シンクフィルタ

信号処理において、sinc フィルターは、インパルス応答がsinc 関数で周波数応答が矩形であるsinc-in-time フィルター、またはインパルス応答が矩形で周波数応答が sinc 関数であるsinc-in-freqフィルターのいずれかを指します。フィルターが sinc に似ているドメインに従ってこれらを呼び出すと、混乱を避けることができます。ドメインが指定されていない場合は、多くの場合、sinc-in-time であると想定されますが、コンテキストから正しいドメインを推測できる場合もあります。

シンクインタイムは、特定のカットオフ周波数を超えるすべての周波数成分を除去し、低い周波数を減衰させずに、線形位相応答を持つ理想的なフィルタです。したがって、ブリックウォールフィルタまたは長方形フィルタと考えることができます。

そのインパルス応答は時間領域におけるsinc関数である。

$${\displaystyle {\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}}$$

周波数応答は矩形関数です。

${\displaystyle H(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B}}\right)={\begin{cases}0,&{\text{if }}|f|>B,\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}|f|=B,\\1,&{\text{if }}|f|<B,\end{cases}}}$

ここで、（帯域幅を表す）は任意のカットオフ周波数です。 ${\displaystyle B}$

インパルス応答は、周波数応答の 逆フーリエ変換によって与えられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}h(t)={\mathcal {F}}^{-1}\{H(f)\}&=\int _{-B}^{B}\exp(2\pi ift)\,df\\&=2B\operatorname {sinc} (2Bt)\end{aligned}}}$

ここで、sinc は正規化されたsinc 関数です。

通過帯域で完全に透過し、阻止帯域で完全に減衰し、急激な遷移を持つ理想的な電子フィルタは、俗に「ブリックウォール フィルタ」と呼ばれます (伝達関数の形状を参照)。 sinc-in-time フィルタはブリックウォールローパス フィルタであり、これを基にブリックウォールバンドパス フィルタとハイパス フィルタを簡単に構築できます。

周波数B _Lでブリックウォールカットオフを持つローパスフィルタのインパルス応答と伝達関数は次のように表されます。

${\displaystyle h_{LPF}(t)=2B_{L}\operatorname {sinc} \left(2B_{L}t\right)}$

${\displaystyle H_{LPF}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{L}}}\right).}$

下側バンドエッジB _Lと上側バンドエッジB _Hを持つバンドパスフィルタは、このような2つのsinc-in-timeフィルタの差に過ぎません（フィルタはゼロ位相なので、振幅応答は直接減算されます）。^[1]

${\displaystyle h_{BPF}(t)=2B_{H}\operatorname {sinc} \left(2B_{H}t\right)-2B_{L}\operatorname {sinc} \left(2B_{L}t\right)}$

${\displaystyle H_{BPF}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{H}}}\right)-\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{L}}}\right).}$

バンドエッジB _Hが低いハイパス フィルタは、単に sinc-in-time フィルタを除いた透過フィルタであり、これにより、ディラックのデルタ関数が狭い時間幅の sinc-in-time フィルタの限界であることが明確になります。

${\displaystyle h_{HPF}(t)=\delta (t)-2B_{H}\operatorname {sinc} \left(2B_{H}t\right)}$

${\displaystyle H_{HPF}(f)=1-\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{H}}}\right).}$

sinc-in-time フィルタは、正と負の両方向の時間方向で無限のインパルス応答を持つため、非因果的であり、無限の遅延（つまり、周波数領域でのコンパクトなサポートにより、時間応答がコンパクトなサポートを持たないように強制され、それが永続的であることを意味する）と無限の順序（つまり、応答を有限和の線形微分方程式として表現できない）を持ちます。ただし、サンプリング定理やWhittaker–Shannon 補間式などの概念的なデモンストレーションや証明では使用されます。

シンクインタイム フィルタは、現実世界 (非抽象的) のアプリケーションでは、通常は理想的なシンクインタイム フィルタカーネルをウィンドウ化して切り捨てることによって近似する必要がありますが、そうすることで理想的な特性が低下します。これは、シンクインタイム フィルタを使用して構築された他のブリックウォール フィルタにも当てはまります。

sinc フィルターは、有界入力有界出力 (BIBO) 安定ではありません。つまり、sinc 関数の絶対値の積分は無限大なので、有界入力は無界出力を生成する可能性があります。無界出力を生成する有界入力は sgn(sinc( t )) です。もう 1 つは sin(2 π Bt ) u ( t )で、これはカットオフ周波数で時間 0 から始まる正弦波です。

最も単純な周波数同期フィルタの実装では、ボックスカーインパルス応答を使用して、単純な移動平均(特にサンプル数で割る場合) を生成します。これは、累積ダンプ フィルタとも呼ばれます (特に、除算せずに単純に合計する場合)。これは、すべての係数が等しい FIR フィルタとしてモデル化できます。高次の移動平均を生成するためにカスケード接続されることもあります ( 「有限インパルス応答」の「移動平均の例」と「カスケード接続された積分器 - くし形フィルタ」を参照)。 ${\displaystyle N}$

このフィルタは、粗雑だが高速で簡単なダウンサンプリング（デシメーションとも言う）に使用できる。フィルタの単純さ（データサンプルを蓄積し、アキュムレータの結果を出力し、アキュムレータをゼロにして繰り返す）は、その平凡なローパス機能によって台無しになっている。ストップバンドでの減衰が最も悪いのは-13.3 dB ^[2]で、ほとんどの高周波成分はそれよりもわずかに減衰するだけである。任意にサンプリングされた-サンプルフィルタは、 DCから${\displaystyle N.}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f_{S}}$${\textstyle {\frac {f_{S}}{2N}}}$${\textstyle {\frac {f_{S}}{2N}}.}$

サンプルを処理するグループ平均化フィルタには、最低のゼロが で、最高のゼロが（ナイキスト周波数）で、等間隔に置かれた透過ゼロがあります。ナイキスト周波数より上では、周波数応答はミラーリングされ、その後、上記で周期的に永久に繰り返されます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle {\tfrac {N}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {f_{S}}{N}},}$${\displaystyle {\tfrac {f_{S}}{N}}}$${\displaystyle {\tfrac {f_{S}}{2}}}$${\displaystyle f_{S}}$

周波数応答の大きさ（これらのグラフにプロットされている）は、周波数がどの程度減衰するかを知りたいときに役立ちます。sinc 関数は実際には負の値と正の値の間を振動しますが、周波数応答の負の値は単に 180 度の位相シフトに対応します。

逆sincフィルタは、デジタル領域（FIRフィルタなど）またはアナログ領域（オペアンプフィルタなど）での等化に使用され、対象周波数帯域における不要な減衰を打ち消して、平坦な周波数応答を提供します。^[3]

最も単純なウィンドウ関数としての sinc カーネルの適用については、 ウィンドウ関数 § 長方形ウィンドウを参照してください。

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