積（数学）

数学では、積は乗算の結果、または因数と呼ばれる乗算されるオブジェクト（数値または変数）を識別する式です。たとえば、21は3と7（乗算の結果）の積であり、はと（2つの因数を掛け合わせる必要があることを示す）の積です。因数の1つが整数の場合、その積は倍数と呼ばれます。 ${\displaystyle x\cdot (2+x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (2+x)}$

実数または複素数を掛け合わせる順序は積には影響しません。これは乗法の交換法則として知られています。行列や他のさまざまな結合代数のメンバーを掛け合わせる場合、積は通常、因数の順序によって決まります。たとえば、行列の掛け合わせは非可換であり、他の代数における掛け合わせも一般に非可換です。

数学にはさまざまな種類の積があります。数値、多項式、行列を単純に掛け合わせるだけでなく、さまざまな代数構造の積を定義することもできます。

もともと、積は 2 つ以上の数の乗算の結果であり、現在でもそうです。たとえば、15 は3と5の積です。算術の基本定理によれば、すべての合成数は素数の積であり、因数の順序 まで一意です。

15世紀末に数学の記法と変数が導入されると、指定されていない数（係数とパラメータ）または見つけられる数（未知数）の乗算を考えることが一般的になった。これらの効果的に実行できない乗算は積と呼ばれる。たとえば、線形方程式 では、項は係数と未知数の積を表す。${\displaystyle ax+b=0,}$${\displaystyle ax}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x.}$

その後、本質的には 19 世紀以降、数値をまったく含まない新しい二項演算が導入され、積と呼ばれています。たとえば、ドット積などです。この記事の大部分は、このような数値以外の積に費やされています。

数列の積を求める積演算子は、ギリシャ文字の大文字π Πで表されます（大文字のシグマΣ を加算記号として使用するのと同様）。^[1]たとえば、式は⁠ ⁠と書く別の方法です。^[2]${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{6}i^{2}}$${\displaystyle 1\cdot 4\cdot 9\cdot 16\cdot 25\cdot 36}$

1 つの数だけからなる数列の積はその数そのものです。因数がまったくない数列の積は空積と呼ばれ、1 に等しくなります。

可換環には積演算があります。

環内の残基クラスを追加できます: ${\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }$

${\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z} }$

そして掛け算する：

${\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z} }$

実数からそれ自身への 2 つの関数は、畳み込みと呼ばれる別の方法で乗算できます。

もし

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{and}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,}$

積分

${\displaystyle (f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau }$

は明確に定義されており、畳み込みと呼ばれます。

フーリエ変換では、畳み込みは点ごとの関数の乗算になります。

2 つの多項式の積は次のように表されます。

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}}$

と

${\displaystyle c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}}$

線形代数にはさまざまな種類の積があります。これらの中には、意味が大きく異なるにもかかわらず紛らわしい名前 (外積、外積) を持つものもあれば、名前が大きく異なるにもかかわらず (外積、テンソル積、クロネッカー積)、本質的に同じ考えを伝えるものもあります。これらの概要を次のセクションで説明します。

ベクトル空間の定義により、任意のスカラーと任意のベクトルの積を形成してマップを作成できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} \times V\rightarrow V}$

スカラー積は双線形写像です。

${\displaystyle \cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$

次の条件を満たす場合、すべての に対してとなります。 ${\displaystyle v\cdot v>0}$${\displaystyle 0\not =v\in V}$

スカラー積から、とすることでノルムを定義できます。 ${\displaystyle \|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}}$

スカラー積を使用すると、2 つのベクトル間の角度を定義することもできます。

${\displaystyle \cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}}$

次元ユークリッド空間では、標準的なスカラー積（ドット積と呼ばれる）は次のように与えられます。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}}$

3 次元の 2 つのベクトルの外積は、2 つの因子に垂直なベクトルであり、その長さは 2 つの因子によって張られる平行四辺形の面積に等しくなります。

外積は形式的な^[a] 行列式として表現することもできます。

${\displaystyle \mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}}$

線型写像は、基底体Fを持つ2つのベクトル空間VとWの間の関数fとして定義され、^{[3]を満たす。}

${\displaystyle f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),\forall x_{1},x_{2}\in V,\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {F} .}$

有限次元ベクトル空間のみを考える場合、

${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f\left(v_{i}\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)=v_{i}f\left(\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)={f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j},}$

ここで、b _Vとb _{W は}VとWの基底を表し、v _{i は}b _V ⁱ上のvの成分を表し、アインシュタインの総和規則が適用されます。

ここで、有限次元ベクトル空間間の2つの線型写像の合成について考える。線型写像fがVをWに写し、線型写像gがWをUに写すとする。すると、

${\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=g\left({f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j}\right)={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{U}} ^{k}.}$

または行列形式では:

${\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=\mathbf {G} \mathbf {F} \mathbf {v} ,}$

ここで、Fのi行j列要素はF _ijと表され、 f ^j _iであり、G _ij =g ^j _iです。

2 つ以上の線形マッピングの合成は、同様に行列乗算の連鎖によって表すことができます。

2つの行列が与えられる

${\displaystyle A=(a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}}$そして${\displaystyle B=(b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \mathbb {R} ^{r\times t}}$

