主要次数項

数式、表現、またはモデル内の主要な項（または補正項）は、大きさの順序が最も大きい項です。^{[1] [2]}方程式内のさまざまな項のサイズは変数が変化すると変化するため、どの項が主要な順序であるかも変化する可能性があります。

多種多様な複雑な数学モデルを単純化し理解するための一般的で強力な方法は、特定のサイズの変数とパラメータに対してどの項が最も大きい（したがって最も重要である）かを調べ、それらの項のみによって生成される動作を分析することです（他のより小さな項は無視できるものとみなします）。^{[3] [4]}これにより主要な動作が得られます。真の動作はこれからわずかに外れただけです。この主要な動作は、厳密に主要な項だけで十分に表現できる場合もあれば、わずかに小さな項も含める必要があると判断される場合もあります。その場合、「主要な項」という語句は、この項のグループ全体を意味するために非公式に使用されることがあります。主要な項のグループのみによって生成される動作は、モデルの 主要次数動作と呼ばれます。

方程式y  =  x ³  + 5 x + 0.1 について考えます。表には、x の 5 つの異なる値について、この方程式の 4 つの項のサイズと、どの項が主要次数であるかが示されています。 xがさらに増加し​​ても、主要次数項はx ³とyのままですが、xが減少して負の値になっていくと、どの項が主要次数であるかが再び変化します。

2 つの項がほぼ同じオーダーまたは大きさであると見なすべきかどうかについて、厳密なカットオフはありません。 1 つの経験則として、互いに 10 倍 (1 桁) 以内にある 2 つの項はほぼ同じオーダーであると見なすべきであり、互いに 100 倍 (2 桁) 以内ではない 2 つの項はそうではないと見なすべきである、というものがあります。 ただし、その中間はグレー ゾーンであるため、どの項がほぼ主要オーダーであると見なすべきか、どの項がそうでないかについての固定された境界はありません。 代わりに、変数が変化すると、項はフェード インしたりフェード アウトしたりします。 モデル内の項が主要オーダー (またはほぼ主要オーダー) であるかどうか、そうでない場合は無視できるほど小さいかどうか (2 つの異なる質問) を決定することは、多くの場合、調査と判断の問題であり、コンテキストによって異なります。

主要次項が 1 つだけの方程式も考えられますが、まれです。^{[疑わしい–議論する]}たとえば、方程式 100 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 (右辺は 100 個の 1 で構成されています)。変数とパラメーターの値の特定の組み合わせに対して、方程式には通常、少なくとも 2 つの主要次項とその他の低次項が含まれます。この場合、低次項、および低次項と同じサイズである主要次項の部分 (おそらく 2 番目または 3 番目の有効数字以降) は無視できると仮定すると、これらすべての低次項と主要次項の部分を削除して新しい方程式を作成できます。残りの項は主要次方程式、または主要次バランス^[5]またはドミナントバランス^{[6] [7] [8]}を提供し、これらの項だけを含む新しい方程式を作成することは、方程式を主要次数にすると呼ばれます。この新しい方程式の解は、元の方程式の主要次数解^{[9] [10]と呼ばれます。この新しい方程式によって示される動作を分析すると、変数とパラメータのこれらの値に対するモデルの}主要次数動作^{[11] [12]}が得られます。この近似を行う際の誤差の大きさは、通常、無視される最大の項の大きさとほぼ同じです。

上記の例のリーディングオーダーの動作を理解したいとします。

• x = 0.001の場合 、x ^{3 項}と 5 x項は無視できるとみなされ、残りの 2 つの項の小数点第 3 位以降の値とともに省略されます。これにより、主要次数のバランスはy = 0.1 になります。したがって、 x = 0.001 でのこの方程式の主要次数の動作は、yが一定であるということです。
• 同様に、x  = 10 のとき、 5 つのx 項と 0.1 項は無視できるとみなされ、残りの 2 つの項の 3 番目以降の有効数字の値とともに省略されます。これにより、主要次数のバランスy  =  x ^{3が得られます。したがって、} x=10でのこの式の主要次数の動作は、y がxの 3 乗で増加するというものです。

したがって、 yの主な動作は、 xの任意の値で調べることができます。 主要次数の項の数が増えると、主要次数の動作はより複雑になります。x=2では、 yのxに対する3 次および 1 次依存性の間に主要次数のバランスが取れています。

主要な順序のバランスと動作を見つけるこの説明は、プロセスの概要のみを説明したものであり、数学的に厳密なものではないことに注意してください。

もちろん、y は実際にはx = 0.001で完全に一定というわけではありません 。これは、この点の近辺での主な挙動にすぎません。主要な項（またはほぼ主要な項）のみを保持し、他のすべての小さな項を無視できると見なすだけでは不十分な場合があります（たとえば、モデルを将来の予測に使用する場合）。そのため、次に大きい項のセットも保持する必要がある可能性があります。これらは、次の主要な項（NLO）項または修正項と呼ばれます。^{[13] [14]その次の項のセットは}、次の次の主要な項（NNLO）項または修正項と呼ばれます。^[15]

主要次数簡略化手法は、各サブドメインにおける正確な近似解が主要次数解である場合に、整合漸近展開法と組み合わせて使用​​される。 ^{[3] [16] [17]}

特定の流体の流れのシナリオでは、（非常に一般的な）ナビエ・ストークス方程式は、主要次数成分のみを考慮することで大幅に簡略化される可能性があります。たとえば、ストークス流れ方程式。^{[18]また、}潤滑理論の薄膜方程式。

さまざまな微分方程式は、主要次数成分のみを考慮することで局所的に簡略化することができます。機械学習アルゴリズムは、シミュレーションデータや観測データを、空気力学、海洋力学、腫瘍誘発性血管新生、合成データアプリケーションのための主要次数方程式項を含む局所的なパーティションに分割することができます。^[19]

• 評価、「主導順序」の代数的一般化