RC回路

抵抗器-コンデンサ回路( RC 回路)、またはRC フィルタ、あるいはRC ネットワークは、抵抗器とコンデンサで構成される電気回路です。電圧源または電流源によって駆動され、異なる応答を生成します。1 次 RC 回路は 1 つの抵抗器と 1 つのコンデンサで構成され、最も単純なタイプの RC 回路です。

RC 回路は、特定の周波数をブロックし、他の周波数を通過させることで信号をフィルタリングするために使用できます。最も一般的な RC フィルタは、ハイパス フィルタとローパス フィルタの 2 つです。バンドパス フィルタとバンドストップ フィルタには通常RLC フィルタが必要ですが、RC フィルタを使用して簡易なものを作成することもできます。

基本的な線形受動集中 アナログ回路コンポーネントは、抵抗器 (R)、コンデンサ (C)、インダクタ(L) の 3 つです。これらは、 RC 回路、RL 回路、LC 回路、RLC 回路で組み合わせることができ、頭字語はどのコンポーネントが使用されているかを示します。これらの回路は、アナログ電子機器の多くに不可欠な、多数の重要な動作を示します。特に、受動フィルタとして動作できます。この記事では、以下の図に示すように、 直列形式と並列形式の両方の RC 回路を検討します。

最も単純な RC 回路は、外部電圧源なしで、抵抗器と充電されたコンデンサを 1 つのループで接続したものです。回路が閉じると、コンデンサは抵抗器を通して蓄積されたエネルギーを放電し始めます。時間に依存するコンデンサにかかる電圧は、キルヒホッフの電流法則を使用して求めることができます。抵抗器を流れる電流は、コンデンサに蓄積された電荷の時間微分と大きさが等しくなければなりません (ただし、符号は反対です)。この結果、線形微分方程式が成立します。

${\displaystyle C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{R}}=0\,,}$

ここで、C はコンデンサの静電容量です。

この式をVについて解くと、指数関数的減少の式が得られます。

${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-{\frac {t}{RC}}}\,,}$

ここで、V _0は時刻t = 0におけるコンデンサ電圧です。

電圧が⁠まで下がるのに必要な時間₀です/e⁠ はRC時定数と呼ばれ、 ^{[1]で与えられる。}

${\displaystyle \tau =RC\,.}$

この式では、τ は秒、Rはオーム、C はファラドで測定されます。

静電容量C（ファラッド） のコンデンサの複素インピーダンスZ _C（オーム）は、

${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{sC}}}$

複素周波数 sは一般に複素数であり、

${\displaystyle s=\sigma +j\omega \,,}$

どこ

• jは虚数単位を表す: j ² = −1、
• σは指数関数的減衰定数（ネパー/秒）であり、
• ω は正弦波の 角周波数（ラジアン/秒）です。

正弦定常状態は、入力電圧が純粋な正弦波（指数関数的減衰なし）で構成される特殊なケースです。その結果、インピーダンスは ${\displaystyle \sigma =0}$

${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{j\omega C}}=-{\frac {j}{\omega C}}\,.}$

回路を電圧分割器として見ると、コンデンサの両端の 電圧は次のようになります。

${\displaystyle V_{C}(s)={\frac {\frac {1}{Cs}}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)={\frac {1}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)}$

抵抗器の両端の電圧は次のようになります。

${\displaystyle V_{R}(s)={\frac {R}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)={\frac {RCs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.}$

入力電圧からコンデンサ両端の電圧までの 伝達関数は

${\displaystyle H_{C}(s)={\frac {V_{C}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{1+RCs}}\,.}$

同様に、入力から抵抗器の両端の電圧までの伝達関数は

${\displaystyle H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {RCs}{1+RCs}}\,.}$

どちらの伝達関数も 、

${\displaystyle s=-{\frac {1}{RC}}\,.}$

さらに、抵抗器の両端の電圧の伝達関数には原点に位置するゼロがあります。

2つの要素間の利益の大きさは

${\displaystyle G_{C}={\big |}H_{C}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{C}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}}$

そして

${\displaystyle G_{R}={\big |}H_{R}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}\,,}$

そして位相角は

${\displaystyle \phi _{C}=\angle H_{C}(j\omega )=\tan ^{-1}\left(-\omega RC\right)}$

そして

${\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\omega RC}}\right)\,.}$

これらの式は、出力を表す 位相器の通常の式に置き換えることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}&=G_{C}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{C}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\,.\end{aligned}}}$

