つながる空間

位相幾何学および関連する数学の分野において、連結空間は、 2 つ以上の互いに素で空でない開部分集合の和集合として表すことができない位相空間です。連結性は、位相空間を区別するために使用される 主要な位相特性の 1 つです。

位相空間の部分集合は${\displaystyle X}$の部分空間として見たときに連結空間である場合、連結集合となります。 ${\displaystyle X}$

関連性はあるもののより強い条件として、パス連結、単連結、および-連結があります。もう 1 つの関連する概念は、連結性を暗示したり連結性から導かれるものではない、 局所連結です。${\displaystyle n}$

位相 空間は${\displaystyle X}$2 つの互いに素な空でない開集合の和集合である場合、それは不連続であると言われます。そうでない場合は、連結であると言われます。部分集合は、その部分空間位相の下で連結である場合、連結であると言われます。一部の著者は、空集合(その固有の位相を持つ) を連結空間から除外しますが、この記事ではその慣例には従いません。 ${\displaystyle X}$

位相空間の場合、次の条件は同等です。 ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$連結である、つまり、互いに素な空でない 2 つの開集合に分割することはできない。
2. 開いていて閉じている部分集合(閉開集合)は、 と空集合のみです。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
3. 境界が空であるの唯一の部分集合はと 空集合です。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
4. ${\displaystyle X}$2 つの空でない分離した集合(それぞれが他方の閉包と互いに素である集合) の和集合として記述することはできません。
5. からまでのすべての連続関数は定数です。ここで、 は離散位相を備えた 2 点空間です。${\displaystyle X}$${\displaystyle \{0,1\}}$${\displaystyle \{0,1\}}$

歴史的に、連結性の概念のこの現代的な定式化（ を2 つの分離された集合に分割しないという観点から）は、20 世紀初頭に NJ Lennes、Frigyes Riesz、Felix Hausdorffによって（独立して）初めて登場しました。詳細については、(Wilder 1978) を参照してください。 ${\displaystyle X}$

位相空間内のある点が与えられると、そこに含まれる各点が再び連結部分集合となるような連結部分集合の任意の集合の和集合が作られます。内の点の連結成分は、それを含むのすべての連結部分集合の和集合です。 は、を含むの 唯一の最大の（ に関して）連結部分集合です。空でない位相空間の（包含によって順序付けられた）最大連結部分集合は、空間の連結成分と呼ばれます。任意の位相空間の成分はの 分割を形成します。つまり、それらは互いに素で、空でなく、それらの和集合が空間全体です。すべての成分は、元の空間の閉じた部分集合です。したがって、それらの数が有限である場合、各成分は開部分集合でもあります。ただし、それらの数が無限である場合は、そうではない可能性があります。たとえば、有理数集合の連結成分は1 点集合（シングルトン）であり、開か無理数を取り、 と を設定します。すると はとの分離です。したがって、各成分は 1 点集合です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x;}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle q_{1}$${\displaystyle q_{1},}$${\displaystyle A=\{q\in \mathbb {Q} :q<r\}}$${\displaystyle B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.}$${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle q_{1}\in A,q_{2}\in B}$

を位相空間におけるの連結成分とし、（の準成分と呼ばれる）を含むすべての閉開集合の共通部分とします。このとき、 がコンパクト ハウスドルフまたは局所連結である場合、等式が成立します。^{[1] [より適切な情報源が必要]}${\displaystyle \Gamma_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \Gamma _{x}'}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}}$${\displaystyle X}$

