displaystyle x(t)}$次のように表現できます。

${\displaystyle x(t)=A_{\text{env}}(t)\cos(\omega t+\theta )\,.}$

また、封筒が${\displaystyle \displaystyle A_{\text{env}}(t)}$正弦波の周波数に対してゆっくりと変化している${\displaystyle \displaystyle \omega }$この条件は、数学的に次のように表すことができます。

$\displaystyle \left|{\frac {d}{dt}}\log {\big (}A_{\text{env}}(t){\big )}\right|\ll \omega \ .}$

先に述べた畳み込み方程式を適用すると、このようなLTIシステムの出力は次のように非常に良く近似されることがわかる。

${\displaystyle y(t)={\big |}H(i\omega ){\big |}\ A_{\text{env}}(t-\tau _{g})\cos {\big (}\omega (t-\tau _{\phi })+\theta {\big )}\;.}$

ここ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$グループ遅延と${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$は位相遅延であり、以下の式で与えられます（そして、場合によっては角周波数の関数となります）。${\displaystyle \displaystyle \omega }$) 正弦波の位相は、ゼロ交差の位置によって示されるように、位相遅延に等しい量だけ時間的に遅延します。${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$正弦波のエンベロープは群遅延によって時間的に遅延する。${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$。

グループ遅延、${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$、位相遅延、${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$は（潜在的に）周波数依存性があり^{[ 5 ]} 、アンラップされた位相シフトから計算できる。${\displaystyle \displaystyle \phi (\omega )}$各周波数における位相遅延は、その周波数における位相シフトの負の値をその周波数の値で割った値に等しい。

${\displaystyle \tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}\,.}$

各周波数における群遅延は、その周波数における位相の傾き（すなわち周波数に関する微分）の負の値に等しい。 ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\,.}$

線形位相システム（非反転ゲイン）では、${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$そして${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$定数（つまり、${\displaystyle \displaystyle \omega }$）と等しく、それらの共通値はシステムの全体遅延に等しく、システムのアンラップ位相シフト（すなわち、${\displaystyle \displaystyle -\omega \tau _{\phi }}$）は負であり、その大きさは周波数に比例して直線的に増加する。${\displaystyle \displaystyle \omega }$。

より一般的には、伝達関数を持つLTIシステムの場合、${\displaystyle \displaystyle H(s)}$単位振幅の複素正弦波によって駆動され、

${\displaystyle x(t)=e^{i\omega t}\ }$

出力は

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=H(i\omega )\ e^{i\omega t}\ \\&=\left({\big |}H(i\omega ){\big |}e^{i\phi (\omega )}\right)\ e^{i\omega t}\ \\&={\big |}H(i\omega ){\big |}\ e^{i\left(\omega t+\phi (\omega )\right)}\ \\\end{aligned}}\ }$

位相シフト${\displaystyle \displaystyle \phi }$は

${\displaystyle \phi (\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \arg \left\{H(i\omega )\right\}\;.}$

カットオフ周波数を持つRC回路で構成された1次ローパスフィルタの位相${\displaystyle \omega _{o}{=}{\frac {1}{RC}}}$は：^{[ 7 ]}

$${\displaystyle \phi (\omega )=-\arctan \left({\frac {\omega }{\omega _{o}}}\right)\,.}$$

同様に、1次RCハイパスフィルタの位相は次のようになります。

$${\displaystyle \phi (\omega )={\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {\omega }{\omega _{o}}}\right)\,.}$$

に関して負の微分をとる${\displaystyle \omega }$このローパスフィルタまたはハイパスフィルタのどちらを使用しても、同じグループ遅延が得られます。^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{g}(\omega )&={\frac {\omega _{o}}{\omega ^{2}+\omega _{o}^{2}}}\,.\\\end{aligned}}}$$

カットオフ周波数よりもかなり低い周波数では、位相応答はほぼ線形（入力が小さい場合のarctanは直線で近似できる）であるため、群遅延は次の定数に単純化されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{g}(\omega \ll \omega _{o})&\approx {\frac {1}{\omega _{o}}}=RC\,.\\\end{aligned}}}$$

