ウルセル関数

統計力学において、アーセル関数または連結相関関数は、確率変数のキュムラントである。これは多くの場合、連結したファインマン図を合計することによって得られる（すべてのファインマン図を合計すると相関関数が得られる）。

アーセル関数は、1927年にこの関数を導入したハロルド・アーセルにちなんで名付けられました。

Xが確率変数である場合、モーメントs _nとキュムラント（アーセル関数と同じ）u _nは、指数式で関連付けられるXの関数です。

$${\displaystyle \operatorname {E} (\exp(zX))=\sum _{n}s_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n}u_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}\right)}$$

（どこ${\displaystyle \operatorname {E} }$期待値です。

多変量確率変数に対するUrsell関数は、上記と同様に、また多変量キュムラントと同じ方法で定義される。^{[ 1 ]}

${\displaystyle u_{n}\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)=\left.{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\cdots {\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\log \operatorname {E} \left(\exp \sum z_{i}X_{i}\right)\right|_{z_{i}=0}}$

単一の確率変数Xの Ursell 関数は、 X = X ₁ = ⋯ = X _nと設定することによって得られます。

最初の数個は次のように与えられます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}(X_{1})={}&\operatorname {E} (X_{1})\\[1ex]u_{2}(X_{1},X_{2})={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\\[1ex]u_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2}X_{3})-\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3}X_{1})-\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\\&+2\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\\[1ex]u_{4}\left(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right)={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3}X_{4})\\&-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2}X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{1}X_{3}X_{4})\\&-\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{4})-\operatorname {E} (X_{4})\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3})\\&-\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\operatorname {E} (X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1}X_{3})\operatorname {E} (X_{2}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1}X_{4})\operatorname {E} (X_{2}X_{3})\\&+2\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{4})+2\operatorname {E} (X_{1}X_{3})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{4})\\&+2\operatorname {E} (X_{1}X_{4})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})+2\operatorname {E} (X_{2}X_{3})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{4})\\&+2\operatorname {E} (X_{2}X_{4})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{3})+2\operatorname {E} (X_{3}X_{4})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\\&-6\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{4})\end{aligned}}}$$

パーカス（1975）は、複数の確率変数の多重線形関数とみなされるウルセル関数は、変数X _{i が}2 つの空でない独立集合に分割できる場合に限りゼロになるという事実により、定数を除いて一意に決定されることを示した。

• キュムラント