局所有限群

数学の群論の分野では、局所有限群は有限群と同様の方法で研究できる群の一種である。 局所有限群のシロー部分群、カーター部分群、アーベル部分群が研究されてきた。この概念は、1930年代にロシアの数学者セルゲイ・チェルニコフによって提唱されたものである。^{[ 1 ]}

局所有限群とは、すべての有限生成部分群が有限である群のことである。

局所的に有限な群の巡回部分群は有限生成であるため有限であり、すべての要素は有限位数を持つため、その群は周期的である。

例：

• すべての有限群は局所的に有限である
• 1 を法とする有理数の加法群は局所的に有限である
• 局所的に有限な群の無限直和はすべて局所的に有限である（Robinson 1996 、p. 443）（ただし、直積はそうではないかもしれない）。これは、任意の無限の濃度を持つ局所的に有限な群が存在することを示している。 
• プリューファー群は局所的に有限なアーベル群である。
• すべてのハミルトン群は局所的に有限である
• すべての周期可解群は局所的に有限である（Dixon 1994 、命題 1.1.5）。
• 局所有限群のすべての部分群は局所有限である。（証明：Gを局所有限群、Sを部分群とする。Sのすべての有限生成部分群はGの（有限生成）部分群である。）
• ホールの普遍群とは、可算な局所有限群を部分群として含む可算な局所有限群のことである。
• すべての群は、一意の最大正規局所有限部分群を持つ（Robinson 1996 、p. 436）。 
• 複素数体上の一般線形群のすべての周期部分群は局所的に有限である。すべての局所的に有限な群は周期的であるため、これは線形群と周期群の条件が同一であることを意味する。 ^{[ 2 ]}
• オメガ圏群（つまり、一階理論が同型を除いて特徴付ける群）は局所的に有限である^{[ 3 ]}

非例：

• 位数が無限の要素を持つ群は、局所的に有限な群ではない。
• 非自明な自由群は局所的に有限ではない
• タルスキーモンスター群は周期的であるが、局所的に有限ではない。

局所的に有限な群のクラスは、部分群、商群、および拡大に関して閉じている（Robinson 1996 、p. 429）。 

局所有限群は、シローの定理の弱い形式を満たします。局所有限群が他のどのp部分群にも含まれない有限p部分群を持つ場合、すべての極大p部分群は有限かつ共役です。共役が有限個ある場合、共役の数はpを法として 1 と合同です。実際、局所有限群のすべての可算部分群が可算個の極大p部分群しか持たない場合、その群のすべての極大p部分群は共役です( Robinson 1996 、p. 429)。 

局所有限群のクラスは、有限群のクラスとある程度似た振る舞いをする。1960年代の形成論やフィッティングクラスの理論、そして19世紀や1930年代のシロー部分群の理論の多くは、局所有限群の理論に類似点がある（Dixon 1994 、p. v.）。 

バーンサイド問題と同様に、数学者たちは、すべての無限群が無限アーベル部分群を含むかどうか疑問に思ってきた。一般には必ずしもそうではないが、フィリップ・ホールらの研究結果によれば、すべての局所的に有限な無限群は無限アーベル群を含む。無限群論におけるこの事実の証明は、奇数位数の有限群の可解性に関するフェイト・トンプソン定理に基づいている（Robinson 1996 、p. 432）。 

• Dixon, Martyn R. (1994), Sylow theory, formations and Fitting classes in locally finite groups , Series in Algebra, vol.  2, River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-1795-2MR 1313499​ 
• ロビンソン、デレク・ジョン・スコット（1996）『群論入門』ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-94461-6

• AL Shmel'kin (2001) [1994]、「局所有限群」、数学百科事典、EMS Press
• オットー・H・ケーゲルとバートラム・AF・ヴェールフリッツ（1973）『局所的に有限な群』エルゼビア