結び目理論の歴史

結び目は、情報の記録、物体の固定や結束などの基本的な目的に何千年もの間使用されてきました。結び目理論における初期の重要な刺激は、後にウィリアム・トムソン卿（ケルビン卿）と彼の原子の渦理論によってもたらされました。

登山や航海など、目的に応じて適した結び目は異なります。結び目は、美的性質に加えて、精神的、宗教的な象徴性を持つとも考えられていました。エンドレスノットはチベット仏教に登場し、ボロミオの輪はさまざまな文化に繰り返し登場し、団結を象徴することが多かったです。ケルズの書を作成したケルトの修道士たちは、複雑なケルトの結び目をページ全体に惜しみなく施しました。

結び目は、カール・フリードリヒ・ガウスによって数学的な観点から研究され、1833年に2つの結び目の連結数を計算するためのガウス連結積分を考案しました。彼の弟子で、リスティング結び目の名前の由来となったヨハン・ベネディクト・リスティングが研究をさらに進めました。

1867年、スコットランドの 物理学者 ピーター・テイトの煙の輪に関する実験を観察した後、トムソンは原子はエーテル内の渦巻きの結び目であるという考えに至った。したがって、化学元素は結び目とリンクに対応する。テイトの実験は、ヘルムホルツの非圧縮性流体の渦輪に関する論文に触発された。トムソンとテイトは、すべての可能性のある結び目を理解して分類すれば、原子が特定の波長でのみ光を吸収および放出する理由を説明できると信じていた。たとえば、トムソンは、ナトリウムは2本のスペクトル線があるため、ホップリンクである可能性があると考えた。 [ 1 ^]

その後、テイトは要素表を作成していると信じて、ユニークな結び目をリストし始めました。彼は現在、交互結び目に関するテイト予想として知られているものを定式化しました。（予想は1990年代に証明されました。）テイトの結び目表はその後、CNリトルとトーマス・カークマンによって改良されました。^{[1] ：6}

トムソンとテイトの同僚で友人であったジェームズ・クラーク・マクスウェルもまた、結び目に強い関心を抱いた。マクスウェルはリスティングの結び目に関する研究を研究し、電磁気学理論の観点からガウスの連結積分を再解釈した。彼の定式化では、この積分は、電流によって生成された磁場の影響下で連結の一方の成分に沿って移動する荷電粒子によって行われる仕事を表すものであった。マクスウェルはまた、相互作用する 3 つのリングを考慮して煙のリングの研究を続けた。

マイケルソン・モーリーの実験で光るエーテルが検出されなかったため、渦理論は完全に時代遅れとなり、結び目理論は大きな科学的関心の対象ではなくなりました。現代物理学は、離散的な波長が量子エネルギーレベルに依存することを示しています。

20世紀初頭のアンリ・ポアンカレが先導した位相幾何学の発展に続いて、マックス・デーン、JW アレクサンダー、クルト・ライデマイスターなどの位相学者が結び目を研究した。この結び目からライデマイスター移動とアレクサンダー多項式が生まれた。^{[1] : 15–45}デーンはまた、結び目を3次元多様体の一般理論に関連付けるデーン手術を開発し、単語問題などの群論におけるデーン問題を定式化した。20世紀前半の初期の先駆者には、この主題を普及させたラルフ・フォックスがいます。この初期の時期には、結び目理論は主に結び目群と結び目の補集合のホモロジー不変量に関する研究で構成されていました。

1961年、ヴォルフガング・ハーケンは結び目が自明でないかどうかを判定できるアルゴリズムを発見した。彼はまた、一般的な結び目認識問題、すなわち与えられた2つの結び目が等しいかどうかを判定する問題を解決するための戦略を概説した。1970年代初頭、フリードヘルム・ヴァルトハウゼンは、自身の結果とクラウス・ヨハンソン、ウィリアム・ヤコ、ピーター・シャレン、ジェフリー・ヘミオンらの結果に基づいてハーケンのプログラムが完了したと発表した。2003年、セルゲイ・マトヴェーエフが重要なギャップを指摘し、それを埋めた。

20 世紀後半に行われたいくつかの大きな発見により、結び目理論は大きく活性化し、主流に躍り出た。1970 年代後半、ウィリアム・サーストンの双曲化定理により、双曲 3 次元多様体理論が結び目理論に導入され、結び目理論が極めて重要になった。1982 年、サーストンは主にこの画期的な発見により、数学最高の栄誉であるフィールズ賞を受賞した。サーストンの研究は、他の研究者による多大な拡張を経て、表現論や代数幾何学のツールの効果的な使用にもつながった。その後、結び目は (鏡映を除いて) 補集合によって決定されることを示すゴードン・リュッケの定理や、スミス予想などの重要な結果が続いた。