すべての成分が一点集合である空間は完全に切り離された空間。この性質に関連して、空間は${\displaystyle X}$完全に分離しているとは、の任意の2 つの異なる元およびと を含み、が との和集合となるよう開集合が存在する場合です。明らかに、完全に分離した空間は完全に分離していますが、その逆は成り立ちません。たとえば、有理数 の 2 つのコピーを取り、ゼロ以外のすべての点でそれらを同一視します。結果として得られる空間は、商位相、完全に分離しています。ただし、ゼロの 2 つのコピーを考慮すると、空間が完全に分離していないことがわかります。実際、これはハウスドルフ、完全に分離しているという条件は、ハウスドルフであるという条件よりも厳密に強いです。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• 標準的な部分空間位相における閉区間は連結である。例えば、の和集合として表すこともできるが、2番目の集合は選択された位相では開ではない。${\displaystyle [0,2)}$ ${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle [1,2),}$${\displaystyle [0,2).}$
• と の和集合は不連続である。これらの区間は両方とも標準位相空間において開いている。${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle (1,2]}$${\displaystyle [0,1)\cup (1,2].}$
• ${\displaystyle (0,1)\cup \{3\}}$切断されています。
• の凸部分集合は連結です。つまり、単連結です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 原点を除いたユークリッド平面は連結しているが、単純連結ではない。原点のない 3 次元ユークリッド空間は連結しており、単純連結でもある。対照的に、原点のない 1 次元ユークリッド空間は連結していない。${\displaystyle (0,0),}$
• 直線を除いたユークリッド平面は 2 つの半平面で構成されるため、連結されていません。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$通常の位相を持つ実数空間は連結である。
• ソルゲンフライ線は切断されている。^[2]
• から 1 点でも削除すると、残りの部分は不連続になります。ただし、 から可算無限個の点を削除した場合、残りの部分は連結されます。 の場合、可算個数の点を削除した後も は単連結のままです。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 2,}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 連結体（またはなど）上の任意の位相ベクトル空間（任意のヒルベルト空間またはバナッハ空間）は単連結である。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• 少なくとも2つの要素を持つ離散位相空間はすべて不連続であり、実際そのような空間は完全に不連続である。最も単純な例は離散2点空間である。^[3]
• 一方、有限集合は連結である場合があります。たとえば、離散値環のスペクトルは 2 つの点から構成され、連結されています。これは、シェルピンスキー空間の例です。
• カントール集合は完全に分離されています。集合には無数個の点が含まれるため、無数個の成分が存在します。
• 空間が連結空間とホモトピー同値である場合、それ自体は連結です。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• 位相幾何学の正弦曲線は、連結されているがパス連結でも局所連結でもない集合の例です。
• 一般線型群 (つまり、-行 - 列の可逆な実行列の群) は、2 つの連結成分から構成されます。1 つは正の行列式を持つ行列で、もう 1 つは負の行列式を持つ行列です。特に、連結ではありません。対照的に、 は連結です。より一般的には、複素ヒルベルト空間上の可逆な有界演算子の集合は連結です。${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$
• 可換局所環と積分領域のスペクトルは連結している。より一般的には、以下のものは同値である^[4]
  1. 可換環のスペクトルは連結している${\displaystyle R}$
  2. 上のすべての有限生成射影加群は定数階数を持ちます。${\displaystyle R}$
  3. ${\displaystyle R}$冪等性 を持たない（つまり、2 つの環の積として非自明ではない）。${\displaystyle \neq 0,1}$${\displaystyle R}$

連結されていない空間の例としては、無限直線が削除された平面が挙げられます。連結されていない空間 (つまり連結されていない空間) の他の例としては、環状部分が削除された平面や、互いに素な 2 つの閉じた円板の和などが挙げられます。この段落の例はすべて、2 次元ユークリッド空間によって誘導される 部分空間トポロジーに従います。

あパス連結空間は連結性のより強い概念であり、パスの構造を必要とする。位相空間内の点から点へのパスは、単位区間までの連続関数でありおよびで。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(0)=x}$${\displaystyle f(1)=y}$のパス成分は、から へのパスがある場合に限り が と等価になる同値関係下での の同値類です。 パス成分が 1 つだけある場合、その空間はパス連結(またはパスワイズ連結、または-連結であると言われます。 空でない空間の場合、これは 内の任意の 2 点を結ぶパスが存在するというステートメントと等価です。 ここでも、多くの著者は空の空間を除外します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle X}$

すべてのパス連結空間は連結です。逆は必ずしも真ではありません。パス連結でない連結空間の例には、延長された長い直線 や位相幾何学者の正弦曲線などがあります。 ${\displaystyle L^{*}}$

実数直線 の部分集合が連結であるためには、それらが経路連結である必要があります。このような部分集合は、 の区間と光線で​​す。また、またはの開部分集合が連結であるためには、それらが経路連結である必要があります。さらに、連結性と経路連結性は有限位相空間に対して同じです。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

空間は、位相的に区別可能な任意の2 つの点が、埋め込みである弧で接続できる場合、弧連結または弧方向連結であると言われます。の弧成分は、の最大弧連結部分集合です。または、2 つの点が弧で接続できるか、それとも点が位相的に区別できないパスで接続できるかという同値関係の同値類と同等です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

