小さな立方八面体

幾何学において、小立方八面体は均一な星型多面体であり、U ₁₃でインデックス付けされている。20 の面（8 つの三角形、6 つの正方形、6 つの八角形）、48 の辺、24 の頂点を持つ。^[1]その頂点図形は交差した四辺形である。

小型立方立方八面体は、菱形立方八面体を面分割したものである。正方形の面と八角形の面は立方体の面と平行であり、三角形の面は八面体の面と平行であるため、立方立方八面体という名前が付けられている。接尾辞の「小」は、同じく同じ方向に面を持つ大型立方立方八面体と区別するために付けられている。^[2]

頂点の配置は星型切頂六面体と同じです。また、辺の配置は菱形八面体（三角形の面と 6 つの正方形の面を共有）および小菱形六面体（八角形の面を共有）と同じです。

オイラー特性が示唆するように、小型立方立方八面体は種数 3 のドーナツ型多面体(位相的には種数 3 の面) であり、したがって、24 個の頂点の補集合における種数 3 の多面体面の (多面体)浸漬として解釈できます。 (任意の頂点の近傍は位相的には 8 の字上の円錐であり、浸漬では発生しません。Richter の参考文献ではこの事実が見落とされていることに注意してください。) 基礎となる多面体 (自己交差は無視) は、この面の均一なタイリングを定義するため、小型立方立方八面体は均一な多面体です。抽象多面体の言語では、小さな立方立方八面体は、この抽象的な環状多面体の忠実な実現であり、非退化多面体であり、同じ対称群を持つことを意味します。実際、このタイリングによる抽象的な種数 3 の表面のすべての自己同型は、ユークリッド空間の等長変換によって実現されます。

より高い種数の曲面（種数 2 以上）は、負の定曲率の計量（均一化定理による）を許容し、結果として得られるリーマン面の普遍被覆は双曲面です。双曲面の対応するタイリングは、頂点図 3.8.4.8（三角形、八角形、正方形、八角形）を持ちます。曲率 = −1 の適切な計量が曲率に与えられた場合、被覆マップは局所等長変換であり、したがって抽象的な頂点図は同じです。このタイリングは、ウィトフ記号3 4 | 4で表され、右側に示されています。

あるいは、より巧妙な方法として、各正方形の面を 2 つの三角形に、各八角形の面を 6 つの三角形に分割することで、小さな立方立方八面体は、種数 3 の曲面の組み合わせ的に規則的な（単に均一なだけではない）タイリングを、それぞれ次数 7 の 24 の頂点で交わる 56 の正三角形で非規則的に彩色したものとして解釈できます^。[3]この規則的なタイリングは、最も対称的な計量を持つ種数 3 の曲面であるクラインの四次式のタイリングであるため重要です（このタイリングの自己同型は曲面の等長変換に等しい）。また、この曲面の向きを保存する自己同型群は、射影特殊線型群PSL(2,7) と同型であり、GL(3,2) と同型です（向きを保存するすべての等長変換の順序 168 の群）。小さな立方八面体は、この抽象多面体の実現ではないことに注意してください。なぜなら、この立方八面体には、方向を保存する対称性が 24 個しかないからです (すべての抽象自己同型がユークリッド等長写像によって実現されるわけではありません)。小さな立方八面体の等長写像は、三角形のタイリングだけでなく、色付けも保存するため、完全な等長写像群の適切な部分群になります。

対応する双曲面のタイリング（普遍被覆）は、次数 7 の三角形タイリングである。クラインの四次式の自己同型群は、（多面体の対称性では実現されない対称性、すなわち「正方形と八面体を二等分する辺の 2 つの端点を交換する」ことによって）拡張され、マシュー群M _{24 を}生成することができる。^[4]

• 5つの小さな立方八面体の複合体
• 均一多面体の一覧

• Weisstein, Eric W.、「小さな立方八面体」（「均一な多面体」）、MathWorldにて。