事実上

数学、特に無限群を研究する抽象代数の分野では、副詞「事実上」は、有限インデックスのサブグループにのみ当てはまるように特性を変更するために使用されます。特性 P が与えられた場合、有限インデックス サブグループが存在し、H が特性 P を持つ 場合、グループG は事実上 Pであると言われます。${\displaystyle H\leq G}$

この一般的な用途は、 P がアーベル群、冪零群、可解群、または自由群である場合です。たとえば、実質的に可解な群は、ティッツの選択肢における 2 つの選択肢のうちの 1 つですが、グロモフの定理では、多項式増加を伴う有限生成群は、まさに有限生成の実質的に冪零群であると述べられています。

この用語は、 P が単なる別のグループである場合にも使用されます。つまり、GとH がグループである場合、 G がG内の有限インデックスのサブグループKを持ち、 KがHと同型である場合、G は事実上 Hです。

特に、群が事実上自明となるのは、それが有限である場合に限ります。2 つの群が事実上等しいのは、それらが通約可能である場合に限ります。

次のグループは実質的にアーベル群です。

• 任意のアーベル群。
• NがアーベルでHが有限である任意の半直積 。(たとえば、任意の一般化二面体群。)${\displaystyle N\rtimes H}$
• Nが有限でHがアーベルである任意の半直積。${\displaystyle N\rtimes H}$
• 任意の有限群（自明な部分群はアーベル群であるため）。

• 実質的にアーベルである任意のグループ。
• 任意のべき零グループ。
• Nがべき零でHが有限である任意の半直積。${\displaystyle N\rtimes H}$
• Nが有限でHがべき零である任意の半直積。${\displaystyle N\rtimes H}$

グロモフの定理によれば、有限生成群は多項式成長を持つ場合にのみ実質的に冪零である。

• 任意の無料グループ。
• 任意の有限群（自明な部分群は生成元の空集合上の自由群であるため）。
• 任意の事実上巡回的な群。(有限である場合は上記の場合に該当し、無限である場合は部分群として含む。)${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Nが自由でHが有限である任意の半直積。${\displaystyle N\rtimes H}$
• Nが有限でHが自由な任意の半直積。${\displaystyle N\rtimes H}$
• 任意の自由積 、ただしHとK は両方とも有限です。(たとえば、モジュラー群)${\displaystyle H*K}$ ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$

スタリングの定理から、任意の捩れのない実質的に自由な群は自由であること がわかります。

ニールセン・シュライアーの定理とシュライアー指数公式の結果として、 2 つの生成元上の自由群は事実上任意の に対して成り立ちます。 ${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$

グループはインデックス 2 を含む ため、実質的に接続されています。${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

無料の辞書「ウィクショナリー」で仮想的に調べてください。

• シュネーベリ、ハンス・ルドルフ（1978）。 「仮想プロパティとグループ拡張について」。数学的ツァイシュリフト。159：159-167。土井：10.1007/bf01214488。Zbl  0358.20048。