極零点図

数学、信号処理、制御理論において、極零点図は複素平面における有理伝達関数のグラフ表現であり、システムの特定の特性を伝えるのに役立ちます。例えば、以下のような特性です。

• 安定性
• 因果システム／反因果システム
• 収束領域（ROC）
• 最小位相/非最小位相

極零点図は、コントローラ、補償器、センサ、イコライザ、フィルタ、通信チャネルなどの動的システムの伝達関数の極と零点の位置を複素平面上に示します。慣例として、システムの極は図中でX印で、零点は円またはO印で示されます。

極零点図は、連続時間システムまたは離散時間システムのいずれかを表すことができる複素周波数領域の平面上にプロットされます。

• 連続時間システムはラプラス変換を使用し、s平面上にプロットされます。${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$
  • 実際の周波数成分は垂直軸（仮想線）に沿っています$s = j ω$どこ$\displaystyle \sigma {=}0}$）
• 離散時間システムはZ変換を使用し、z平面上にプロットされます。${\displaystyle z=Ae^{j\phi }}$
  • 実周波数成分は単位円に沿っている

一般に、連続時間LTIシステムの有理伝達関数は次の形式をとります。

$${\displaystyle H(s)={\frac {B(s)}{A(s)}}={\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}s^{m}} \over s^{N}+\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{a_{n}s^{n}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{M}s^{M}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{(N-1)}s^{(N-1)}+s^{N}}}}$$

どこ

• ${\displaystyle B}$そして${\displaystyle A}$は多項式である${\displaystyle s}$、
• ${\displaystyle M}$は分子多項式の次数であり、
• ${\displaystyle b_{m}}$は${\displaystyle m}$分子多項式の 番目の係数^、
• ${\displaystyle N}$は分母多項式の次数であり、
• ${\displaystyle a_{n}}$は${\displaystyle n}$分母多項式の 番目の係数^。

どちらか${\displaystyle M}$または${\displaystyle N}$あるいは両方ともゼロになる場合もあるが、実際のシステムでは、${\displaystyle M\leq N}$そうでなければ、高周波数域では利得が際限なくなってしまうだろう。

一般に、離散時間LTIシステムの有理伝達関数は次の形式をとります。

$${\displaystyle H(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}={\frac {\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}z^{-m}}}{1+\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{a_{n}z^{-n}}}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}\cdots +b_{M}z^{-M}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}\cdots +a_{N}z^{-N}}}}$$

どこ

• ${\displaystyle M}$は分子多項式の次数であり、
• ${\displaystyle b_{m}}$は${\displaystyle m}$分子多項式の 番目の係数^、
• ${\displaystyle N}$は分母多項式の次数であり、
• ${\displaystyle a_{n}}$は${\displaystyle n}$分母多項式の 番目の係数^。

どちらか${\displaystyle M}$または${\displaystyle N}$あるいは両方ともゼロの場合もある。

• 根の軌跡
• ラプラス変換
• Z変換
• 有理関数

• Haag, Michael (2005年6月22日). 「Z平面上の極/零点プロットの理解」 . OpenStax CNX . 2018年6月12日のオリジナルからアーカイブ済み。2018年6月9日取得。
• エリック・W・ワイススタイン。「Z変換」。MathWorld 。 2010年1月24日取得。