自然な反応 最も単純なRC回路 最も単純なRC回路は、抵抗 Rの抵抗器と容量 C の充電されたコンデンサが、外部電圧源なしで単一のループで接続されたものです。コンデンサは蓄積されたエネルギーを抵抗器を通して放電します。図において、 V ( t )コンデンサの電流-電圧関係 から、コンデンサの上部プレートから流出する 電流I ( t )は、 Cに V ( t )の 負の 時間微分を乗じた値に等しくなります。キルヒホッフの電流法則 によれば、この電流は抵抗器の上部に入る電流と同じであり、オームの法則によれば V ( t )/ R 線形微分方程式が得られます。 C − d V （ t ） d t ⏞ コンデンサ電流 = V （ t ） R ⏞ 抵抗電流 、 \displaystyle \overbrace {C{\frac {-\mathrm {d} V(t)}{\mathrm {d} t}}} ^{\text{コンデンサ電流}}=\overbrace {\frac {V(t)}{R}} ^{\text{抵抗電流}},} これは指数関数的減衰 の標準形式に従って並べ替えることができる。 d V （ t ） d t = − 1 R C V （ t ） 。 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V(t)}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {1}{RC}}V(t).} これは、 ( t ) について解くと、 漸近的に 0に近づく指数関数的な減衰曲線が得られます。 V （ t ） = V 0 ⋅ e − t R C 、 {\displaystyle V(t)=V_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}},} V 0 t = 0eは オイラー数 である。
電圧がV 0 / e RC 時定数 と呼ばれ、 [ 1 ] τ = R C 。 {\displaystyle \tau =RC.} 国際単位系を 使用する場合、R はオーム 、Cは ファラッド で表されるため、τ は 秒 単位になります。任意の時刻N ·τ1/ e N になります。したがって、コンデンサの電荷または電圧が 100% から始まるとすると、 1·τでは 36.8%、 2·τ では 13.5% 、 3·τ では 5% 、 4·τ では 1.8% 、 5·τ 以降では 0.7% 未満が残ります。
半減期 （t 1/2 [ 2 ] 1 2 = e − t 1 / 2 τ ⇒ t 1 / 2 = ln （ 2 ） τ ≈ 0.693 τ 。 \displaystyle {\frac {1}{2}}=e^{-{\tfrac {t_{1/2}}{\tau }}}\quad \Rightarrow \quad t_{1/2}=\ln(2)\,\tau \approx {\text{0.693}}\,\tau .} 1· t 1/2 で残り、次に2· t 1/2 で 25% が残り、次に3· t 1/2 で 12.5% が残り、そして1/2 N が 時間N · t 1/2
RC放電計算機 0.000001
1000000
1
1
1
1
1
1
1
.368
36.8
1
0.368
1 1
1
0.159
1
1
1
1
例えば、1 1 1 秒 になります。τ は 、約159 ミリヘルツ 1 ラジアン/秒 のカットオフ周波数 に相当します。 コンデンサの初期電圧V 0が 1 1τ 1 秒 、 1.443 半減期 ）後、 368 ミリボルト まで放電します。
V C 1 τ )≈ V 0 36.8 %
複素インピーダンス RC回路の挙動はラプラス領域 で解析するのに適しており、この記事の残りの部分ではラプラス領域の基本的な理解が必要となります。ラプラス領域は複素周波数 sを用いた 周波数領域 表現であり、sは（一般に）複素数 です。 s = σ + j ω 、 {\displaystyle s=\sigma +j\omega ,}
jは 虚数単位 を表す: j 2 = −1σ は指数関数的減衰 定数（この場合は-1/( RC ) に等しい）であり、ωは 正弦波の 角周波数 です。ラプラス領域で回路方程式を評価する場合、時間依存の回路要素である静電容量とインダクタンスは、実 抵抗ではなく複素インピーダンス を持つ抵抗器として扱うことができます。抵抗器の複素インピーダンスZ R は 、その抵抗R に等しい実数値ですが、コンデンサ C の複素インピーダンスは、 Z C = 1 C s 。 {\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{Cs}}.}
直列回路 直列 RC回路
現在 キルヒホッフの電流法則によれば、直列回路では両方の素子を流れる電流は必ず同じである。オームの法則によれば、この電流は入力電圧に等しい。V 私 n {\displaystyle V_{\mathrm {in} }}
私 （ s ） = V 私 n （ s ） R + 1 C s = C s 1 + R C s V 私 n （ s ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}I(s)&={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+{\frac {1}{Cs}}}}\\&={\frac {Cs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.\end{aligned}}}
電圧 この回路を分圧回路 とみなすと、コンデンサにかかる電圧は次のようになります。
V C （ s ） = 1 C s R + 1 C s V 私 n （ s ） = 1 1 + R C s V 私 n （ s ） {\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}(s)&={\frac {\frac {1}{Cs}}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)\\&={\frac {1}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\end{aligned}}} そして、抵抗器にかかる電圧は次のようになります。