同様に、カットオフ周波数では、${\displaystyle \tau _{g}(\omega {=}\omega _{o})={\frac {1}{2\omega _{o}}}={\frac {RC}{2}}\,.}$

周波数がさらに大きくなると、群遅延は周波数の二乗に反比例して減少し、周波数が無限大に近づくにつれてゼロに近づきます。

• 図2：負群遅延フィルタ回路
• 
  負の群遅延を持つ回路${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$= −RC = −1 msは1 ⁄ RC = 1 kHzよりはるかに低い周波数の場合です。
• 
  LTspice ACシミュレーション${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$1 Hz から(${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$≅ −1 ms ) ～10 kHz (${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$≅ 0 ms )。
• 
  入力（緑色）波の過渡シミュレーション。出力（赤色）は入力より1ミリ秒先行しているが、入力がオンオフされる際に不安定性が発生する。

フィルタは、位相応答が正の傾斜を示す周波数範囲で負の群遅延を持ちます。信号が最大周波数 B 内に帯域制限されている場合、その信号はわずかに予測可能です ( 1 / Bより短い時間間隔内)。信号の全周波数範囲で群遅延が負であるフィルタは、信号の予測可能性を利用して、非因果的な時間前進の錯覚を与えることができます。ただし、信号に予測不可能なイベント (信号のスペクトルが帯域制限を超えるような急激な変化など) が含まれている場合、錯覚は崩壊します。^{[ 9 ]}負の群遅延を持つ回路 (図 2 など) は可能ですが、因果律は破られません。^{[ 10 ]}

負群遅延フィルタは、デジタル領域とアナログ領域の両方で作成できます。用途としては、ローパスフィルタの固有の遅延を補償し、ゼロ位相フィルタを作成して、センサーデータや株価の傾向の変化を迅速に検出するために使用できます。^{[ 11 ]}

オーディオ再生チェーンの多くのコンポーネント、特にスピーカーとマルチウェイスピーカークロスオーバーネットワークは、オーディオ信号に群遅延を導入します。^{[ 2 ] [ 13 ]}したがって、特にオーディオチェーンが高忠実度再生を提供するように設計されている場合は、周波数に対する群遅延の可聴閾値を知ることが重要です。 ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}可聴閾値の最適な表は、BlauertとLawsによって提供されています。^{[ 17 ]}

フラナガン、ムーア、ストーンは、1、2、4 kHzでは、約 1.6 ms の群遅延が残響のない条件下でヘッドホンで聞き取れると結論付けている。^{[ 18 ]}他の実験結果では、300 Hzから 1 kHz の周波数範囲で群遅延が1.0 ms未満の場合、それは聞こえないことが示唆されている。 ^{[ 15 ]}     

デジタル信号処理技術を用いることで、マルチウェイラウドスピーカーシステムにおけるクロスオーバーネットワークの使用によって生じる群遅延歪みを補正することが可能です。^{[ 19 ]}これには、遅延等化を正常に適用するためにラウドスピーカーシステムの相当な計算モデリングが必要となります。 ^{[ 20 ]} Parks-McClellan FIR等リップルフィルタ設計アルゴリズムを使用します。^{[ 1 ] [ 4 ] [ 21 ] [ 22 ]}

