量子トンネル効果

粒子からなる物理系の波動関数は、その系について知り得るすべてのことを規定する。^{[ 7 ]}したがって、量子力学の問題では、系の波動関数を解析する。シュレーディンガー方程式などの数学的定式化を用いることで、既知の波動関数の時間発展を導き出すことができる。この波動関数の絶対値の二乗は、粒子の位置の確率分布に直接関係しており、これは粒子がその位置で測定される確率を表す。

アニメーションで示されているように、波束が障壁に衝突すると、その大部分は反射され、一部は障壁を透過します。波束はより非局在化し、障壁の両側に存在し、最大振幅は小さくなりますが、積分二乗値は等しくなります。つまり、粒子がどこかに存在する確率は1のままです。障壁が広くなるほど、また障壁のエネルギーが高くなるほど、トンネル効果が発生する確率は低くなります。

図に示すような長方形の障壁など、トンネル障壁のモデルの中には、代数的に解析して解くことができるものもあります。^{[ 8 ] : 96}ほとんどの問題には代数的な解がないため、数値解法が用いられます。「半古典的方法」は、 WKB近似など、計算が容易な近似解を提供します。

Quantum tunnelling is among the central non-trivial quantum effects in quantum biology.^[32] Here it is important both as electron tunnelling and proton tunnelling. Electron tunnelling is a key factor in many biochemical redox reactions (photosynthesis, cellular respiration) as well as enzymatic catalysis. Proton tunnelling is a key factor in spontaneous DNA mutation.^[27]

自然突然変異は、特に大きなプロトンがトンネル効果を起こした後に通常のDNA複製が行われるときに発生します。^{[ 33 ]}水素結合はDNA塩基対を結合します。水素結合に沿った二重井戸ポテンシャルは、ポテンシャルエネルギー障壁を分離します。二重井戸ポテンシャルは非対称であり、一方の井戸が他方よりも深く、プロトンは通常、より深い井戸に留まっていると考えられています。突然変異が起こるには、プロトンがより浅い井戸にトンネル効果を起こしていなければなりません。プロトンが通常の位置から移動することを互変異性遷移と呼びます。この状態でDNA複製が行われると、DNAの塩基対形成規則が危うくなり、突然変異を引き起こす可能性があります。^{[ 34 ]}ペル＝オロフ・ロウディンは、二重らせん内での自然突然変異のこの理論を最初に提唱しました。生物学における量子トンネル効果によって誘発される突然変異の他の例は、老化や癌の原因であると考えられています。^{[ 35 ]}

1次元空間における1粒子の時間不変シュレーディンガー方程式は次のように書ける。 $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)}$$ または $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)\equiv {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x),}$$ どこ

• ${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数である。
• ${\displaystyle m}$は粒子の質量です。
• ${\displaystyle x}$は粒子の移動方向に沿って測定された距離を表し、
• ${\displaystyle \Psi }$はシュレーディンガー波動関数であり、
• ${\displaystyle V}$は粒子の位置エネルギー（任意の都合の良い基準レベルに対して測定）であり、
• ${\displaystyle E}$は、運動に関連する粒子のエネルギーです。${\displaystyle x}$-軸（${\displaystyle V}$)
• ${\displaystyle M(x)}$は、によって定義される量である。${\displaystyle V(x)-E}$物理学において正式な名称が存在しない。

シュレーディンガー方程式の解は、 の値によって異なる形をとる。${\displaystyle x}$状況に応じて${\displaystyle M(x)}$正または負です。${\displaystyle M(x)}$が定数で負の場合、シュレーディンガー方程式は次の形式で記述できます。 $$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)=-k^{2}\Psi (x),\qquad {\text{ただし}}\quad k^{2}=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M.}$$$

この方程式の解は位相定数を持つ進行波を表す。${\displaystyle +k}$または${\displaystyle -k}$あるいは、${\displaystyle M(x)}$が定数かつ正である場合、シュレーディンガー方程式は次の形式で表すことができます。 $$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)={\kappa }^{2}\Psi (x),\qquad {\text{ただし}}\quad {\kappa }^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M.}$$$

この方程式の解は、エバネッセント波の形をした上昇指数関数と下降指数関数です。${\displaystyle M(x)}$位置によって異なるが、行動に同じ違いが生じる。${\displaystyle M(x)}$は負または正です。したがって、${\displaystyle M(x)}$媒体の性質を決定し、負${\displaystyle M(x)}$培地Aおよび陽性に対応${\displaystyle M(x)}$媒体Bに対応する。したがって、正の領域であればエバネッセント波結合が発生する可能性がある。${\displaystyle M(x)}$負の2つの領域に挟まれている${\displaystyle M(x)}$そのため、潜在的な障壁が生じる。

状況に対処する数学${\displaystyle M(x)}$異なる${\displaystyle x}$物理的現実とは通常一致しない特殊な場合を除いて、これは困難である。完全な数学的処理は、1965年にFrömanとFrömanによって書かれたモノグラフに掲載されている。彼らの考えは物理学の教科書には取り入れられていないが、彼らの修正は定量的にはほとんど影響を与えない。