V R （ s ） = R R + 1 C s V 私 n （ s ） = R C s 1 + R C s V 私 n （ s ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}V_{R}(s)&={\frac {R}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)\\&={\frac {RCs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.\end{aligned}}}
伝達関数 入力電圧からコンデンサ両端の電圧への伝達関数は
H C （ s ） = V C （ s ） V 私 n （ s ） = 1 1 + R C s 。 {\displaystyle H_{C}(s)={\frac {V_{C}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{1+RCs}}\,.} 同様に、入力から抵抗器の両端の電圧への伝達関数は次のようになります。
H R （ s ） = V R （ s ） V 私 n （ s ） = R C s 1 + R C s 。 {\displaystyle H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {RCs}{1+RCs}}\,.}
極と零点 どちらの伝達関数も、次の場所に単一の極があります。
s = − 1 R C 。 {\displaystyle s=-{\frac {1}{RC}}\,.} さらに、抵抗器にかかる電圧の伝達関数は、原点 に零点 を持つ。
周波数領域に関する考察 正弦波定常状態は、入力が純粋な正弦波のみで構成されているとみなす複素周波数の特殊なケースです。したがって、指数関数的減衰成分は次のように表されます。σ {\displaystyle \sigma } s = σ + j ω \displaystyle s = \sigma + j\omega } s ⇒ j ω {\displaystyle s\Rightarrow j\omega }
得 直列RC回路の振幅伝達関数と位相伝達関数 2つの構成要素における利得の大きさは
G C = | H C （ j ω ） | = | V C （ j ω ） V 私 n （ j ω ） | = 1 1 + （ ω R C ） 2 {\displaystyle G_{C}={\big |}H_{C}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{C}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}} そして
G R = | H R （ j ω ） | = | V R （ j ω ） V 私 n （ j ω ） | = ω R C 1 + （ ω R C ） 2 、 {\displaystyle G_{R}={\big |}H_{R}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}\,,} 周波数が非常に大きくなると（ω → ∞
G C → 0 そして G R → 1 。 {\displaystyle G_{C}\to 0\quad {\mbox{かつ}}\quad G_{R}\to 1\,.} 周波数が非常に小さくなると（ω → 0
G C → 1 そして G R → 0 。 {\displaystyle G_{C}\to 1\quad {\mbox{かつ}}\quad G_{R}\to 0\,.}
ハイパスフィルターまたはローパスフィルターとして動作する これらの極端な周波数における動作から、出力がコンデンサの両端にある場合、高周波は減衰され、低周波は通過するため、このような回路構成はローパスフィルタ ハイパスフィルタ
カットオフ周波数 フィルタが通過させる周波数範囲を帯域幅 と呼びます。フィルタが信号をフィルタリング前の電力の半分に減衰させる周波数をカットオフ周波数 と呼びます。これは、回路のゲインを下げて
G C = G R = 1 2 {\displaystyle G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}} 上記の式を解くと、
ω c = 1 R C または f c = 1 2 π R C \displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{RC}}\quad {\mbox{または}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {1}{2\pi RC}}} これは、フィルターが元の電力の半分に減衰させる周波数です。
段階 位相角は
ϕ C = ∠ H C （ j ω ） = タン − 1 （ − ω R C ） {\displaystyle \phi _{C}=\angle H_{C}(j\omega )=\tan ^{-1}\left(-\omega RC\right)} そして
ϕ R = ∠ H R （ j ω ） = タン − 1 （ 1 ω R C ） 。 {\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\omega RC}}\right)\,.} ω → 0 の
ϕ C → 0 そして ϕ R → 90 ∘ = π 2 ラジアン 。 {\displaystyle \phi _{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.} ω → ∞ の
ϕ C → − 90 ∘ = − π 2 ラジアン そして ϕ R → 0 。 {\displaystyle \phi _{C}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.} 出力信号の入力信号に対する位相シフトは周波数に依存しますが、一般的にはゲインの変化ほど興味深いものではありません。直流 （0 Hz ）では、コンデンサ電圧は入力信号電圧と同相ですが、抵抗電圧は90°進んでいます。周波数が高くなるにつれて、コンデンサ電圧は入力信号に対して90°遅れになり、抵抗電圧は入力信号と同相になります。
