ローパスフィルタ

ローパス フィルタは、選択したカットオフ周波数よりも低い周波数の信号を通過させ、カットオフ周波数よりも高い周波数の信号を減衰させるフィルタです。フィルタの正確な周波数応答は、フィルタの設計によって異なります。このフィルタは、オーディオ アプリケーションではハイカット フィルタまたはトレブル カット フィルタと呼ばれることもあります。ローパス フィルタは、ハイパス フィルタの補完です。

光学において、ハイパスとローパスは、光の周波数と波長のどちらを参照しているかによって意味が異なります。これは、これらの変数が逆の関係にあるためです。ハイパス周波数フィルターはローパス波長フィルターとして機能し、その逆も同様です。このため、混乱を避けるために、波長フィルターをショートパスとロングパスと呼ぶのがよいでしょう。ショートパスはハイパス周波数とローパス周波数に対応します。 ^[1]

ローパス フィルタにはさまざまな形式があり、オーディオで使用されるヒス フィルタなどの電子回路、アナログからデジタルへの変換前に信号を調整するアンチエイリアシング フィルタ、データ セットを平滑化するデジタル フィルタ、音響バリア、画像のぼかしなどが含まれます。金融などの分野で使用される移動平均演算は、ローパス フィルタの特殊な種類であり、他のローパス フィルタに使用されるものと同じ信号処理技術を使用して分析できます。ローパス フィルタは、短期的な変動を除去して長期的な傾向を残し、より滑らかな形式の信号を提供します。

フィルタ設計者は、ローパス形式をプロトタイプ フィルタとして使用することがよくあります。これは、帯域幅とインピーダンスが 1 のフィルタです。目的のフィルタは、プロトタイプから目的の帯域幅とインピーダンスに合わせてスケーリングし、目的のバンド形式 (つまり、ローパス、ハイパス、バンドパス、またはバンドストップ) に変換することで得られます。

ローパス フィルターの例としては、音響、光学、電子工学などがあります。

硬い物理的障壁は、音の周波数を反射する傾向があり、音を伝達するための音響ローパス フィルターとして機能します。別の部屋で音楽が流れている場合、低音は容易に聞こえますが、高音は減衰されます。

同じ機能を持つ光学フィルタは、正確にはローパスフィルタと呼ぶことができますが、混乱を避けるために、慣習的にロングパスフィルタ（低周波は長波長）と呼ばれています。 ^[1]

電圧信号用の電子ローパスRC フィルタでは、入力信号の高周波数は減衰されますが、フィルタのRC 時定数によって決まるカットオフ周波数以下の減衰はほとんどありません。電流信号の場合、抵抗器とコンデンサを並列に接続した同様の回路が同様に動作します (詳細は以下で説明する電流分割器を参照してください)。

電子ローパスフィルタは、サブウーファーやその他の種類のスピーカーの入力に使用され、効率的に再生できない高音をブロックします。無線送信機は、他の通信に干渉する可能性のある高調波放射をブロックするためにローパスフィルタを使用します。多くのエレキギターのトーンノブは、音の高音の量を減らすために使用されるローパスフィルタです。積分器は別の時定数ローパスフィルタです。 ^[2]

DSLスプリッタを備えた電話回線では、ローパスフィルタを使用して、同じペアのワイヤ（伝送チャネル）を共有するDSL信号とPOTS信号を分離します（ハイパスフィルタはその逆） 。^{[3] [4]}

ローパス フィルターは、アナログ シンセサイザーや仮想アナログシンセサイザーによって作成されたサウンドの加工においても重要な役割を果たします。減算合成を参照してください。

ローパス フィルタは、サンプリング前のアンチエイリアシング フィルタとして、またデジタルからアナログへの変換における再構成のために使用されます。

理想的なローパス フィルタは、カットオフ周波数より上のすべての周波数を完全に除去し、カットオフ周波数より下の周波数はそのまま通過させます。その周波数応答は矩形関数であり、ブリックウォール フィルタです。実際のフィルタに存在する遷移領域は、理想的なフィルタには存在しません。理想的なローパス フィルタは、周波数領域で信号に矩形関数を乗算するか、またはそれと同等に、時間領域でそのインパルス応答、つまりsinc 関数を畳み込むことによって、数学的に (理論的に) 実現できます。