それらの積は次のように与えられる。

${\displaystyle B\cdot A=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{i,j}\cdot b_{j,k}\right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t}\;\in \mathbb {R} ^{s\times t}}$

線形関数の合成と2つの行列の積の間には関係があります。これを確認するには、r = dim(U)、s = dim(V)、t = dim(W)をベクトル空間U、V、Wの （有限）次元とします。をUの基底、 をVの基底、を Wの基底とします。この基底に関して、 をf:U→Vを表す行列、を g:V→Wを表す行列とします。すると、 ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{u_{1},\ldots ,u_{r}\}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{v_{1},\ldots ,v_{s}\}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{w_{1},\ldots ,w_{t}\}}$${\displaystyle A=M_{\mathcal {V}}^{\mathcal {U}}(f)\in \mathbb {R} ^{s\times r}}$${\displaystyle B=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {V}}(g)\in \mathbb {R} ^{r\times t}}$

${\displaystyle B\cdot A=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {U}}(g\circ f)\in \mathbb {R} ^{s\times t}}$

を表す行列です。 ${\displaystyle g\circ f:U\rightarrow W}$

言い換えると、行列積は線形関数の合成の座標における記述です。

2つの有限次元ベクトル空間VとW が与えられたとき、それらのテンソル積は次を満たす (2,0) テンソルとして定義できます。

${\displaystyle V\otimes W(v,m)=V(v)W(w),\forall v\in V^{*},\forall w\in W^{*},}$

ここでV ^*とW ^*はVとWの双対空間を表す。^[4]

無限次元ベクトル空間の場合、次の式も成り立ちます。

• ヒルベルト空間のテンソル積
• 位相テンソル積。

テンソル積、外積、クロネッカー積はすべて同じ概念を伝えます。これらの違いは、クロネッカー積は、事前に固定された基底に関する行列のテンソル積にすぎないのに対し、テンソル積は通常、その固有の定義で与えられることです。外積は、単にクロネッカー積であり、ベクトル（行列ではなく）に限定されます。

一般に、線型代数のテンソル積のように動作するように組み合わせることができる2 つの数学的オブジェクトがある場合、これはモノイド カテゴリの内積として最も一般的に理解できます。つまり、モノイド カテゴリはテンソル積の意味を正確に捉えています。つまり、テンソル積がそのように動作する理由の概念を正確に捉えています。より正確には、モノイド カテゴリは、テンソル積を持つすべてのもの (特定の型) のクラスです。

線形代数における他の種類の積には次のものがあります。

• アダマール積
• クロネッカー積
• テンソルの積:
  • ウェッジ製品または外装製品
  • インテリア製品
  • 外積
  • テンソル積

集合論において、直積は複数の集合から集合（または積集合）を返す数学的演算である。つまり、集合AとBに対して、直積A × B はすべての順序付きペア（a, b）の集合である。ここで、 a ∈ Aかつb ∈ Bである。^[5]

デカルト積を持つすべてのもの（特定の型）のクラスは、デカルト圏と呼ばれます。これらの多くは、デカルトの閉じた圏です。集合は、そのようなオブジェクトの例です。

数やほとんどの代数構造の空積の値は 1 (乗算の単位元) であり、空和の値は 0 (加算の単位元) です。ただし、空積の概念はより一般的であり、論理学、集合論、コンピュータ プログラミング、カテゴリ理論では特別な扱いが必要です。

他の種類の代数構造上の積には次のものがあります。

• 集合の直積
• 群の直積、また半直積、編み積、輪積
• グループの自由な産物
• リングの製品
• 理想の産物
• 位相空間の積[ ^1]
• ランダム変数のウィック積
• 代数的位相幾何学におけるキャップ、カップ、マッシー、斜積
• ホモトピーにおけるスマッシュ積とウェッジ和（ウェッジ積と呼ばれることもある）

上記の積のいくつかは、モノイドカテゴリにおける内積の一般的な概念の例であり、残りはカテゴリ理論における積の一般的な概念によって記述できます。

これまでの例はすべて、積という一般的な概念の特殊なケースまたは例です。積の概念の一般的な扱いについては、積 (圏論)を参照してください。これは、何らかの 2 つのオブジェクトを組み合わせて、異なる種類のオブジェクトを作成する方法を説明しています。また、圏論では、次のことも言えます。

• 繊維製品またはプルバック、
• 製品カテゴリ、つまりカテゴリの積であるカテゴリ。
• モデル理論における超積。
• モノイドカテゴリの内積。テンソル積の本質を捉えています。

• 関数の積積分(シーケンスの積の連続的な同等物として、または通常/標準/加法積分の乗法バージョンとして。積積分は、「連続積」または「乗法」とも呼ばれます)。
• 複素乗算、楕円曲線の理論。

• アーベル圏のドリーニュテンソル積 – ベルギーの数学者Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 不定積
• 無限積
• 反復二項演算 – シーケンスに対する演算の繰り返し適用
• 乗算 – 算術演算

• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。シュトゥットガルト：BG・トイブナー。ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.