1984年にヴォーン・ジョーンズがジョーンズ多項式を発見して以来、一般数学者コミュニティからの結び目理論への関心は著しく高まりました。これは、ブラケット多項式、HOMFLY多項式、カウフマン多項式などの他の結び目多項式につながりました。ジョーンズは、この業績により1990年にフィールズ賞を受賞しました。 ^{[1] : 71–89} 1988年にエドワード・ウィッテンは、ファインマン経路積分などの数理物理学の既存のアイデアを利用し、位相的量子場理論などの新しい概念を導入して、ジョーンズ多項式の新しい枠組みを提案しました。^[2]ウィッテンはまた、この業績の一部により1990年にフィールズ賞を受賞しました。ウィッテンのジョーンズ多項式の説明は、3次元多様体に関連する不変量を暗示していました。他の数学者による同時的だが異なったアプローチの結果、ウィッテン・レシェティキン・トゥラエフ不変量や、ウィッテン不変量の数学的に厳密なバージョンと思われるさまざまないわゆる「量子不変量」が生まれました。 ^[3] 1980年代にジョン・ホートン・コンウェイは結び目を解く手順を発見し、次第にコンウェイ記法として知られるようになりました。

1992 年に、「Journal of Knot Theory and Its Ramifications」が創刊され、純粋に結び目理論に特化したジャーナルが誕生しました。

1990年代初頭、ジョーンズ多項式とその一般化を含む結び目不変量、いわゆる有限型不変量がヴァシリエフとグサロフによって発見された。当初は「古典的な」位相的手段を用いて記述されたこれらの不変量は、1994年のフィールズ賞受賞者マキシム・コンツェビッチによって、コンツェビッチ積分を用いた特定の代数構造の積分から得られることが示された。 ^[4]

これらの画期的な発見に続いて、コバノフホモロジーや結び目フレアーホモロジーが発見され、ジョーンズ多項式やアレクサンダー多項式が大きく一般化されました。これらのホモロジー理論は、結び目理論のさらなる主流化に貢献しました。

20 世紀最後の数十年間に、科学者や数学者は、生物学や化学の問題に結び目理論を応用する方法を見つけ始めました。結び目理論は、分子がキラル(「利き手」がある) であるかどうかを判断するために使用できます。利き手の異なる化合物は大幅に異なる特性を持つ可能性があり、サリドマイドはその顕著な例です。より一般的には、結び目理論的方法は、同じ化学式の位相的に異なる配置であるトポイソマーの研究に使用されてきました。密接に関連するもつれの理論は、DNA に対する特定の酵素の作用の研究に効果的に使用されました。^[5]学際的な分野である物理的結び目理論では、DNA やポリマーなどの材料で発生する結び目現象を理解するために、物理的な考慮に基づいて結び目の数学モデルを調査します。

物理学では、非可換エニオンなどの特定の仮想準粒子が有用な位相特性、すなわちその量子状態が世界線の周囲の同位体によって変化しない特性を示すことが示されている。これらを利用して、デコヒーレンス耐性のある量子コンピュータを作れると期待されている。世界線は数学的な編み紐を形成するため、結び目理論に関連する分野である編み紐理論は、トポロジカル量子コンピュータと呼ばれるそのようなコンピュータの特性を研究するのに使用される。^[6]

結び目理論に関連し、結び目理論を補完する発展として回路トポロジーがある。これはもともとアリレザ・マシャギ^[7]によって提唱され、鎖内接触や結合を含む開いた鎖に焦点を当てた理論である。この理論は歴史的に分子トポロジー、特に生物学の問題に対処するために開発された。^[8]

• シルバー、ダン、スコットランド物理学と結び目理論の奇妙な起源 2015-09-24ウェイバックマシンにアーカイブ(シルバー、「結び目理論の奇妙な起源」、アメリカンサイエンティスト、94、第 2 号、158–165 の拡張バージョン)
• JC Turner および P. van de Griend 編 (1995) History and Science of Knots、World Scientific。
• バーナタン、ドロール（1995）、「ヴァシリエフ結び目不変量について」、トポロジー、34（2）：423–472、doi：10.1016/0040-9383（95）93237-2
• Kontsevich、M. (1993)。 「ヴァシリエフの結び目の不変条件」。IMゲルファンドセミナー。 ADVSOV。 Vol. 16. 137 ～ 150 ページ。土井：10.1090/advsov/016.2/04。ISBN 978-0-8218-4117-4。
• トゥラエフ、ウラジミール G. (2016) [1994].結び目と3次元多様体の量子不変量. doi :10.1515/9783110435221. ISBN 978-3-11-043522-1. S2CID  118682559。
• ウィッテン、エドワード(1989)、「量子場理論とジョーンズ多項式」、Comm. Math. Phys.、121 (3): 351–399、Bibcode :1989CMaPh.121..351W、doi :10.1007/BF01217730、S2CID  14951363

• トムソン、ウィリアム卿（ケルビン卿）、「渦原子について」、エディンバラ王立協会紀要、第6巻、1867年、94〜105頁。
• シリマン、ロバート H.、ウィリアム トムソン: 煙の輪と 19 世紀の原子論、Isis、第 54 巻、第 4 号 (1963 年 12 月)、pp. 461–474。JSTOR リンク
• テイトの煙の輪実験を現代的に再現した映画。2015年9月24日にWayback Machineにアーカイブされた。
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