しかし、理想的なフィルタは、時間的に無限の広がりを持つ信号がなければ実現不可能であり、そのため、一般的には、実際の進行中の信号に対して近似する必要があります。これは、sinc 関数のサポート領域が過去と未来のすべての時間に及ぶためです。したがって、フィルタは、畳み込みを実行するために、無限の遅延、または無限の未来と過去に関する知識を持っている必要があります。過去と未来へのゼロの拡張を想定するか、より一般的には、信号を反復させてフーリエ解析を使用することによって、事前に記録されたデジタル信号に対して効果的に実現できます。

リアルタイムアプリケーション用の実際のフィルタは、無限インパルス応答を切り捨ててウィンドウ処理し、有限インパルス応答を作成することで、理想的なフィルタを近似します。このフィルタを適用するには、適度な時間だけ信号を遅延させる必要があり、計算で少し先を「見る」ことができます。この遅延は位相シフトとして現れます。近似の精度を高めるには、より長い遅延が必要です。

理想的なローパスフィルタを切り捨てると、ギブス現象によるリンギングアーティファクトが発生しますが、これはウィンドウ関数の選択によって軽減または悪化する可能性があります。実際のフィルタの設計と選択には、これらのアーティファクトを理解し、最小限に抑えることが含まれます。たとえば、sinc関数を単純に切り捨てると、深刻なリンギングアーティファクトが発生しますが、エッジでより滑らかに低下するウィンドウ関数を使用することで、これを軽減できます。^[5]

Whittaker-Shannon 補間式は、完全なローパス フィルタを使用して、サンプリングされたデジタル信号から連続信号を再構築する方法を説明します。実際のデジタル - アナログ コンバーターは、実際のフィルタ近似を使用します。

ローパス フィルタの時間応答は、単純なローパス RC フィルタへの応答を解くことによって求められます。

キルヒホッフの法則を用いると、次の微分方程式が得られる^[6]。

${\displaystyle v_{\text{out}}(t)=v_{\text{in}}(t)-RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}}$

を大きさのステップ関数とすると、微分方程式の解は^{[7]となる。}${\displaystyle v_{\text{in}}(t)}$${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle v_{\text{out}}(t)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}t}),}$

ここで、フィルタのカットオフ周波数です。 ${\displaystyle \omega _{0}={1 \over RC}}$

回路の周波数応答を特徴付ける最も一般的な方法は、そのラプラス変換^[6]伝達関数を見つけることです。微分方程式のラプラス変換をとって、を解くと、次の式が得られます。 ${\displaystyle H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}}$${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}={\omega _{0} \over s+\omega _{0}}}$

離散差分方程式は、上記のステップ入力応答を一定の間隔でサンプリングすることで簡単に得られます。ここで、はサンプル間の時間です。2つの連続したサンプルの差を取ると、 ${\displaystyle nT}$${\displaystyle n=0,1,...}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle v_{\rm {out}}(nT)-v_{\rm {out}}((n-1)T)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}nT})-V_{i}(1-e^{-\omega _{0}((n-1)T)})}$

を解く と${\displaystyle v_{\rm {out}}(nT)}$

${\displaystyle v_{\rm {out}}(nT)=\beta v_{\rm {out}}((n-1)T)+(1-\beta )V_{i}}$

どこ${\displaystyle \beta =e^{-\omega _{0}T}}$

と の表記を使用し、サンプル値 を代入すると、差分方程式が得られます。 ${\displaystyle V_{n}=v_{\rm {out}}(nT)}$${\displaystyle v_{n}=v_{\rm {in}}(nT)}$${\displaystyle v_{n}=V_{i}}$

${\displaystyle V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta )v_{n}}$

差分方程式から再構成された出力信号 をステップ入力応答 と比較すると、正確な再構成（0% の誤差）があることがわかります。これは、時間不変入力に対する再構成された出力です。ただし、入力が のように時間変化する場合、このモデルは入力信号を、再構成された出力信号に誤差が生じる持続時間を持つ一連のステップ関数として近似します。時間変化する入力から生じる誤差は定量化が困難ですが^[要出典]、 に伴って減少します。 ${\displaystyle V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta )v_{n}}$${\displaystyle v_{\text{out}}(t)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}t})}$${\displaystyle v_{\text{in}}(t)=V_{i}\sin(\omega t)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T\rightarrow 0}$