フェーザ表現 ゲイン式と位相式を組み合わせると、出力を表す以下のフェーザ式が得られます。
V C = G C V 私 n e j ϕ C V R = G R V 私 n e j ϕ R 。 {\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}&=G_{C}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{C}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\,.\end{aligned}}}
衝動反応 直列RC回路のインパルス応答 各電圧に対するインパルス応答は、対応する伝達関数の逆ラプラス変換です。これ は、インパルスまたは ディラックのデルタ関数 からなる入力電圧に対する回路の応答を表します。
コンデンサ電圧のインパルス応答は
h C （ t ） = 1 R C e − t R C u （ t ） = 1 τ e − t τ u （ t ） 、 {\displaystyle h_{C}(t)={\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,} ここで、u ( t )ヘヴィサイド階段関数 であり、τ = RC は時定数 である。
同様に、抵抗電圧のインパルス応答は
h R （ t ） = δ （ t ） − 1 R C e − t R C u （ t ） = δ （ t ） − 1 τ e − t τ u （ t ） 、 {\displaystyle h_{R}(t)=\delta (t)-{\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,} ここで、δ ( t )はディラックのデルタ関数 である。
時間領域に関する考察 このセクションは、ラプラス変換 の知識を前提としています。時間領域における挙動を導出する最も簡単な方法は、上記のV C V R ラプラス変換を用いることです。 ステップ入力 （つまり、t = 0 の直前はV in = 0 、その後はV in = V 1
V 私 n （ s ） = V 1 ⋅ 1 s V C （ s ） = V 1 ⋅ 1 1 + s R C ⋅ 1 s V R （ s ） = V 1 ⋅ s R C 1 + s R C ⋅ 1 s 。 {\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V_{1}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{C}(s)&=V_{1}\cdot {\frac {1}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V_{1}\cdot {\frac {sRC}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}} コンデンサの電圧ステップ応答。 抵抗器の電圧ステップ応答。 部分分数 展開と逆ラプラス変換 により、次の式が得られます。
V C （ t ） = V 1 ⋅ （ 1 − e − t R C ） V R （ t ） = V 1 ⋅ （ e − t R C ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}(t)&=V_{1}\cdot \left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)\\V_{R}(t)&=V_{1}\cdot \left(e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)\,.\end{aligned}}} これらの式は、コンデンサが充電され ているときのコンデンサと抵抗器にかかる電圧をそれぞれ計算するためのものです。放電の場合は、式は逆になります。これらの式は、C = Q / V および V = IR の オームの法則 を参照）を使用して、電荷と電流の観点から書き直すことが
したがって、図に示すように、時間の経過とともにコンデンサの両端の電圧はV1に 近づき、抵抗の両端の電圧は0に近づきます。これは、時間の経過とともにコンデンサが電源電圧から充電され、最終的に完全に充電されるという直感的な理解と一致しています。
RC 、 V C とV R が最終値から 1 / e 以内の範囲 RC V 1 ·(1 − 1 / e ) まで上昇する時間、または抵抗の両端の電圧がV 1 ·( 1 / e ) まで低下する時間です 。 このRC 時定数は 、 タウ ( τ ) という
変化率はτ あたり1 − 1 / e の 分数 です 。したがって、 t = Nτから t = ( N + 1) τ t = Nτ のときのレベルから最終値に向かって約 63.2% 移動します。そのため、コンデンサはτ 後に約 63.2% まで充電され、約5 τ tとともに V から0 に向かって指数関数的に低下します。コンデンサはτ 後に約 36.8% まで放電され、約5 τ Iは、 オームの法則 により、抵抗の両端の電圧と同様の挙動を示すことに注意してください。
これらの結果は、回路を記述する微分方程式 を解くことによっても導き出すことができる。
V 私 n − V C R = C d V C d t V R = V 私 n − V C 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {V_{\mathrm {in} }-V_{C}}{R}}&=C{\frac {dV_{C}}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{C}\,.\end{aligned}}} 最初の式は積分因子 を用いることで解け、2番目の式も容易に導出できる。得られた解はラプラス変換によって得られた解と全く同じである。
インテグレーター 高周波 におけるコンデンサの両端の出力について考えてみましょう。