波動関数は、ある関数の指数関数として表される。 $${\displaystyle \Psi (x)=e^{\Phi (x)},}$$どこ$${\displaystyle \Phi ''(x)+\Phi '(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right).}$$${\displaystyle \Phi '(x)}$そして、実部と虚部に分けられる。 $${\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+iB(x),}$$どこ${\displaystyle A(x)}$そして${\displaystyle B(x)}$これらは実数値関数です。

2番目の式を1番目の式に代入し、虚数部が0でなければならないという事実を用いると、次のようになる。

$${\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right).}$$

この方程式を半古典近似を用いて解くには、各関数をべき級数として展開する必要がある。${\displaystyle \hbar }$方程式から、べき級数は少なくとも次の次数から始まる必要がある。$\displaystyle \hbar ^{-1}}$方程式の実部を満たすため、良い古典的極限では、プランク定数の可能な限り高いべき乗から始めるのが望ましい。 $${\displaystyle A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}A_{k}(x)}$$ そして $${\displaystyle B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}B_{k}(x),}$$ 最低次項に以下の制約を設けて、 $${\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)}$$ そして $${\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0.}$$

この時点で、2つの極端なケースを考察することができる。

ケース1

振幅が位相に比べてゆっくりと変化する場合${\displaystyle A_{0}(x)=0}$そして $${\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(EV(x)\right)}}}$$ これは古典的な運動に対応する。次の展開次数を解くと、 $${\displaystyle \Psi (x)\approx C{\frac {e^{i\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(EV(x)\right)}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(EV(x)\right)}}}}$$

ケース2

位相が振幅に比べてゆっくりと変化する場合、${\displaystyle B_{0}(x)=0}$そして $${\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}}$$ これはトンネル効果に対応する。展開の次の次数を解くと、 $${\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}$$

どちらの場合も、分母から明らかなように、これらの近似解はどちらも古典的な転換点付近では精度が低い。${\displaystyle E=V(x)}$ポテンシャル丘から離れた場所では、粒子は自由振動波のように振る舞います。一方、ポテンシャル丘の下では、粒子の振幅は指数関数的に変化します。これらの極限点と古典的な転換点における挙動を考慮することで、全体的な解を導き出すことができます。

まず、古典的な転換点として、${\displaystyle x_{1}}$選ばれて${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$約のべき級数に展開される${\displaystyle x_{1}}$: $$\left(V(x)-E)=v_1(x-x_1)+v_2(x-x_1)^2+\cdots }$$

一次項のみを残すことで線形性が確保される。 $${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1}).}$$

この近似を用いると、次の式は${\displaystyle x_{1}}$微分方程式になります。 $$\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=v_{1}(x-x_{1})\Psi (x).}$$

これは、 Airy関数を解法として用いることで解決できます。 $${\displaystyle \Psi (x)=C_{A}Ai\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)+C_{B}Bi\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)}$$

すべての古典的な転換点についてこれらの解を用いることで、極限解を結びつける大域的な解を形成できる。古典的な転換点の片側の2つの係数が与えられれば、この局所的な解を用いてそれらを結びつけることで、古典的な転換点の反対側の2つの係数を決定できる。

したがって、エアリー関数の解は、適切な極限において正弦関数、余弦関数、指数関数に漸近します。${\displaystyle C,\theta }$そして${\displaystyle C_{+},C_{-}}$は $${\displaystyle C_{+}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}$$ そして

${\displaystyle C_{-}=-C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}$

係数が見つかれば、全体解を求めることができる。したがって、単一のポテンシャル障壁をトンネル効果で通過する粒子の 透過係数は次のようになる。$${\displaystyle T(E)=e^{-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left[V(x)-E\right]}}},}$$ どこ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$これらは、ポテンシャル障壁における2つの古典的な転換点である。

長方形の障壁の場合、この式は次のように簡略化されます。 $${\displaystyle T(E)=e^{-2{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V_{0}-E)}}(x_{2}-x_{1})}.}$$

動的トンネル効果の概念は、高次元における量子トンネル効果の問題に対処するのに特に適しています (${\displaystyle d>1}$)可積分系の場合、位相空間内のトーラス上に有界な古典軌道が閉じ込められるため、トンネル効果は、2つの異なる対称トーラス上に構築された半古典状態間の量子輸送として理解できます。^{[ 46 ]}

現実世界では、ほとんどのシステムは積分可能ではなく、さまざまな程度のカオスを示します。この場合、古典力学は混合型であると言われ、システムの位相空間は通常、規則的な軌道の島々がカオス軌道の大きな海に囲まれた構造になっています。古典的に輸送が可能なカオスの海が、2 つの対称トーラスの間に存在することで、それらの間の量子トンネル効果が促進されます。この現象はカオス補助トンネル効果と呼ばれ、^{[ 47 ]}システムのパラメータを変化させたときにトンネル効果の速度が鋭く共鳴するという特徴があります。

いつ${\displaystyle \hbar }$規則的な島々のサイズに比べて小さいため、古典的な位相空間の微細構造がトンネル効果において重要な役割を果たします。特に、2 つの対称トーラスは、2 つの島を取り囲む「非線形共鳴を介した一連の古典的に禁止された遷移」によって結合されます。^{[ 48 ]}