特定の位相直線性に対する増幅器の帯域幅を計算するための基準として、Leach ^{[ 23 ]}は、次のように定義される差動時間遅延歪みの概念を導入した。

${\displaystyle \Delta \tau =\tau _{\phi }-\tau _{g}}$、

これは位相遅延と群遅延の差であり、位相遅延は比較的高い周波数の単一の正弦波の時間遅延を指し、群遅延はその正弦波に適用される振幅変調の包絡線から得られるはるかに低い周波数を指し、知覚的には狭帯域の音符となります。ただし、ゼロまたは無視できる程度の差動時間遅延歪みを示すことは、フラットな位相遅延を持つ必要がある理想的なシステムの必要条件ではありますが、十分条件ではありません。これは、2 つの狭帯域振幅変調音符があり、一方が他方よりも人間の可聴域でかなり高い周波数であるため、周波数スペクトルが重ならないとき、別々に提示される結果は知覚的に理想的であるためです。なぜなら、一方の音符の開始時間がデバイス入力からデバイス出力まで他方の音符よりも長かったことを人間が検出できる可能性は低いからです。しかし、同じシステムで、両方の音符がデバイス入力で同時に提示されると、デバイス出力では、一方の音符の開始に他方よりも時間がかかり、出力での開始時間が時間的に離れすぎている場合は、結果として得られる組み合わせ音符の知覚が変わる可能性があります。

多項式比の形式${\displaystyle P2(S)=P_{num}(S)/P_{den}(S)}$フィルタ設計の定義によく見られるような群遅延は、位相関係を利用して決定される場合がある。${\displaystyle \phi (P1/P2)=\phi (P1)-\phi (P2)}$。

${\displaystyle {\text{Group Delay}}=gd(P2)=gd(P2_{num})-gd(P2_{den})sec}$

ルジャンドルフィルタの例で使用される4極ルジャンドルフィルタの伝達関数を以下に示します。

${\displaystyle T_{4}(j\omega )={\frac {1}{2.4494897(j\omega )^{4}+3.8282201(j\omega )^{3}+4.6244874(j\omega )^{2}+3.0412127(j\omega )+1}}}$

分子群遅延は目視でゼロであることが確認されているため、分母群遅延のみを求めればよい。

${\displaystyle {\begin{aligned}&Pe_{den}=2.4494897\omega ^{4}-4.6244874\omega ^{2}+1\\&Po_{den}=-3.8282201\omega ^{3}+3.0412127\omega \\&De_{den}=4(2.4494897)\omega ^{3}-2(4.6244874)\omega \\&Do_{den}=3(-3.8282201)\omega ^{2}+3.0412127\end{aligned}}}$

評価中${\displaystyle \omega }$= 1 rad/sec:

${\displaystyle {\begin{aligned}&Pe_{den}=-1.1749977\\&Po_{den}=-0.7870074\\&De_{den}=-0.548984\\&Do_{den}=-8.4434476\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Group Delay}}=gd(T_{4}(j\omega ))=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\\&={\bigg [}0--{\frac {((-0.7870074*-0.548984)+(-1.1749977*-8.4434476))}{((-1.1749977)^{2}+(-0.7870074)^{2})}}{\bigg ]}\\&=5.1765430{\text{ sec}}\\&{\text{at }}\omega =1{\text{ rad/sec}}\end{aligned}}}$

群遅延計算手順と結果は、位相角のデジタル微分から得られた結果と比較することで正しいことが確認できる。${\displaystyle \phi (\omega )}$小さなデルタを使用して${\displaystyle \Delta \omega }$±1.04 rad/sec です。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Group Delay}}=gd(T_{4}(j\omega ))=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\\&=-(\phi (1+1e-04)-\phi (1.-1e04))/2e-04\\&=5.1765432{\text{ sec}}\\&{\text{at }}\omega =1{\text{ rad/sec}}\end{aligned}}}$

小さなデルタを用いたデジタル微分によって計算された群遅延は、精密な解析計算と比較して7桁以内の精度であるため、群遅延の計算手順と結果は正しいことが確認された。

測定または計算の利点${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$グループ遅延の測定や計算において、${\displaystyle gd(\omega )}$、 は${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$位相が線形になるにつれて常に 0 に収束するが、${\displaystyle gd(\omega )}$事前にわからない有限量に収束する。このことを踏まえると、線形位相最適化関数は、${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega ){=}0}$目標は${\displaystyle gd(\omega ){=}constant}$目標は、${\displaystyle constant}$必ずしも既に知られているとは限らない。