多くのデジタル フィルタは、ローパス特性を実現するように設計されています。無限インパルス応答ローパスフィルタと有限インパルス応答ローパス フィルタの両方、およびフーリエ変換を使用するフィルタが広く使用されています。

無限インパルス応答ローパス フィルタの効果は、RC フィルタの動作を時間領域で分析し、モデルを 離散化することで、コンピュータ上でシミュレートできます。

右側の回路図から、キルヒホッフの法則と静電容量の定義によれば、

ここで は時刻tにコンデンサに蓄えられた電荷である 。式Q を式Iに代入するとが得られ、これを式Vに代入すると ${\displaystyle Q_{c}(t)}$${\displaystyle i(t)\;=\;C{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}}$

${\displaystyle v_{\text{in}}(t)-v_{\text{out}}(t)=RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}.}$

この方程式は離散化できます。簡単にするために、入力と出力のサンプルが時間で区切られた等間隔の時点で取得されると仮定します。 のサンプルをシーケンス で表し、 をシーケンス で表します。これらは同じ時間点に対応します。これらの置き換えを行うと、 ${\displaystyle \Delta _{T}}$${\displaystyle v_{\text{in}}}$${\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})}$${\displaystyle v_{\text{out}}}$${\displaystyle (y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})}$

${\displaystyle x_{i}-y_{i}=RC\,{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}}.}$

項を並べ替えると再帰関係が得られる。

${\displaystyle y_{i}=\overbrace {x_{i}\left({\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Input contribution}}+\overbrace {y_{i-1}\left({\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Inertia from previous output}}.}$

つまり、この離散時間実装の単純なRCローパスフィルタは、指数的に重み付けされた移動平均である。

${\displaystyle y_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )y_{i-1}\qquad {\text{where}}\qquad \alpha :={\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}.}$

定義により、平滑化係数は範囲内にあります。αの式は、 サンプリング周期と平滑化係数 αに関して 等価時定数RCを算出します。 ${\displaystyle 0\;\leq \;\alpha \;\leq \;1}$ ${\displaystyle \Delta _{T}}$

${\displaystyle RC=\Delta _{T}\left({\frac {1-\alpha }{\alpha }}\right).}$

思い出して

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}}$それで${\displaystyle RC={\frac {1}{2\pi f_{c}}},}$

αとは次の関係にあることに注意 。 ${\displaystyle f_{c}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi \Delta _{T}f_{c}}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}}$

そして

${\displaystyle f_{c}={\frac {\alpha }{(1-\alpha )2\pi \Delta _{T}}}.}$

α =0.5の場合 、RC時定数はサンプリング周期に等しくなります。の場合、RC は サンプリング間隔よりも大幅に大きくなり、 となります。 ${\displaystyle \alpha \;\ll \;0.5}$${\displaystyle \Delta _{T}\;\approx \;\alpha RC}$

フィルタの再帰関係は、入力サンプルと前の出力に基づいて出力サンプルを決定する方法を提供します。次の疑似コードアルゴリズムは、一連のデジタル サンプルに対するローパス フィルタの効果をシミュレートします。

// 入力サンプルに応じてRCローパスフィルタの出力サンプルを返します。
// 時間間隔dt、および時間定数RC
関数lowpass( real[1..n] x, real dt, real RC)
     var  real[1..n] y
     var  real α := dt / (RC + dt)
    y[1] := α * x[1]
    iは2からnまで
        y[i] := α * x[i] + (1-α) * y[i-1]
    yを
返す

n 個の出力のそれぞれを計算するループは、次のように同等に リファクタリングできます。

    iは2からnまで
        y[i] := y[i-1] + α * (x[i] - y[i-1])