回路は直列になっているため、回路内の電流はどこでも同じです。

${\displaystyle I(s)={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+{\frac {1}{Cs}}}}={\frac {Cs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.}$

各電圧のインパルス応答は、対応する伝達関数の逆ラプラス変換です。これは、インパルスまたはディラックのデルタ関数で構成される入力電圧に対する回路の応答を表します。

コンデンサ電圧のインパルス応答は

${\displaystyle h_{C}(t)={\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

ここでu ( t )はヘビサイドステップ関数、τ = RCは時定数です。

同様に、抵抗電圧のインパルス応答は

${\displaystyle h_{R}(t)=\delta (t)-{\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

ここでδ ( t )はディラックのデルタ関数である。

これらは周波数領域の表現です。これらを分析すると、回路 (またはフィルター) がどの周波数を通過させ、拒否するかがわかります。この分析は、周波数が非常に大きくなったり小さくなったりしたときに、これらのゲインに何が起こるかを考慮することに基づいています。

ω → ∞の場合:

${\displaystyle G_{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 1\,.}$

ω → 0の場合:

${\displaystyle G_{C}\to 1\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 0\,.}$

これは、出力がコンデンサを介して取得される場合、高周波数は減衰され（グランドに短絡）、低周波数は通過することを示しています。したがって、回路はローパス フィルタとして動作します。ただし、出力が抵抗を介して取得される場合、高周波数は通過し、低周波数は減衰されます（周波数が 0 に近づくとコンデンサが信号をブロックするため）。この構成では、回路はハイパス フィルタとして動作します。

フィルタが通過する周波数の範囲は帯域幅と呼ばれます。フィルタが信号をフィルタリング前の電力の半分に減衰させるポイントはカットオフ周波数と呼ばれます。これにより、回路のゲインを

${\displaystyle G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$。

上記の式を解くと、

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{RC}}\quad {\mbox{or}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {1}{2\pi RC}}}$

これは、フィルタが元のパワーの半分に減衰する周波数です。

明らかに、位相も周波数に依存しますが、この効果は一般にゲインの変化ほど興味深いものではありません。

ω → 0の場合:

${\displaystyle \phi _{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.}$

ω → ∞の場合:

${\displaystyle \phi _{C}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.}$

したがって、 DC (0  Hz )では、コンデンサ電圧は信号電圧と同位相ですが、抵抗器電圧は信号電圧より 90° 進んでいます。周波数が増加すると、コンデンサ電圧は信号に対して 90° 遅れ、抵抗器電圧は信号と同位相になります。

このセクションでは、自然対数定数eに関する知識を前提としています。

時間領域の動作を導く最も簡単な方法は、上記のV _CとV _Rの式のラプラス変換を使用することです。これは、 jω → s を効果的に変換します。ステップ入力（つまり、 t = 0より前はV _in = 0で、その後はV _in = V）を想定すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{C}(s)&=V\cdot {\frac {1}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V\cdot {\frac {sRC}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}}$

部分分数展開と逆ラプラス変換により次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}(t)&=V\left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)\\V_{R}(t)&=Ve^{-{\frac {t}{RC}}}\,.\end{aligned}}}$

これらの式は、コンデンサが充電されているときにコンデンサと抵抗器の両端の電圧を計算するためのものです。放電の場合は、式はその逆になります。これらの式は、 C = ⁠の関係を使用して、電荷と電流の観点から書き直すことができます。質問/五⁠そしてV = IR (オームの法則を)。

したがって、図に示すように、コンデンサの両端の電圧は時間の経過とともにVに近づき、抵抗器の両端の電圧は 0 に近づきます。これは、コンデンサが時間の経過とともに供給電圧から充電され、最終的に完全に充電されるという直感的な点と一致しています。

これらの式は、直列RC回路には時定数があることを示しています。これは通常、τ = RCと表され、コンポーネントの電圧が（コンデンサを介して）上昇するか（抵抗を介して）下降するまでの時間です。1/e⁠の最終値です。つまり、 τ はV _{C が}V (1 − ⁠に達するまでの時間です1/e⁠ )とV _{R を}つなげてV ( ⁠1/e⁠ )。

