7次三角形タイル

幾何学において、7 次三角形のタイリングは、シュレーフリ記号{3,7} を持つ双曲平面の規則的なタイリングです。

タイル張りの対称群は(2,3,7) 三角形群であり、この作用の基本領域は (2,3,7)シュワルツ三角形です。これは最小の双曲シュワルツ三角形であるため、フルヴィッツの自己同型定理の証明により、タイル張りはすべてのフルヴィッツ面(最大対称群を持つリーマン面)をカバーする普遍タイル張りとなり、それらの対称群がリーマン面としての自己同型群に等しい三角形分割を与えます。

これらのうち最小のものは、最も対称性の高い種数3の曲面であるクラインの四次曲面であり、24の頂点で交わる56の三角形によるタイリングを伴い、対称群はPSL(2,7)として知られる168次の単純群である。結果として得られる曲面は、今度はユークリッド3次元空間に多面体として浸漬することができ、小さな立方立方八面体を生み出す。^[1]

双対3 次七角形タイリングは同じ対称群を持ち、したがって Hurwitz 面の七角形タイリングが生成されます。

これは、同じ頂点配置による 2 つの星型タイリング、つまり、順序 7 のヘプタグラム型タイリング({7/2,7}) と、ヘプタグラム型順序の七角形タイリング({7,7/2}) に関連しています。

このタイリングは、 Schläfli記号{3,p}を持つ正多面体の列の一部として位相的に関連付けられています。

このタイリングは正規列{ n ,7}の一部です。

ウィトフ構造からは、正七角形タイリングに基づくことができる 8 つの双曲均一タイリングが存在します。

タイルを、元の面には赤、元の頂点には黄色、元の辺には青で描くと、8 つの形になります。

ウィキメディア・コモンズには、オーダー 7 の三角形タイリングに関連するメディアがあります。

• 7次四面体ハニカム
• 正多面体の一覧
• 均一平面タイリングのリスト
• 正多角形のタイル張り
• 三角形のタイル
• 双曲面上の均一なタイリング

• Weisstein、Eric W.「双曲型タイル張り」。MathWorld。
• Weisstein, Eric W.「ポアンカレ双曲面ディスク」。MathWorld。
• 双曲面と球面のタイルギャラリー
• KaleidoTile 3: 球面、平面、双曲面のタイルを作成する教育用ソフトウェア
• 双曲平面モザイク、ドン・ハッチ