最大エントロピースペクトル推定

最大エントロピースペクトル推定は、スペクトル密度推定法の一種です。その目的は、最大エントロピーの原理に基づいてスペクトルの品質を改善することです。この方法は、自己相関関数が既知の値と一致する、最もランダムまたは最も予測不可能な時系列に対応するスペクトルを選択することに基づいています。統計力学と情報理論の両方で使用される最大エントロピーの概念に対応するこの仮定は、時系列の自己相関関数の未知の値に関して最大​​限拘束力がありません。これは、最大エントロピーモデリングを任意のタイプのスペクトルに適用したものであり、データがスペクトル形式で提示されるすべての分野で使用されます。この手法の有用性は、モデルに適用できるスペクトルに関する想定される知識の量に依存するため、スペクトルデータのソースによって異なります。

最大エントロピー モデリングでは、既知の情報に基づいて確率分布が作成され、最大エントロピー推定と呼ばれる、欠落している情報についての統計的推論の一種が導き出されます。たとえば、スペクトル分析では、予想されるピークの形状はわかっていることが多いですが、ノイズの多いスペクトルではピークの中心がはっきりしないことがあります。このような場合、既知の情報を入力することで、最大エントロピー モデルはピークの中心をより正確に推定できるため、スペクトルの精度が向上します。

パワースペクトルを計算するためのピリオドグラムアプローチでは、サンプルの自己相関関数に何らかのウィンドウ関数を乗算し、フーリエ変換します。ウィンドウは、統計的安定性を提供するとともに、スペクトルの他の部分からの漏れを回避するために適用されます。ただし、ウィンドウによってスペクトルの解像度が制限されます。

最大エントロピー法は、相関関数を最大遅延を超えて外挿し、外挿の各ステップで対応する確率密度関数のエントロピーが最大化されるようにすることで、スペクトル分解能の向上を試みます。

与えられた経験的自己相関と分散の制約を満たす最大エントロピー率の確率過程は、独立かつ同一に分布するゼロ平均ガウス入力を持つ 自己回帰モデルです。

したがって、最大エントロピー法は、利用可能な時系列データを自己回帰モデルに最小二乗法で当てはめるのと同等である。

${\displaystyle X_{t}=\sum _{k=1}^{M}\alpha _{k}X_{tk}+\epsilon _{k}}$

ここで、 は独立しており、 として同一に分布する。 未知数の係数は最小二乗法を使用して求められる。 自己回帰係数が決定されたら、時系列データのスペクトルは、適合された自己回帰モデルのパワースペクトル密度関数を評価することによって推定される。 ${\displaystyle \epsilon_{k}}$${\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}$${\displaystyle \alpha_{k}}$

${\displaystyle {\hat {S}}(\omega )={\frac {\sigma ^{2}T_{s}}{\left|1+\sum _{k=1}^{M}\alpha _{k}e^{-ik\omega T_{s}}\right|^{2}}},}$

ここで、はサンプリング周期、は虚数単位です。 ${\displaystyle T_{s}}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

• Cover, T. および Thomas, J. (1991)情報理論の要素。John Wiley and Sons, Inc.
• S. ローレンス マープル ジュニア (1987)。デジタルスペクトル解析とその応用。Prentice - Hall。ISBN 0132141493。
• Burg JP (1967)。最大エントロピースペクトル解析。第37回地球物理学探査協会会議議事録、オクラホマシティ。

• SpectraWorks の Mac OS X 用 kSpectra Toolkit。
• memspectum: Pythonによる最大エントロピースペクトル推定のためのPythonパッケージ[1]