つまり、1 つのフィルタ出力から次のフィルタ出力への変化は、前の出力と次の入力の差に比例します。この指数平滑化特性は、連続時間システムで見られる指数関数的減衰と一致します。予想どおり、時間定数 RC が増加すると、離散時間平滑化パラメータが減少し、出力サンプルは入力サンプルの変化に対してよりゆっくりと応答します。つまり、システムの慣性が増大します。このフィルタは、無限インパルス応答(IIR) 単極ローパス フィルタ です。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})}$${\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})}$

有限インパルス応答フィルタは、理想的なシャープカットオフローパスフィルタのsinc関数時間領域応答を近似するように構築できます。歪みを最小にするために、有限インパルス応答フィルタは、無制限の信号に対して無制限の数の係数を作用させます。実際には、時間領域応答は時間を切り捨てる必要があり、多くの場合、単純化された形状になります。最も単純なケースでは、移動平均を使用して、2乗の時間応答を得ることができます。^[8]

非リアルタイム フィルタリングの場合、ローパス フィルタを実現するために、通常、信号全体をループ信号として扱い、フーリエ変換を行い、周波数領域でフィルタリングしてから、逆フーリエ変換を行います。時間領域フィルタリング アルゴリズムの O(n ² ) と比較して、必要な操作は O(n log(n)) のみです。

これは、信号が十分に遅延され、より短い重複ブロックでフーリエ変換が実行される場合に、リアルタイムで実行されることもあります。

フィルタ回路にはさまざまな種類があり、周波数の変化に対する応答も異なります。フィルタの周波数応答は一般にボード線図で表され、フィルタはカットオフ周波数と周波数ロールオフ率によって特徴付けられます。いずれの場合も、カットオフ周波数では、フィルタは入力電力を半分または 3 dB減衰します。したがって、フィルタの次数によって、カットオフ周波数より高い周波数に対する追加の減衰量が決まります。

• たとえば、1 次フィルタは、周波数が 2 倍になる (1オクターブ上がる) たびに、信号振幅を半分に減らします (したがって、電力は 4 分の 1、つまり6 dB 減少します)。より正確には、電力ロールオフは、高周波数の限界で 10倍あたり 20 dB に近づきます。1 次フィルタの振幅ボード線図は、カットオフ周波数より下では水平線、カットオフ周波数より上では対角線のように見えます。また、2 つの境界には「膝曲線」があり、2 つの直線領域間を滑らかに移行します。1次ローパス フィルタの伝達関数に極だけでなく零点もある場合、ボード線図は、高周波数の減衰が最大になるところで再び平坦になります。このような効果は、たとえば、1 極フィルタの周囲で入力が少し漏れることによって発生します。この 1 極 1 零点フィルタは、やはり 1 次ローパスです。極零点図とRC 回路を参照してください。
• 2 次フィルタは、高周波をより急激に減衰します。このタイプのフィルタのボード線図は、1 次フィルタのボード線図に似ていますが、減衰が急です。たとえば、2 次バターワース フィルタは、周波数が 2 倍になるたびに信号振幅を元のレベルの 4 分の 1 に減らします (つまり、電力は 1 オクターブあたり 12 dB、10 倍あたり 40 dB 減少します)。その他の全極 2 次フィルタは、Q 係数に応じて最初は異なるレートで減衰しますが、最終的には 1 オクターブあたり 12 dB という同じレートに近づきます。1 次フィルタと同様に、伝達関数のゼロによって高周波漸近線が変化することがあります。RLC回路を参照してください。
• 3 次およびそれ以上の次数のフィルタも同様に定義されます。一般に、n 次全極フィルタの最終的な電力ロールオフ率は、オクターブあたり 6 n dB (10 倍あたり 20 n dB) です。

どのバターワース フィルタでも、水平線を右に、対角線を左上に延長すると (関数の漸近線)、それらは水平線より 3 dB 下のカットオフ周波数で交差します。さまざまなタイプのフィルタ (バターワース フィルタ、チェビシェフ フィルタ、ベッセル フィルタなど) はすべて、見た目が異なったニー カーブを持っています。多くの 2 次フィルタには、このピークで周波数応答が水平線 より上になる「ピーキング」または共振があります。

「低」と「高」の意味、つまりカットオフ周波数は、フィルタの特性によって異なります。「ローパス フィルタ」という用語は、フィルタの応答の形状のみを指します。どのローパス フィルタよりも低い周波数でカットオフするハイパス フィルタを構築することもできます。これらのフィルタを区別するのは、応答です。電子回路は、マイクロ波周波数 (1 GHz 以上) からそれ以上まで、任意の周波数範囲に合わせて設計できます。

