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結び目に関する数学理論において、コンツェビッチ不変量（向き付けられたフレームリンクのコンツェビッチ積分[1]としても知られる）は、コンツェビッチ不変量の任意の係数が有限型であり、逆に任意の有限型不変量はそのような係数の線形結合として表すことができるという意味で、普遍的なヴァシリエフ不変量[ 2] である。これはマキシム・コンツェビッチによって定義された。
コンツェビッチ不変量は、適切な重みシステムを任意のヤコビ図に代入することによって任意の量子不変量を回復できるという意味で、 普遍的な量子不変量です。
意味
Kontsevich不変量は、Knizhnik-Zamolodchikov方程式の解に沿ったモノドロミーによって定義されます。
ヤコビ図とコード図
意味
X を円 (1 次元多様体) とします。右の図に示すように、次数n のヤコビ図は2 n 個の頂点を持つグラフで、外側の円は実線の円で表され、破線は内側のグラフと呼ばれ、次の条件を満たします。
- 方向は外側の円にのみ与えられます。
- 頂点の値は 1 または 3 です。値が 3 の頂点は、小さな有向円で示される時計回りまたは反時計回りの方向で、他のエッジの 1 つに接続されます。値が 1 の頂点は、重複なしで外部の円に接続され、円の方向によって順序付けられます。
G上の辺は弦と呼ばれる。X 上のすべてのヤコビ図式によって生成される可換群を次の関係で割った 商空間をA ( X )と表記する。
- （AS関係）
+
= 0 - （IHX関係）
=
−
- （STU関係）
=
−
- （FI関係）
= 0 です。
頂点の値が 3 でない図は、コード図またはガウス図と呼ばれます。グラフGのすべての連結コンポーネントに3 の値が付けられた頂点がある場合、STU 関係を再帰的に使用して、ヤコビ図をコード図にすることができます。コード図だけに限定すると、上記の 4 つの関係は次の 2 つの関係に簡略化されます。
- （4項関係）
−
+
−
= 0 です。 - （FI関係）= 0 です。
プロパティ
- ヤコビ図の次数は、値が 1 の頂点の数と値が 3 の頂点の数の合計の半分として定義されます。これは、ヤコビ図から変換されたコード図のコードの数です。
- タングルの場合と同様に、ヤコビ図は、上下方向に沿ったヤコビ図のコンパイルとしての合成と、ヤコビ図の並置としてのテンソル積を持つ
モノイドカテゴリを形成します。
- X が区間Iである特殊なケースでは、A ( X )は可換代数になります。A ( S 1 )を連結和としての乗算を持つ代数として見ると、A ( S 1 )はA ( I )と同型です。
- ヤコビ図は、リー代数によって生成されたテンソル代数の表現の抽象化として見ることができ、これにより、ホップ代数の余積、余単位、反対称体に類似したいくつかの操作を定義することができます。
- ヴァシリエフ不変量（または有限型不変量）はコード図と密接に関連しているため、 S 1上のコード図Gから特異結び目を構築できます。K n は次数nのすべての特異結び目によって生成される空間を表し、そのようなG はすべてK m / K m +1の一意の要素を決定します。
重量システム
ヤコビ図から正の整数への写像は重みシステムと呼ばれます。空間A ( X )に拡張された写像も重みシステムと呼ばれます。これらは次の特性を持ちます。
- g を半単純リー代数とし、ρ をその表現とします。g の不変テンソルをヤコビ図の弦に「代入」し、ρをヤコビ図の基礎となる多様体Xに「代入」することで重みシステムが得られます。
- ヤコビ図の値 3 を持つ頂点はリー代数の括弧積として、実線の矢印はρの表現空間として、値 1 を持つ頂点はリー代数の作用として見ることができます。
- IHX関係とSTU関係はそれぞれヤコビ恒等式と表現の定義に対応する。
- ρ ([ a , b ]) v = ρ ( a ) ρ ( b ) v − ρ ( b ) ρ ( a ) v。
- 重みシステムは、アレクサンダー多項式とジョーンズ多項式を関連付けるマービン・モートン予想[3]の証明において重要な役割を果たします。
歴史
ヤコビ図は、1990年代前半にコンツェビッチが結び目不変量を反復積分で定義したときに、ファインマン図の類似物として導入されました。[2]彼は特異結び目の特異点を弦で表しました。つまり、弦図のみを扱いました。D. Bar-Natan は後にそれらを 1-3 値グラフとして定式化し、その代数的性質を研究し、論文の中で「漢字図」と呼びました。[4]これらを指すために弦図、ウェブ図、ファインマン図などいくつかの用語が使用されていましたが、IHX 関係がリー代数のヤコビ恒等式に対応するため、2000 年頃からヤコビ図と呼ばれるようになりました。
これらは、1990 年代後半に Goussarov と Kazuo Habiro によって独立に定義されたクラスパーによって、より一般的な観点から解釈できます。
参考文献
- ^ セルゲイ・フムトフ;ドゥジ、セルゲイ (2012)。ワイスタイン、エリック・W (編)。 「コンツェビッチ・インテグラル」。マスワールド。 Wolframウェブリソース。2012 年12 月 4 日に取得。
- ^ ab Kontsevich, Maxim (1993). 「Vassilievの結び目不変量」(PDF) . Adv. Soviet Math . 16 (2): 137–150.
- ^ バーナタン、D.;ガロウファリディス、S. (1996)。 「メルビン・モートン・ロザンスキー予想について」。数学の発明。125：103-133。土井：10.1007/s002220050070。S2CID 16891212。
- ^ Bar-Natan, D. (1995). 「Vassiliev結び目不変量について」.トポロジー. 34 (2): 423–472. doi : 10.1016/0040-9383(95)93237-2 .