ルックバックオプション

金融用語におけるルックバック オプションは、他の多くの種類のオプションの中でも、パス依存性を持つエキゾチック オプションの一種です。ペイオフは、オプションの有効期間中に発生する原資産の最適 (最大または最小) 価格によって決まります。このオプションにより、保有者は時間を遡ってペイオフを決定できます。ルックバック オプションには、変動ストライクと固定ストライクの 2 種類があります。

名前からわかるように、オプションの権利行使価格は変動しており、満期時に決定されます。変動権利行使価格は、オプションの有効期間中の原資産価格の最適値です。ペイオフは、満期時の市場資産価格と変動権利行使価格の最大差です。コールの場合、権利行使価格はオプションの有効期間中の資産の最低価格で固定され、プットの場合、権利行使価格は資産の最高価格で固定されます。これらのオプションは、常に保有者によって行使されるため、実際にはオプションではないことに注意してください。実際、オプションがアウト オブ ザ マネーになることはなく、そのため標準オプションよりも高価になります。ルックバック コールとルックバック プットのペイオフ関数は、それぞれ次の式で表されます。

${\displaystyle LC_{float}=\max(S_{T}-S_{min},0)=S_{T}-S_{min},~~{\text{and}}~~LP_{float}=\max(S_{max}-S_{T},0)=S_{max}-S_{T},}$

ここで、はオプションの有効期間中の資産の最高価格、はオプションの有効期間中の資産の最低価格、 は満期時の原資産の価格です。 ${\displaystyle S_{max}}$${\displaystyle S_{min}}$${\displaystyle S_{T}}$${\displaystyle T}$

標準的なヨーロピアン オプションの場合、オプションの権利行使価格は固定されています。違いは、オプションが満期時の価格で行使されないことです。ペイオフは、最適な原資産価格と権利行使価格の最大差です。コール オプションの場合、保有者は原資産価格が最高レベルの時点で権利行使することを選択します。プット オプションの場合、保有者は原資産の最低価格で権利行使することを選択します。ルックバック コールとルックバック プットのペイオフ関数は、それぞれ次のように表されます。

${\displaystyle LC_{fix}=\max(S_{max}-K,0),~~{\text{および}}~~LP_{fix}=\max(K-S_{min},0),}$

ここで、はオプションの有効期間中の資産の最高価格、はオプションの有効期間中の資産の最低価格、は権利行使価格です。 ${\displaystyle S_{max}}$${\displaystyle S_{min}}$${\displaystyle K}$

ブラック・ショールズ・モデルとその表記法を使って、変動行使価格のヨーロピアン・ルックバック・オプションの価格を決めることができます。この価格決定法は、標準的なヨーロピアン・オプションよりもはるかに複雑で、Musiela ^[1]に示されています。無リスク金利が 連続的に複利計算され、株価のボラティリティが一定であると仮定します。満期までの時間は であり、オプションの有効期間はゼロ時から始まっていますが、オプションの価格を 時に決定すると仮定します。 を定義します。最後に、 と設定します。 ${\displaystyle r>0}$${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle T>0}$${\displaystyle t<T}$${\displaystyle \tau =Tt}$

${\displaystyle M=\max _{0\leq u\leq t}S_{u},~~m=\min _{0\leq u\leq t}S_{u}{\text{ かつ }}S_{t}=S.}$

すると、変動ストライクのルックバックコールオプションの価格は次のように表されます。

${\displaystyle LC_{t}=S\Phi (a_{1}(S,m))-me^{-r\tau }\Phi (a_{2}(S,m))-{\frac {S\sigma ^{2}}{2r}}(\Phi (-a_{1}(S,m))-e^{-r\tau }(m/S)^{\frac {2r}{\sigma ^{2}}}\Phi (-a_{3}(S,m))),}$

どこ

${\displaystyle a_{1}(S,H)={\frac {\ln(S/H)+(r+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}}$

${\displaystyle a_{2}(S,H)={\frac {\ln(S/H)+(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=a_{1}(S,H)-\sigma {\sqrt {\tau }}}$

${\displaystyle a_{3}(S,H)={\frac {\ln(S/H)-(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=a_{1}(S,H)-{\frac {2r{\sqrt {\tau }}}{\sigma }},{\text{ with }}H>0,S>0,}$

ここで、 は標準 正規累積分布関数です。${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi (a)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{a}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx}$

同様に、変動ストライクのルックバック・プット・オプションの価格は次のように表されます。

${\displaystyle LP_{t}=-S\Phi (-a_{1}(S,M))+Me^{-r\tau }\Phi (-a_{2}(S,M))+{\frac {S\sigma ^{2}}{2r}}(\Phi (a_{1}(S,M))-e^{-r\tau }(M/S)^{\frac {2r}{\sigma ^{2}}}\Phi (a_{3}(S,M))).}$

部分ルッ​​クバックオプションは、ルックバックオプションのサブクラスであり、同じペイオフ構造を持ちますが、公正価格を下げることを目的としています。1つの方法は、公正価格を定数 （）で線形にスケーリングすることです。^[2]したがって、ペイオフは次のようになります。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle 0<\lambda <1}$

${\displaystyle \lambda (\max\{S_{i}\}_{1}^{T}-S_{T})}$

特定の日付を選択することは、部分ルックバック オプションやその他の部分パス依存オプションを作成するより複雑な方法です。原則は、監視日付のサブセットを選択することにあります。これにより、ルックバック条件が弱くなり、プレミアムが削減されます。例としては、Heynen と Kat が提案した部分ルックバック オプション^[3]や、Chang と Li が提案した amnesiac ルックバック オプションなどがあります。^[4]離散部分パス依存オプションは、連続仮定の下では高値です。その価格設定は複雑で、通常は数値手法を使用して実行されます。^{[5] [6]}