連続時間フィルタは、インパルス応答のラプラス変換で記述することもできます。これにより、複素平面におけるラプラス変換の極と零点のパターンを考慮することで、フィルタのすべての特性を簡単に分析できます。(離散時間では、同様にインパルス応答の Z 変換を考慮することができます。)

たとえば、1次ローパスフィルタは、ラプラス領域内の連続時間 伝達関数によって次のように記述できます。

${\displaystyle H(s)={\frac {\text{Output}}{\text{Input}}}=K{\frac {1}{\tau s+1}}=K{\frac {\alpha }{s+\alpha }}}$

ここで、Hは伝達関数、sはラプラス変換変数 (複素角周波数)、τはフィルタ時間定数、はカットオフ周波数、Kは通過帯域におけるフィルタのゲインです。カットオフ周波数は時間定数と次の式で関係します。 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={1 \over \tau }}$

1 つの簡単なローパス フィルタ回路は、負荷と直列の抵抗器と、負荷と並列のコンデンサで構成されます。コンデンサはリアクタンスを示し、低周波信号をブロックして、代わりに負荷を通過させます。周波数が高くなるとリアクタンスが低下し、コンデンサは事実上短絡回路として機能します。抵抗と静電容量の組み合わせによって、フィルタの時定数が決まります(ギリシャ文字のtauで表されます)。ブレーク周波数 (ターンオーバー周波数、コーナー周波数、またはカットオフ周波数(ヘルツ単位) とも呼ばれる) は、時定数によって決まります。 ${\displaystyle \tau \;=\;RC}$

${\displaystyle f_{\mathrm {c} }={1 \over 2\pi \tau }={1 \over 2\pi RC}}$

または同等（ラジアン/秒）:

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={1 \over \tau }={1 \over RC}}$

この回路は、コンデンサが抵抗器を介して充電または放電するのに必要な時間を考慮することで理解できます。

• 低周波数では、コンデンサが入力電圧と実質的に同じ電圧まで充電されるのに十分な時間があります。
• 高周波では、入力の方向が切り替わる前にコンデンサが充電する時間はほとんどありません。出力は入力の上下量のほんの一部だけ上下します。周波数が 2 倍になると、半分の量しか充電できません。

この回路を理解する別の方法は、特定の周波数における リアクタンスの概念を利用することです。

• 直流(DC) はコンデンサを通過できないため、DC 入力はマークされたパスから流れ出る必要があります(コンデンサを取り外すのと同様)。${\displaystyle V_{\mathrm {out} }}$
• 交流電流(AC) は、単線を流れるのとほぼ同じようにコンデンサを非常によく流れるため、AC 入力はコンデンサを通って流れ出し、実質的に地面に短絡します(コンデンサを単なるワイヤに置き換えた場合と同様です)。

コンデンサは、「オン/オフ」オブジェクトではありません (上記のブロックまたはパス流体の説明のように)。コンデンサは、これら 2 つの極端な状態の間で可変的に動作します。この可変性を示すのは、 ボード線図と周波数応答です。

抵抗器-インダクタ回路またはRL フィルタは、電圧源または電流源によって駆動される抵抗器とインダクタで構成される電気回路です。 1 次 RL 回路は 1 つの抵抗器と 1 つのインダクタで構成され、最も単純なタイプの RL 回路です。

1 次 RL 回路は、最も単純なアナログ 無限インパルス応答 電子フィルタの 1 つです。抵抗器とインダクタで構成され、電圧源によって直列に駆動されるか、電流源によって 並列に駆動されます。

RLC 回路( 文字 R、L、C は異なる順序でも可) は、直列または並列に接続された抵抗器、インダクタ、コンデンサで構成される電気回路です。名前の RLC 部分は、これらの文字がそれぞれ抵抗、インダクタンス、静電容量を表す通常の電気記号であることに由来しています。この回路は電流の調和振動子を形成し、LC 回路と同様に共振します。抵抗器の存在による主な違いは、回路内で誘発される振動は、ソースによって継続されない限り、時間の経過とともに消滅することです。この抵抗器の効果は減衰と呼ばれます。抵抗器の存在により、ピーク共振周波数もいくらか低下します。実際の回路では、抵抗器がコンポーネントとして明示的に含まれていなくても、ある程度の抵抗は避けられません。理想的な純粋な LC 回路は、理論上の抽象化です。

