有限型不変量

数学の結び目理論において、有限型不変量、またはヴァシリエフ不変量（ヴィクトル・アナトリエヴィチ・ヴァシリエフにちなんで名付けられた）は、m + 1 個の特異点を持つ特異結び目では消え、m 個の特異点を持ついくつかの特異結び目では消えない、ある特異結び目の不変量に​​（正確には後述する方法で）拡張できる結び目不変量である。これはm 型またはm 次 であると言われる。

Goussarov と (独立に) Joan Birmanおよび Xiao-Song Linによる有限型不変量の組合せ論的定義を示します。V を結び目不変量とします。V ^{1 を}、 1 つの横方向特異点を持つ結び目上で定義されるように定義します。

結び目Kを円の滑らかな埋め込みとします。K 'を1つの横断二重点を 持つ円の滑らかな浸漬とします。すると${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle V^{1}(K')=V(K_{+})-V(K_{-})}$、

ここで、は、一方のストランドをもう一方のストランドの上に押し上げることで二重点を解決することによってKから得られ、同様に、反対のストランドをもう一方のストランドの上に押し上げることによって得られます。上記の関係を使用して、2 つの横断二重点、3 つの横断二重点などを持つマップに対してこれを行うことができます。V が有限型であるということは、横断二重点を持つマップ上でV が消えるような正の整数 m が存在する必要があることを意味します。 ${\displaystyle K_{+}}$${\displaystyle K_{-}}$${\displaystyle m+1}$

さらに、特異点が横方向の二重点である結び目の同値性の概念があり、V はこの同値性を尊重する必要があることに注意してください。3次元多様体に対する有限型不変量の概念もあります。

結び目の最も単純で非自明なヴァシリエフ不変量は、アレクサンダー・コンウェイ多項式の二次項の係数によって与えられます。これは 2 次不変量です。2 を法として、これはArf 不変量に等しくなります。

Kontsevich 不変量の任意の係数は有限型不変量です。

ミルノア不変量は弦のリンクの有限型不変量である。^[1]

Michael Polyak とOleg Viro は、ガウス図表現を用いて、2 次と 3 次の最初の非自明な不変量の記述を行いました。Mikhail N. Goussarov は、すべての Vassiliev 不変量をそのように表現できることを証明しました。

1993 年、マキシム・コンツェビッチは、ワシリエフ不変量に関する次の重要な定理を証明しました。すべての結び目に対して、現在コンツェビッチ積分と呼ばれる積分を計算できます。これは普遍的なワシリエフ不変量であり、適切な評価によってすべてのワシリエフ不変量を得ることができます。現時点では、コンツェビッチ積分、またはワシリエフ不変量の全体が完全な結び目不変量であるかどうか、またはそれが非結び目を検出するかどうかさえわかっていません。コード ダイアグラムの代数に値を持つコンツェビッチ積分の計算はかなり難しいことがわかり、現在までにいくつかの結び目のクラスに対してのみ実行されています。突然変異結び目を区別する 11 未満の次数の有限型不変量は存在しません。^[2]

• ウィラートンの魚

• Victor A. Vassiliev、「結び目空間のコホモロジー。特異点の理論とその応用」、23-69、Adv. Soviet Math.、1、American Mathematical Society、プロビデンス、ロードアイランド州、1990年。
• ジョアン・バーマン、シャオ・ソン・リン「結び目多項式とヴァシリエフの不変量」 Inventiones Mathematicae、111、225–270（1993）
• Bar-Natan, Dror (1995). 「Vassiliev結び目不変量について」.トポロジー. 34 (2): 423–472. CiteSeerX  10.1.1.511.6301 . doi : 10.1016/0040-9383(95)93237-2 .

• Weisstein、Eric W.「Vassiliev 不変量」。MathWorld。
• 「有限型（ヴァシリエフ）不変量」、結び目アトラス。