ロールオフ

ロールオフとは、特に電気回路解析において、周波数に対する伝達関数の傾きのことです。中でも、通過帯域と阻止帯域の遷移におけるフィルタ回路において特に重要です。一般的には回路の挿入損失に適用されますが、原理的には、電子回路に限らず、あらゆる周波数の関数や技術に適用できます。ロールオフは通常、対数周波数の関数として測定されます。そのため、ロールオフの単位は、デシベル/デケード（dB/decade、 1デケードは周波数が10倍になることを意味します）またはデシベル/オクターブ（dB/8ve、1オクターブは周波数が2倍になることを意味します）のいずれかになります。

ロールオフの概念は、多くのネットワークにおいて、周波数曲線のカットオフポイントから十分に離れた周波数でロールオフが一定の勾配に近づくという事実に基づいています。ロールオフにより、このようなフィルタネットワークのカットオフ性能を単一の数値に集約することができます。ロールオフは、検討対象のフィルタの帯域形状に応じて、周波数の増加だけでなく減少時にも発生する可能性があることに注意してください。たとえば、ローパスフィルタは周波数の増加とともにロールオフしますが、ハイパスフィルタまたはバンドパスフィルタの下側阻止帯域は周波数の減少とともにロールオフします。簡潔にするため、この記事ではローパスフィルタのみを説明します。これはプロトタイプフィルタの考え方に基づいています。「カットオフ周波数以上」と「カットオフ周波数以下」などの表現を入れ替えることで、同じ原理をハイパスフィルタにも適用できます。

RC回路のような単純な一次ネットワークでは、20 dB/decadeのロールオフが発生します。これは6 dB/octaveをわずかに上回る値で、このロールオフを表すより一般的な表現です。これは、RCネットワークの電圧伝達関数Aを考慮することで証明できます。 ^{[ 1 ]}  

${\displaystyle A={\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {1}{1+i\omega RC}}}$

これを周波数スケーリングしてω _c  =  1/ RC  =  1 とし、電力比を求めると、

$${\displaystyle |A|^{2}={\frac {1}{1+\left({\omega \over \omega _{c}}\right)^{2}}}={\frac {1}{1+\omega ^{2}}}}$$

デシベルで表すと、

${\displaystyle 10\log \left({\frac {1}{1+\omega ^{2}}}\right)}$

または損失として表現される、

${\displaystyle L=10\log \left({1+\omega ^{2}}\right)\ \mathrm {dB} }$

ω = 1 をはるかに超える周波数では、これは次のように単純化されます。

${\displaystyle L\approx 10\log \left(\omega ^{2}\right)=20\log \omega \ \mathrm {dB} }$

ロールオフは次のように表されます。

${\displaystyle \Delta L=20\log \left({\omega _{2} \over \omega _{1}}\right)\ \mathrm {dB/interval_{2,1}} }$

この10年間は​​こうだった。

${\displaystyle \Delta L=20\log 10=20\ \mathrm {dB/decade} }$

そして1オクターブ分、

${\displaystyle \Delta L=20\log 2\approx 6.0206\ \mathrm {dB/8ve} }$

より高次のネットワークは、一次セクションをカスケード接続することによって構築できます。各セクション間にユニティゲインバッファアンプを配置した場合（または他のアクティブトポロジを使用した場合）、ステージ間の相互作用はありません。その状況では、n 個の同一の一次セクションがカスケード接続されている場合、完全なネットワークの電圧伝達関数は次のように与えられます。^{[ 1 ]}

${\displaystyle A_{\mathrm {T} }=A^{n}\ }$

したがって、総ロールオフは次のように表される。

${\displaystyle \Delta L_{\text{T}}=n\,\Delta L=20n{\text{ dB/decade}}\approx 6n{\text{ dB/octave}}}$

同様の効果は、同じフィルタリングアルゴリズムを信号に繰り返し適用することによってデジタル領域でも達成できる。 ^{[ 2 ]}

セクションがすべて同一でない場合、または一般的なラダー トポロジー構造を使用してフィルタを実現する場合、伝達関数の計算はやや複雑になります。ラダー フィルタでは、フィルタの各セクションはすぐ隣のセクションに影響を与え、より遠いセクションへの影響は小さいため、すべてのセクションが同一であっても応答は単純なA ⁿにはなりません。バターワース フィルタなどの一部のフィルタ クラスでは、挿入損失は周波数とともに単調に増加し、漸近的に 20 n dB/decadeのロールオフに急速に収束しますが、チェビシェフ フィルタや楕円フィルタなどの他のフィルタでは、カットオフ周波数付近でのロールオフははるかに速く、それ以外の周波数では応答は単調ではありません。それでも、すべてのフィルタ クラスは、理論的には任意の高い周波数で最終的に 20 n dB/decadeのロールオフに収束しますが、多くのアプリケーションでは、これはアプリケーションに関係のない周波数帯域で発生し、これが起こるずっと前に寄生効果が支配的になり始める可能性があります。 ^{[ 3 ]}  

ロールオフの大きいフィルタは、電話のFDMシステムで隣接するチャネル間のクロストークを防ぐために最初に開発されました。^{[ 4 ]}ロールオフはオーディオ ラウドスピーカーのクロスオーバー フィルタでも重要です。ここでは、ロールオフの大きいフィルタが必要なわけではなく、高周波セクションと低周波セクションのロールオフが対称で相補的である必要があります。ロールオフの大きいフィルタが通常必要とされるのはEEG装置です。ここでは、フィルタは基本的に 20 dB/decade のロールオフで十分です が、一部の機器では、筋肉活動によって発生するノイズを除去するために、高周波端に切り替え可能な 35 Hz フィルタとより速いロールオフが提供されています。^{[ 5 ]}

• ボード線図

• J. ウィリアム・ヘルトン、オーランド・メリノ、「H∞法を用いた古典制御：設計入門」、pp. 23–25、応用数理学会、1998年、ISBN 0-89871-424-9。
• トッド・C・ハンディ著、『事象関連電位：方法ハンドブック』、89～92ページ、107～109ページ、MIT Press、2004年、ISBN 0-262-08333-7