この回路には多くの用途があります。これらは、さまざまな種類の発振回路で使用されます。もう 1 つの重要な用途は、ラジオ受信機やテレビなどのチューニングです。これらの回路では、周囲の電波から狭い範囲の周波数を選択するために使用されます。この役割では、回路はしばしば同調回路と呼ばれます。RLC 回路は、バンドパス フィルタ、バンドストップ フィルタ、ローパス フィルタ、またはハイパス フィルタとして使用できます。RLC フィルタは2 次回路として記述されます。つまり、回路解析では、回路内の任意の電圧または電流を 2 次微分方程式で記述できます。

2 次ローパス フィルタの伝達関数は、2 次ローパス フィルタの標準形式である式 1 に示すように、周波数の関数として表すことができます。 ${\displaystyle H_{LP}(f)}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle H_{LP}(f)=-{\frac {K}{f_{FSF}\cdot f_{c}^{2}+{\frac {1}{Q}}\cdot jf_{FSF}\cdot f_{c}+1}}\quad (1)}$

この式では、は周波数変数、はカットオフ周波数、は周波数スケーリング係数、 は品質係数です。式 1 は、カットオフ以下、カットオフ領域内、カットオフ以上という 3 つの動作領域を説明しています。各領域について、式 1 は次のようになります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle f_{FSF}}$${\displaystyle Q}$

• ${\displaystyle f\ll f_{c}}$: - 回路はゲイン係数を乗じた信号を通過させます。${\displaystyle H_{LP}(f)\approx K}$${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle {\frac {f}{f_{c}}}=f_{FSF}}$: - 信号は 90° 位相シフトされ、品質係数によって変更されます。${\displaystyle H_{LP}(f)=jKQ}$${\displaystyle Q}$
• ${\displaystyle f\gg f_{c}}$: - 信号は180°位相シフトされ、周波​​数比の2乗で減衰します。この動作については、Jim Karkiの「Active Low-Pass Filter Design」（Texas Instruments、2023年）で詳しく説明されています。^[9]${\displaystyle H_{LP}(f)\approx -{\frac {K}{f_{FSF}\cdot f^{2}}}}$

上記の周波数での減衰が2 の累乗で増加すると、最後の式は 2 次ローパス フィルターを表します。周波数スケーリング係数は、フィルターのカットオフ周波数をスケーリングして、前述の定義に従うようにするために使用されます。 ${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle f_{FSF}}$

高次のパッシブ フィルタも構築できます (3 次例については図を参照)。

アクティブローパス フィルターは、アクティブ デバイスを追加して、通過帯域の ゲインを可能にするアクティブ フィルターを作成します。

図に示すオペアンプ回路では、カットオフ周波数（ヘルツ単位）は次のように定義されます。

${\displaystyle f_{\text{c}}={\frac {1}{2\pi R_{2}C}}}$

または同等（ラジアン/秒）:

${\displaystyle \omega _{\text{c}}={\frac {1}{R_{2}C}}}$

通過帯域のゲインは − R ₂ / R ₁であり、阻止帯域は1 次フィルタであるため、オクターブあたり −6 dB (つまり 10 倍あたり −20 dB) 低下します。

• ベースバンド
• スムーザー（統計）

• ローパスフィルタ Java シミュレータ
• ECE 209: LTI システムとしての回路のレビュー、(電気) LTI システムの数学的分析に関する短い入門書。
• ECE 209: 位相シフトの原因、ローパス フィルタの位相シフトの原因を直感的に説明します。また、三角関数の恒等式を使用して、単純なパッシブ LPF伝達関数を検証します。
• ヨーク大学 (イギリス、ヨーク) の故トニー・フィッシャー博士によって作成された、バターワース、ベッセル、チェビシェフ フィルターのデジタル実装用の C コード ジェネレーター。