経路連結であるすべてのハウスドルフ空間は弧連結でもある。より一般的には、経路の各像が閉じている空間である-ハウスドルフ空間にこれが当てはまる。経路連結だが弧連結ではない空間の例としては、2 つの原点を持つ直線が挙げられる。その の 2 つのコピーは経路で連結できるが、弧では連結できない。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle 0}$

パス連結空間に対する直感は、弧連結空間に簡単には当てはまりません。を 2 つの原点を持つ直線とします。次の事実は、パス連結空間では成立しますが、弧連結空間では成立しません。 ${\displaystyle X}$

• 弧連結空間の連続像は必ずしも弧連結ではない。例えば、弧連結空間からその商への商写像は、位相的に区別可能な点が可算数個（少なくとも 2 個）あるが、その基数が小さすぎるため弧連結ではない。
• 円弧コンポーネントは分離できません。たとえば、には 2 つの重なり合う円弧コンポーネントがあります。${\displaystyle X}$
• 弧連結積空間は、弧連結空間の積ではない場合があります。たとえば、は弧連結ですが、 は弧連結ではありません。${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$
• 積空間の弧成分は、周辺空間の弧成分の積ではない場合があります。たとえば、には 1 つの弧成分がありますが、 には2 つの弧成分があります。${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$
• 弧接続された部分集合に空でない交差がある場合、それらの和集合は弧接続されない可能性があります。たとえば、 の弧成分は交差しますが、それらの和集合は弧接続されません。${\displaystyle X}$

位相空間は、 のすべての近傍に連結した開近傍が含まれる場合、点で局所連結で あると言われます。 連結集合の基底を持つ場合、位相空間は局所連結です。のすべての開集合のすべての成分が開いている場合、かつその場合に限り、空間が局所連結であることが示されます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

同様に、位相空間は局所的にパス連結であるとは、パス連結集合の基底を持つ場合です。局所的にパス連結な空間の開集合が連結であるとは、パス連結である場合に限ります。これは、それぞれが局所的にパス連結であるおよび任意の位相多様局所的にパス連結です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

局所的に連結されているからといって連結されているとは限らず、局所的にパス連結されているからといってパス連結されているとも限りません。連結されていない（またはパス連結されていない）局所的に連結されている（かつ局所的にパス連結されている）空間の簡単な例としては、 内の 2 つの分離された区間の和集合、たとえば が挙げられます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (0,1)\cup (2,3)}$

局所的に連結されていない連結空間の典型的な例としては、 と定義される、いわゆる位相幾何学者の正弦曲線があり、への包含によってユークリッド位相が誘導されます。 ${\displaystyle T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

連結集合の交差は必ずしも連結であるとは限りません。

連結集合の和集合は必ずしも連結であるとは限らないことが、 を考えるとわかる。 ${\displaystyle X=(0,1)\cup (1,2)}$

各楕円は連結集合ですが、その和集合は連結ではありません。これは、楕円を 2 つの互いに素な開集合とに分割できるためです 。${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

これは、和集合が切断されている場合、集合を2 つの部分集合に分割することができ、部分集合の和集合は互いに素で、開いていることを意味します (図を参照)。これは、いくつかのケースでは、連結集合の和集合は必ず連結されていることを意味します。具体的には、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \{X_{i}\}}$${\displaystyle X}$

1. すべての集合の共通集合が空でない場合 ( )、明らかに、それらの集合は互いに素な和集合を持つ集合に分割できません。したがって、共通集合が空でない連結集合の和集合は連結です。${\textstyle \bigcap X_{i}\neq \emptyset }$
2. 各集合のペアの交差が空でない場合 ( )、それらは互いに素な和集合に分割することはできないため、和集合は連結されている必要があります。${\displaystyle \forall i,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset }$
3. セットが「リンクされたチェーン」として順序付けできる場合、つまり整数インデックスとでインデックス付けできる場合、それらの和集合も接続される必要があります。${\displaystyle \forall i:X_{i}\cap X_{i+1}\neq \emptyset }$
4. 集合が互いに素であり、商空間 が連結である場合、X は連結でなければならない。そうでない場合、がXの分離であれば、商空間の分離である（商空間では互いに素であり開いているため）。^{[5] [より適切な情報源が必要]}${\displaystyle X/\{X_{i}\}}$${\displaystyle U\cup V}$${\displaystyle q(U)\cup q(V)}$${\displaystyle q(U),q(V)}$