ω ≫ 1 R C 。 {\displaystyle \omega \gg {\frac {1}{RC}}\,.} これは、コンデンサが充電されるのに十分な時間がないため、その電圧が非常に小さいことを意味します。したがって、入力電圧は抵抗の両端の電圧とほぼ等しくなります。これを確認するには、次の式を考えてください。私 {\displaystyle I}
私 = V 私 n R + 1 j ω C 、 {\displaystyle I={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R+{\frac {1}{j\omega C}}}}\,,} ただし、ここで説明した周波数条件は、
ω C ≫ 1 R 、 {\displaystyle \omega C\gg {\frac {1}{R}}\,,} それで
私 ≈ V 私 n R {\displaystyle I\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}} これはまさにオームの法則 です。
今、
V C = 1 C ∫ 0 t 私 d t 、 {\displaystyle V_{C}={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I\,dt\,,} それで
V C ≈ 1 R C ∫ 0 t V 私 n d t 。 {\displaystyle V_{C}\approx {\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}V_{\mathrm {in} }\,dt\,.} したがって、高周波においては、コンデンサにかかる 電圧は入力電圧の積分器 のようにほぼ作用する。
差別化要因 低 周波数での抵抗器の両端の出力について考えてみましょう。
ω 〜 1 R C 。 {\displaystyle \omega \ll {\frac {1}{RC}}\,.} これは、コンデンサの電圧が電源の電圧とほぼ等しくなるまで充電される時間があることを意味します。I の式をもう一度考えると 、
R 〜 1 ω C 、 {\displaystyle R\ll {\frac {1}{\omega C}}\,,} それで
私 ≈ V 私 n 1 j ω C V 私 n ≈ 私 j ω C = V C 。 {\displaystyle {\begin{aligned}I&\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{\frac {1}{j\omega C}}}\\V_{\mathrm {in} }&\approx {\frac {I}{j\omega C}}=V_{C}\,.\end{aligned}}} 今、
V R = 私 R = C d V C d t R V R ≈ R C d V 私 n d t 。 {\displaystyle {\begin{aligned}V_{R}&=IR=C{\frac {dV_{C}}{dt}}R\\V_{R}&\approx RC{\frac {dV_{in}}{dt}}\,.\end{aligned}}} したがって、低周波数においては、抵抗器にかかる 電圧は入力電圧の微分器 のようにほぼ作用する。
積分 と微分は、 演算増幅器の入力ループと フィードバック ループに適切な抵抗器とコンデンサを配置することによっても実現できます（演算増幅器積分器 演算増幅器微分器を
並列回路 並列 RC回路並列RC回路は、一般的に直列RC回路ほど注目されることはない。これは主に、出力電圧Vout が Vinと 等しい
複素インピーダンスの場合：
私 R = V 私 n R 私 C = j ω C V 私 n 。 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=j\omega CV_{\mathrm {in} }\,.\end{aligned}}} これは、コンデンサ電流が抵抗（および電源）電流と90°位相がずれていることを示しています。あるいは、支配微分方程式を使用することもできます。
私 R = V 私 n R 私 C = C d V 私 n d t 。 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=C{\frac {dV_{\mathrm {in} }}{dt}}\,.\end{aligned}}} 電流源によって駆動される並列RC回路の伝達関数は次のようになります。
V o u t 私 私 n = R 1 + s R C 。 {\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {out} }}{I_{\mathrm {in} }}}={\frac {R}{1+sRC}}\,.}
合成 与えられた 有理関数 からRC回路を合成する 必要がある場合がある。受動素子で合成を行うためには、関数は正の実数関数 でなければならない。RC回路として合成するには、すべての臨界周波数（極と零点 ）が負の実軸上にあり、極と零点が等数で交互に現れる必要がある。さらに、有理関数がアドミタンスではなくインピーダンスを表すと仮定すると、原点に最も近い臨界周波数は極でなければならない。
LC回路の 合成に使用されるフォスター合成 またはカウアー合成 の修正により合成が実現できる。カウアー合成の場合、抵抗とコンデンサのラダーネットワークが 生成される。[ 3 ]
関連項目 V rms = k B T C 。 {\displaystyle V_{\text{rms}}={\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}.}
参考文献 ↑ ホロウィッツ＆ヒル、p. 1.13。 ↑ ハンクス、アン; ルッターモーザー、ドナルド。「一般物理学 II 実験 (PHYS-2021) 実験 ELEC-5: RC 回路」(PDF) 。 ↑ バクシ＆バクシ、3-30～3-37ページ
参考文献 Bakshi, UA; Bakshi, AV、『回路解析 - II』 、テクニカルパブリケーションズ、2009年ISBN 9788184315974 。 ホロウィッツ、ポール、ヒル、ウィンフィールド、『電子工学の芸術 』（第3版）、ケンブリッジ大学出版局、2015年ISBN 0521809266 。
