ライデマイスターの動き

ライデマイスターの動き

タイプI	タイプ II	タイプIII

修正ライデマイスター動作

タイプI'

数学の結び目理論の分野では、ライデマイスター移動はリンク図上の 3 つの局所移動のいずれかです。Kurt Reidemeister  (1927) と、それとは独立にJames Waddell Alexanderと Garland Baird Briggs (1926) は、平面同位体に至るまで、同じ結び目に属する 2 つの結び目図が3 つのライデマイスター移動のシーケンスによって関連付けられることを実証しました。^{[1] [2]}

各動きは図の小さな領域で行われ、3つのタイプのいずれかになります。^[3]

図の他の部分は動きの図には関係せず、平面同位体によって図が歪む可能性があります。動きのタイプの番号は、関係するストランドの数に対応しています。たとえば、タイプ II の動きは、図の 2 つのストランドで動作します。

ライデマイスター移動が現れる重要な文脈の一つは、結び目不変量を定義することです。^[4]ライデマイスター移動のいずれかを適用しても変化しない結び目図の特性を示すことによって、不変量が定義されます。ジョーンズ多項式を含む多くの重要な不変量は、この方法で定義できます。

タイプIの手は、図のねじれに影響を与える唯一の手です。タイプIIIの手は、図の交差数を変更しない唯一の手です。^[5]

カービー計算のような応用では、結び目図の同値類として結び目ではなくフレームリンクが求められるため、タイプIの動きを、反対方向のタイプIの動き2つからなる「修正タイプI」（タイプI'）の動きに置き換える必要がある。タイプI'の動きは、リンクのフレームにも、結び目図全体のねじれにも影響しない。^[6]

Trace (1983) は、同じ結び目に対する 2 つの結び目図は、それらが同じよじれ数と巻き数を持つ場合にのみ、タイプ II とタイプ III の動きだけを使用して関連付けられることを示した。^[7]さらに、Östlund (2001)、Manturov (2004)、および Hagge (2006) の共同研究では、すべての結び目タイプに対して 1 組の結び目図があり、一方から他方へ向かうすべての Reidemeister 動きのシーケンスでは、3 つのタイプの動きすべてを使用する必要があることがわかっている。^[8] Alexander Coward は、同等のリンクを表すリンク図の場合、タイプ順に並べられた動きのシーケンスがあることを実証した。最初にタイプ I の動き、次にタイプ II の動き、タイプ III、そしてタイプ II である。タイプ III の動きの前の動きでは交差数が増加し、後の動きでは交差数が減少する。

Coward & Lackenby (2014) は、同じリンクの 2 つの図の間を通過するために必要な Reidemeister 移動の数に、指数タワーの上限 (交差数に依存) が存在することを証明しました。[ ^9]詳細には、 を2 つの図の交差数の合計とすると、上限は となり、 sのタワーの高さ(上部に1 つ) は となります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{2^{2^{.^{.^{n}}}}}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 10^{1,000,000n}}$

Lackenby (2015) は、アンクノットの図を標準アンクノットに変えるために必要なライデマイスター移動回数に、交差数に依存する多項式上限が存在することを証明した。詳しくは、交差のある任意の図について、上限は である。^[10]${\displaystyle c}$${\displaystyle (236c)^{11}}$

林（2005）は、交差数に応じて、リンクを分割するために必要なライデマイスター移動の数にも上限があることを証明した。^[11]

• ウィキメディア・コモンズにおけるライデマイスターの移転に関するメディア
• アレクサンダー、ジェームズ W.; ブリッグス、ガーランド B. (1926)、「結び目のある曲線の種類について」、数学年報、28 (1/4): 562–586、doi :10.2307/1968399、JSTOR  1968399、MR  1502807
• カワード、アレクサンダー、ラッケンビー、マーク(2014)、「ライデマイスター移動の上限」、アメリカ数学ジャーナル、136 (4): 1023–1066、arXiv : 1104.1882、doi :10.1353/ajm.2014.0027、MR  3245186、S2CID  55882290
• Galatolo、Stefano (1999)、「効果的な結び目理論の問題について」、Atti Accad。ナズ。リンセイ Cl.科学。 Fis.マット。自然。レンド。リンセイ (9) マット。応用、9 (4): 299–306、MR  1722788
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• 林忠一郎 (2005)、「リンクを分割するためのライデマイスター移動の数」、Mathematische Annalen、332 (2): 239–252、doi :10.1007/s00208-004-0599-x、MR  2178061、S2CID  119728321
• ラッケンビー、マーク(2015)、「ライデマイスター移動の多項式上限」、数学年報、第 2 シリーズ、182 (2): 491–564、arXiv : 1302.0180、doi :10.4007/annals.2015.182.2.3、MR  3418524、S2CID  119662237
• Manturov、Vassily Olegovich (2004)、結び目理論、ボカラトン、フロリダ州: Chapman & Hall/CRC、doi :10.1201/9780203402849、ISBN 0-415-31001-6、MR  2068425
• Östlund, Olof-Petter (2001)、「結び目図の不変量とライデマイスター移動間の関係」、J. Knot Theory Ramifications、10 (8): 1215–1227、arXiv : math/0005108、doi :10.1142/S0218216501001402、MR  1871226、S2CID  119177881
• Reidemeister、Kurt (1927)、「Elementare Begründung der Knotentheorie」、Abh。数学。セム。大学ハンブルク、5 (1): 24–32、土井:10.1007/BF02952507、MR  3069462、S2CID  120149796
• トレース、ブルース (1983)、「古典結び目のライデマイスター移動について」、アメリカ数学会紀要、89 (4): 722–724、doi : 10.2307/2044613、JSTOR  2044613、MR  0719004