電子フィルタのトポロジー

ローパス多重帰還トポロジー回路の伝達関数は、すべての2次ローパス線形フィルタと同様に、次のようになります。

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{o}}{V_{i}}}=-{\frac {1}{As^{2}+Bs+C}}={\frac {K{\omega _{n}}^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega _{n}}{Q}}s+{\omega _{n}}^{2}}}}$。

MFローパスフィルタでは、

${\displaystyle A=R_{1}R_{3}C_{2}C_{5}\,}$

${\displaystyle B=R_{3}C_{5}+R_{1}C_{5}+R_{1}R_{3}C_{5}/R_{4}\,}$

${\displaystyle C=R_{1}/R_{4}\,}$

${\displaystyle Q={\frac {\sqrt {R_{3}R_{4}C_{2}C_{5}}}{(R_{4}+R_{3}+|K|R_{3})C_{5}}}}$品質要因です。

${\displaystyle K=-R_{4}/R_{1}\,}$DC電圧ゲインは

${\displaystyle \omega _{n}=2\pi f_{n}={\frac {1}{\sqrt {R_{3}R_{4}C_{2}C_{5}}}}}$は固有振動数です

そして、${\displaystyle Q>={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle \omega _{c}=\omega _{n}{\sqrt {1-1/(2Q^{2})+{\sqrt {2-1/Q^{2}+1/(4Q^{4})}}}}}$カットオフ周波数は

${\displaystyle \omega _{r}=2\pi f_{r}=\omega _{n}{\sqrt {1-{\frac {1}{2Q^{2}}}}}}$共振周波数は

${\displaystyle M_{r}={\frac {2Q^{2}}{\sqrt {4Q^{2}-1}}}}$ゲインは共振点で最大になる。

上記の回路図においてRとCを入れ替えた場合、すべての2次ハイパス線形フィルタと同様に、ハイパス多重帰還トポロジ回路の伝達関数は次のようになります。

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{o}}{V_{i}}}=-{\frac {s^{2}}{As^{2}+Bs+C}}={\frac {Ks^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega _{n}}{Q}}s+{\omega _{n}}^{2}}}}$。

MFハイパスフィルタにおいて、スカラーゲイン係数Kを無視すると：

${\displaystyle A=1\,}$

${\displaystyle B={\frac {C_{1}+C_{3}+C_{4}}{R_{5}C_{3}C_{4}}}\,}$

${\displaystyle C={\frac {1}{R_{2}R_{5}C_{3}C_{4}}}\,}$

${\displaystyle Q={\frac {\sqrt {C_{3}C_{4}R_{2}R_{5}}}{(C_{4}+C_{3}+|K|C_{3})R_{5}}}}$品質要因

${\displaystyle K=-C_{1}/C_{4}\,}$高周波電圧利得は

${\displaystyle \omega _{n}=2\pi f_{n}={\frac {1}{\sqrt {C_{3}C_{4}R_{2}R_{5}}}}}$は固有振動数です

そしてまた、${\displaystyle Q>={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle \omega _{c}=2\pi f_{c}={\frac {w_{n}}{\sqrt {1-1/(2Q^{2})+{\sqrt {2-1/Q^{2}+1/(4Q^{4})}}}}}}$カットオフ周波数は

${\displaystyle \omega _{r}=2\pi f_{r}={\frac {\omega _{n}}{\sqrt {1-{\frac {1}{2Q^{2}}}}}}}$共振周波数は

${\displaystyle M_{r}={\frac {2Q^{2}}{\sqrt {4Q^{2}-1}}}}$ゲインは共振点で最大になる。

バンドパス多重帰還トポロジー回路の伝達関数は、すべての2次バンドパス線形フィルタと同様に、次のようになります。

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{o}}{V_{i}}}=-{\frac {s}{As^{2}+Bs+C}}={\frac {K\omega _{bw}s}{s^{2}+\omega _{bw}s+\omega _{c}^{2}}}}$、 どこ

$\displaystyle \omega _{c}}$は中心周波数です。

${\displaystyle \omega _{bw}}$は-3 dBポイントにおけるフィルタ帯域幅であり、

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{c}}{\omega _{bw}}}}$品質要因は

コンデンサCが等しいMFバンドパスフィルタの場合：

${\displaystyle K\omega _{bw}=-{\frac {1}{R_{1}C}}}$

${\displaystyle A=1}$

${\displaystyle B={\frac {2C}{R_{3}}}}$

${\displaystyle C={\frac {1}{(R_{1}||R_{2})R_{3}C^{2}}}}$

これは2次フィルタですが、2つの極を持つため、中心周波数の両側の減衰率は12 dB/オクターブではなく6 dB/オクターブとなります。これは、任意の周波数においてアクティブになる極が1つだけであるためです。

この構成は狭帯域バンドパスフィルタにのみ適しています。平坦な通過帯域を持つ広帯域バンドパスフィルタの場合は、ローパスフィルタとハイパスフィルタを直列に接続する必要があります。

所望のフィルタ特性を実現するための適切な部品値を見つけるには、代替サレン・キー・トポロジーの設計選択のセクションで説明したのと同様のアプローチを採用できます。

例えば、図1に示す基本構成は、出力信号の取得元に応じて、ローパスフィルタとしてもバンドパスフィルタとしても使用できる。

2次低域通過伝達関数は次のように与えられる。

${\displaystyle H(s)={\frac {G_{\mathrm {lpf} }{\omega _{0}}^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega _{0}}{Q}}s+{\omega _{0}}^{2}}}}$

ローパスゲイン${\displaystyle G_{\mathrm {lpf} }=-R_{2}/R_{1}}$2次バンドパス伝達関数は次のように与えられる。

${\displaystyle H(s)={\frac {G_{\mathrm {bpf} }{\frac {\omega _{0}}{Q}}s}{s^{2}+{\frac {\omega _{0}}{Q}}s+{\omega _{0}}^{2}}}}$。

バンドパスゲイン付き${\displaystyle G_{\mathrm {bpf} }=-R_{3}/R_{1}}$どちらの場合も、

• 固有振動数は $\displaystyle \omega _{0}=1/{\sqrt {R_{2}R_{4}C_{1}C_{2}}}}$。
• 品質係数は ${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {{R_{3}}^{2}C_{1}}{R_{2}R_{4}C_{2}}}}}$。

帯域幅は次のように近似されます。${\displaystyle B=\omega _{0}/Q}$、Qは減衰定数として表されることもある。${\displaystyle \zeta =1/2Q}$非反転ローパスフィルタが必要な場合は、第2積分器とインバータの次数を入れ替えた後、第2演算増幅器の出力から出力を取得すればよい。非反転バンドパスフィルタが必要な場合は、第2積分器とインバータの次数を入れ替え、インバータの演算増幅器の出力から出力を取得すればよい。

図2は、アクティブ補償型ミラー積分器を使用することでフィルタ性能を向上させる、アケルバーグ・モスバーグ・トポロジーとして知られる、トウ・トーマス・トポロジーの変形を示しています。