曲線複合体

数学において、曲線複体とは、有限型曲面Sに関連付けられた単体複体 C ( S )であり、 S上の 単純閉曲線の組合せ論をエンコードします。曲線複体は、タイヒミュラー空間の幾何学、写像類群、およびクライン群の研究における基本的なツールであることが判明しました。これは、1978年に WJHarvey によって導入されました。

を有限型の連結有向面とします。より具体的には、を境界成分と穴を持つ種数の連結有向面とします。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S=S_{g,b,n}}$${\displaystyle g\geq 0}$${\displaystyle b\geq 0}$${\displaystyle n\geq 0}$

曲線複体は 次のように定義される単体複体である: ^[1]${\displaystyle C(S)}$

• 頂点は、上の本質的（ホモトピー的に自明でも周辺でもない）単純閉曲線の自由ホモトピー類です。${\displaystyle S}$
• が の異なる頂点を表す場合、それらが互いに素になるようにホモト化できるときに限り、それらは単体を張る。${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$${\displaystyle C(S)}$

複雑度の低い表面（本質的にはトーラス、穴あきトーラス、4 つの穴のある球）の場合、上記の定義により、曲線複素数には無限個の連結成分が存在します。対応する曲線の交差数が最小である場合、頂点を結合することで、代替のより有用な定義を与えることができます。この代替定義により、結果として得られる複素数は、ファレイ グラフと同型になります。

が境界要素を持つ種数のコンパクト曲面である場合、の次元は に等しくなります。以下では、 と仮定します。曲線の複素数は決して局所的に有限ではありません (つまり、すべての頂点には無限の数の隣接点があります)。Hare の結果^{[2]は、 が球の}くさび和とホモトピー的に同値であることを主張しています。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle g}$${\displaystyle b}$${\displaystyle C(S)}$${\displaystyle \xi (S)=3g-3+b}$${\displaystyle \xi (S)\geq 2}$${\displaystyle C(S)}$

の1次元スケルトン上の組み合わせ距離は、面上の単純閉曲線の交差数と関係があり、これは同位体類における2つの曲線の交差の最小数である。例えば^[3]${\displaystyle C(S)}$

${\displaystyle d_{S}(\alpha ,\beta )\leq 2\log _{2}(i(\alpha ,\beta ))+2}$

任意の2つの互いに素な単純閉曲線に対して。逆方向で比較することもできますが、結果ははるかに微妙であり（たとえば、与えられた曲面に対しても一様な下限値は存在しません）、証明するのが難しくなります。^[4]${\displaystyle \alpha ,\beta }$

マズアとミンスキー^[5]は曲線の複体がグロモフ双曲空間であることを証明した。その後、様々な著者による研究により、この事実の別の証明と双曲性に関するより良い情報が得られた。^{[4] [6]}

写像類群は自然な方法で複体に対して作用します。写像類群は頂点に対して作用し、これは完全な複体に対する作用に拡張されます。この作用により写像類群の多くの興味深い性質を証明することができます。^[7]${\displaystyle S}$${\displaystyle C(S)}$${\displaystyle \phi \cdot \alpha =\phi _{*}\alpha }$

写像類群自体は双曲群ではないが、双曲群であるという事実はその構造と幾何学に影響を及ぼしている。^{[8] [9]}${\displaystyle C(S)}$

タイヒミュラー空間から曲線複体への自然な写像があり、これは顕著な双曲構造を、最小の長さ (シストール) を実現する閉曲線の集合に持ち込みます。これにより、後者の特定の幾何学的特性を読み取ることができ、特に、タイヒミュラー空間自体は双曲的ではないものの、双曲性の特定の特徴を保持しているという経験的事実を説明します。

の単体は、ハンドルボディへの の「充填」を決定します。 の 2 つの単体を選択すると、3 次元多様体のHeegaard 分割が決定され、 ^[10] Heegaard 図 (2 つのハンドルボディのそれぞれに対して、互いに交わらない単純な閉曲線の境界円の最大システム) という追加データも得られます。 Heegaard 分割のいくつかの特性は、単体の相対的な位置から非常に効率的に読み取ることができます。 ${\displaystyle C(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle C(S)}$

• 分割が簡約可能であるのは、共通の頂点を持つ単体によって表される図式を持つ場合のみである。
• 分割が弱還元可能であるのは、それが辺で結ばれた単体によって表現される図式を持つ場合のみです。

一般に、分割のダイアグラムを表す単体間の最小距離は、位相と幾何学（多様体の幾何学化予想の意味で）に関する情報を与えることができ、逆もまた同様である。^[10]指針となる原則は、ヒーガード分割の最小距離が多様体の複雑さの尺度であるということである。^[11]

前段落の哲学の特別なケースとして、曲線複体の幾何学は、双曲的3次元多様体の組み合わせ論的性質と幾何学的性質を結び付ける重要なツールであり、したがってクライン群の研究に役立つツールである。^[12]例えば、それは終結積層予想の証明に使用されている。^{[13] [14]}

ランダム3次元多様体の可能なモデルは、ランダムヒーガード分割をとることである。^[15]このモデルが双曲的であることの証明は、ほぼ確実に（ある意味で）曲線の複体の幾何学を使用する。^[16]

• Harvey, WJ (1981)。「モジュラー群の境界構造」。 リーマン面と関連トピック。1978 年ストーニーブルック会議議事録。1981 年。
• Bowditch, Brian H. (2006). 「交差数と曲線複体の双曲性」J. Reine Angew. 数学. 598 : 105–129. MR  2270568.
• ヘンペル、ジョン (2001)。 「曲線複体から見た 3 次元多様体」。 トポロジー。40 ( 3 ) : 631–657。arXiv : math/9712220。doi : 10.1016/s0040-9383(00)00033-1。MR 1838999。S2CID 16532184  。
• イワノフ、ニコライ(1992)。タイヒミュラー モジュラー群の部分群。アメリカ数学会。
• Masur, Howard A.; Minsky, Yair N. (1999). 「曲線の複合体の幾何学。I. 双曲性」。Invent . Math . 138 (1): 103–149. arXiv : math/9804098 . Bibcode :1999InMat.138..103M. doi :10.1007/s002220050343. MR  1714338. S2CID  16199015.
• Schleimer, Saul (2006) 「曲線の複合体に関する注記」(PDF)。
• ベンソン・ファーブとダン・マーガリット、「クラス群のマッピング入門」。プリンストン数学シリーズ、49。プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー州、2012年。ISBN 978-0-691-14794-9