変化率は分数 1 − ⁠1/e⁠ τあたりに。したがって、 t = Nτからt = ( N + 1) τに移行すると、電圧はt = Nτでのレベルから最終値に向かって約 63.2% 移動します。したがって、コンデンサはτ後に約 63.2% まで充電され、約5 τ後には実質的に完全に充電されます (99.3%) 。電圧源が短絡に置き換えられ、コンデンサが完全に充電されると、コンデンサ全体の電圧はtとともにVから0 に向かって指数関数的に低下します。コンデンサはτ後に約 36.8% まで放電され、約5 τ後には実質的に完全に放電されます (0.7%)。回路内の電流Iは、オームの法則により、抵抗器全体の電圧と同じように動作することに注意してください。

これらの結果は、回路を記述する 微分方程式を解くことによっても導き出すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {V_{\mathrm {in} }-V_{C}}{R}}&=C{\frac {dV_{C}}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{C}\,.\end{aligned}}}$

最初の方程式は積分係数を使用して解かれ、2 番目の方程式も簡単に解けます。解はラプラス変換で得られる解とまったく同じです。

高周波におけるコンデンサの出力を考えてみましょう。

${\displaystyle \omega \gg {\frac {1}{RC}}\,.}$

これは、コンデンサが充電する時間が不十分で、電圧が非常に小さいことを意味します。したがって、入力電圧は抵抗器の両端の電圧とほぼ等しくなります。これを確認するには、上記の式を検討してください。 ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R+{\frac {1}{j\omega C}}}}\,,}$

ただし、ここで述べた頻度条件は、

${\displaystyle \omega C\gg {\frac {1}{R}}\,,}$

それで

${\displaystyle I\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}}$

それはまさにオームの法則です。

今、

${\displaystyle V_{C}={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I\,dt\,,}$

それで

${\displaystyle V_{C}\approx {\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}V_{\mathrm {in} }\,dt\,,}$

これはコンデンサ両端の積分器 です。

低周波における抵抗器の出力を考えてみましょう。

${\displaystyle \omega \ll {\frac {1}{RC}}\,.}$

これは、コンデンサの電圧が電源の電圧とほぼ等しくなるまで充電する時間があることを意味します。Iの式をもう一度考えてみると、

${\displaystyle R\ll {\frac {1}{\omega C}}\,,}$

それで

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{\frac {1}{j\omega C}}}\\V_{\mathrm {in} }&\approx {\frac {I}{j\omega C}}=V_{C}\,.\end{aligned}}}$

今、

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{R}&=IR=C{\frac {dV_{C}}{dt}}R\\V_{R}&\approx RC{\frac {dV_{in}}{dt}}\,,\end{aligned}}}$

これは抵抗器両端の微分器 です。

積分と微分は、オペアンプの入力とフィードバックループに抵抗器とコンデンサを適切に配置することによっても実現できます(オペアンプ積分器とオペアンプ微分器を参照)。

並列 RC 回路は、一般的に直列回路ほど重要ではありません。これは主に、出力電圧V _{out が}入力電圧V _inに等しいためです。その結果、この回路は、電流源から供給されない限り、入力信号のフィルターとして機能しません。

複素インピーダンスの場合:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=j\omega CV_{\mathrm {in} }\,.\end{aligned}}}$

これは、コンデンサ電流が抵抗器（およびソース）電流と 90° 位相がずれていることを示しています。代わりに、支配的な微分方程式を使用することもできます。

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=C{\frac {dV_{\mathrm {in} }}{dt}}\,.\end{aligned}}}$

電流源から電力が供給される場合、並列 RC 回路の伝達関数は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {out} }}{I_{\mathrm {in} }}}={\frac {R}{1+sRC}}\,.}$

s内の与えられた有理関数から RC 回路を合成しなければならない場合があります。受動要素で合成を可能にするには、関数は正の実数関数でなければなりません。RC 回路として合成するには、すべての臨界周波数 (極とゼロ) が負の実軸上にあり、極とゼロがそれぞれ同数ずつ交互に存在する必要があります。さらに、有理関数がアドミタンスではなくインピーダンスを表すと仮定すると、原点に最も近い臨界周波数は極でなければなりません。

この合成は、 LC回路の合成に用いられるフォスター合成やカウアー合成を改良することで実現できる。カウアー合成の場合、抵抗器とコンデンサのラダーネットワークが得られる。^[2]

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• ステップ応答

• Bakshi, UA; Bakshi, AV、「回路解析 - II」、Technical Publications、2009 ISBN  9788184315974。
• ホロウィッツ、ポール、ヒル、ウィンフィールド、『The Art of Electronics』（第3版）、ケンブリッジ大学出版局、2015年ISBN 0521809266。