カスプ地区

数学では、カスプ近傍はカスプ特異点の近くにある点の集合として定義されます。^[1]

双曲型リーマン面のカスプ近傍は、そのフックスモデルによって定義することができる。^[2]

フックス群 Gに放物線元gが含まれているとします。例えば、元t∈SL (2, Z )で

${\displaystyle t(z)={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}:z={\frac {1\cdot z+1}{0\cdot z+1}}=z+ 1}$

は放物線要素です。SL(2, C ) のすべての放物線要素はこの要素と共役であることに注意してください。つまり、g ∈ SL(2, Z ) が放物線である場合、あるh ∈ SL(2, Z ) に対して放物線要素が成り立ちます。 ${\displaystyle g=h^{-1}th}$

セット

${\displaystyle U=\{z\in \mathbf {H} :\Im z>1\}}$

ここでHは上半平面であり、

${\displaystyle \gamma (U)\cap U=\emptyset }$

はgによって生成される群を意味すると理解される。つまり、 γ は U に対して適切に不連続に作用する。このため、UのH / Gへの射影は次のように 表されることがわかる。${\displaystyle \gamma \in G-\langle g\rangle }$${\displaystyle \langle g\rangle }$

${\displaystyle E=U/\langle g\rangle }$。

ここで、E はg に対応する尖点の近傍と呼ばれます。

標準ポアンカレ計量を用いて計算すると、 Eの双曲面積はちょうど1になることに注意してください。これは例で最も簡単にわかります。上で定義したUと基本領域

${\displaystyle \left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|<{\frac {1}{2}}\right\}}$

モジュラー群のTを放物線要素として選択するのに適切である。体積要素

${\displaystyle d\mu ={\frac {dxdy}{y^{2}}}}$

結果は当然 1 です。共役の下での面積の不変性により、すべてのカスプ近傍の面積はこれに等しくなります。

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