連結集合の集合差は必ずしも連結ではありません。ただし、と の差が連結でない場合（つまり、 と の 2 つの開集合の和集合として表すことができる場合）、と各そのような要素の和集合は連結です（つまり、 はすべて に対して連結です）。 ${\displaystyle X\supseteq Y}$${\displaystyle X\setminus Y}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y\cup X_{i}}$${\displaystyle i}$

• 連結性の主な定理: およびを位相空間とし、を連続関数とします。 が(パス) 連結である場合、像は(パス) 連結です。 この結果は、中間値定理の一般化と考えることができます。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(X)}$
• パスで接続されたすべての空間は接続されています。
• 局所的にパス連結された空間では、すべての開連結集合はパス連結されています。
• すべての局所パス接続空間は局所接続されています。
• 局所的にパス連結な空間は、連結な場合のみパス連結である。
• 連結な部分集合の閉包は連結である。さらに、連結な部分集合とその閉包の間の部分集合はどれも連結である。
• 接続されたコンポーネントは常に閉じている（ただし、一般的には開いていない）
• ローカルに接続された空間の接続コンポーネントも開いています。
• 空間の連結成分は、パス連結成分（一般に開でも閉でもない）の互いに素な和集合である。
• 連結な（それぞれ局所連結、パス連結、局所パス連結な）空間のすべての商は連結な（それぞれ局所連結、パス連結、局所パス連結な）空間である。
• 連結な（パス連結な）空間の族のすべての 積は連結な（パス連結な）空間である。
• 局所的に連結された（または局所的にパス連結された）空間のすべての開部分集合は、局所的に連結されています（または局所的にパス連結されています）。
• すべての多様体は局所的にパス接続されています。
• 弧状連結空間はパス連結であるが、パス連結空間は弧状連結ではない可能性がある。
• 円弧状に接続された集合の連続画像は円弧状に接続されています。

グラフにはパス接続された部分集合、つまり、すべてのポイントのペアにそれらを接続するエッジのパスがある部分集合があります。ただし、同じ接続されたセットを誘導するポイントの集合上のトポロジーを見つけることが常に可能であるとは限りません。5サイクルグラフ (および奇数の任意の -サイクル) はその一例です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n>3}$

その結果、連結性の概念は、空間上の位相とは独立して定式化できます。つまり、連結性公理を満たす連結部分集合の集合からなる連結空間のカテゴリがあります。その射は、連結集合を連結集合にマップする関数です (Muscat & Buhagiar 2006)。位相空間とグラフは連結空間の特殊なケースです。実際、有限連結空間はまさに有限グラフです。

しかし、頂点を点として、辺を単位区間のコピーとして扱うことで、あらゆるグラフを標準的に位相空間にすることができます (位相グラフ理論#位相空間としてのグラフを参照)。すると、グラフが位相空間として連結されている場合に限り、グラフが連結されている (グラフ理論の意味で) ことを示すことができます。

位相空間の連結性には、より強い形式があります。たとえば、次のようになります。

• 位相空間に互いに交わらない空でない開集合が 2 つ存在しない場合、は必ず連結であり、したがって超連結空間も連結である。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• 定義により、単連結空間はパス連結であることも要求されるため、単連結空間はすべて連結されています。「パス連結性」の要件が単連結の定義から削除された場合、単連結空間は連結されている必要はありません。
• さらに強力な接続性のバージョンには、収縮可能な空間の概念が含まれます。すべての収縮可能な空間はパス接続されており、したがって接続されています。

一般に、パス連結空間は連結している必要がありますが、パス連結ではない連結空間も存在します。削除された櫛形空間は、前述の位相幾何学者の正弦曲線と同様に、そのような例を提供します。

• 連結成分（グラフ理論）  - 頂点が互いに到達できる最大の部分グラフPages displaying short descriptions of redirect targets
• つながりの軌跡
• ドメイン（数学的解析）  – 位相空間の連結した開集合
• 極端に不連続な空間 – すべての開集合の閉包が開いている位相空間
• 局所連結空間 – 位相空間の性質
• n接続
• 均一に接続された空間 – 均一な空間の種類
• ピクセル接続

• ワイルダー、RL（1978）。「「接続」の位相概念の進化」".アメリカ数学月刊誌. 85 (9): 720–726. doi :10.2307/2321676. JSTOR  2321676.