2グループ

数学、特に圏論において、2群は、オブジェクトを乗算する方法を備えた群であり、群に似ています。これらは、 n群のより大きな階層の一部です。これらは、1960年代後半にHoàngXuânSínhによってgr-categoriesという名前で導入され、^{[1] [2] 、}カテゴリカルグループとしても知られています。

2 群は、すべての射が可逆であり、すべてのオブジェクトに弱い逆が存在するモノイド カテゴリ Gです。(ここで、オブジェクトxの弱い逆とは、xyとyxの両方が単位オブジェクトと 同型であるオブジェクトyです。)

文献の多くは、厳密な 2 群に焦点を当てています。厳密な2 群は、すべての射が可逆であり、すべてのオブジェクトに厳密な逆が存在する (つまり、xyとyxが実際には単位オブジェクトに等しい) 厳密なモノイド カテゴリです。

厳密な 2 群は(小さな) カテゴリのカテゴリ内のグループ オブジェクトです。そのため、グループ カテゴリと呼ぶことができます。逆に、厳密な2 群はグループのカテゴリ内のカテゴリ オブジェクトです。そのため、カテゴリ グループとも呼ばれます。交差モジュールと同一視することもでき、その形式で研究されることが最も多いです。したがって、一般に2 群は交差モジュールの弱化として見ることができます。

すべての 2 群は厳密な2 群と同値であるが、これを首尾一貫して行うことはできない。つまり、 2 群準同型には拡張されない。 ^{[引用が必要]}

(小さな)カテゴリCが与えられたとき、 2群Aut  Cを考えることができます。これはモノイドカテゴリであり、そのオブジェクトはCの自己同値(つまり、同値 F : C → C ) であり、その射はそのような自己同値間の自然同型であり、自己同値の乗法はそれ​​らの合成によって与えられます。

位相空間 Xとその空間内の点xが与えられたとき、 xにおけるXの基本2 群が存在し、 Π ₂ ( X , x ) と表記されます。モノイドカテゴリとして、オブジェクトはxにおけるループであり、乗算は連結によって与えられ、射はループ間の基点保存ホモトピーであり、これらの射は、それ自体がホモトピックである場合に識別されます。

弱逆は常に首尾一貫して割り当てることができる: ^[3]任意の2群G上に、各オブジェクトに弱逆を割り当てる関手を定義することができ、各オブジェクトはモノイドカテゴリGの随伴同値によって指定された弱逆に関連付けられます。

二元圏 BとBの対象x が与えられたとき、 Bにはxの自己同型2 群があり、 Aut _B xと表記されます。対象はxの自己同型であり、乗法は合成で与えられ、射はこれらの間の可逆な 2 射です。Bが2 群様体(つまりすべての対象と射は弱可逆) であり、x がその唯一の対象である場合、 Aut _B x はBに残された唯一のデータです。したがって、2 群は1 対象の2 群様体と同一視できます。これは、群が 1 対象の群様体と同一視され、モノイド カテゴリが1 対象の二元圏と同一視されるのと同様です。   

G が厳密な 2 次元群である場合、 Gの対象は、 Gの基礎群と呼ばれ、G ₀と表記される群を形成します。 これは、任意の2 次元群では機能しません。ただし、同型対象を識別すると、同値類は、 Gの基本群と呼ばれ、 π ₁ Gと表記される群を形成します。(厳密な2 次元群の場合でも、基本群は基礎群の 商群にすぎないことに注意してください。)

モノイドカテゴリとして、任意の2群 Gは単位対象I _Gを持ちます。I _Gの自己同型群は、エックマン-ヒルトンの議論によりアーベル群となり、Aut( I _G ) または π ₂ Gと表記されます。

G の基本群はπ ₂ Gの両側に作用し、Gの結合子はコホモロジー群H 3 (π 1 G , π 2 G ) の元を定義します。実際、2 群は次のように分類されます。群 π 1 、アーベル群 π 2 、π 1 の π 2 への群作用、および H ³ ( _π 1 , _π 2 )の元が与えられると_、 π _{1 G}が_π 1^に同型_で、_π 2 G が_π 2に_同型で_あり、その他_のデータが対応する、唯一の (同値性を除いて) 2 群G が存在します。

2 次元群に関連付けられた H ³ (π ₁ , π ₂ )の元は、グロタンディークの弟子であるHoàng Xuân Sínhによって開発されたため、そのSinh 不変量と呼ばれることもあります。

上で述べたように、位相空間Xと点xの基本2 群は2 群Π ₂ ( X , x )であり、その対象はxにおけるループであり、乗算は連結によって与えられ、射はループ間の基点保存ホモトピーであり、これらの射は、それ自体がホモトピックである場合に識別されます。

逆に、任意の2群 Gが与えられたとき、基本2群がGであり、ホモトピー群π _nがn > 2に対して自明である、唯一の（弱ホモトピー同値を除いて ）尖った連結空間( X , x ) が見つかります 。このように、2群は尖った連結な弱ホモトピー2型を分類します。これは、アイレンバーグ–マックレーン空間の構築の一般化です。

X が基点xを持つ位相空間である場合、Xのxにおける基本群はXの基本2群のxにおける基本群と同じである。つまり、

${\displaystyle \pi _{1}(X,x)=\pi _{1}(\Pi _{2}(X,x)).\!}$

この事実は、 2 つのグループの両方のインスタンスにおける「基本」という用語の起源です。

同様に、

${\displaystyle \pi _{2}(X,x)=\pi _{2}(\Pi _{2}(X,x)).\!}$

したがって、空間の第一ホモトピー群と第二ホモトピー群は両方とも、その基本2 群に含まれます。この2 群はπ ₁ ( X、x ) の π ₂ ( X、x ) への作用とコホモロジー群 H ³ (π ₁ ( X、x )、π ₂ ( X、x ))の要素も定義するため、これはX が尖連結ホモトピー 2 型である 場合にXのポストニコフ タワーを形成するために必要なデータとまったく同じです。

• nグループ
• アーベル2群

• Baez, John C. ; Lauda, Aaron D. (2004)、「高次元代数 V: 2 群」(PDF)、カテゴリーの理論と応用、12 : 423–491、arXiv : math.QA/0307200
• Baez, John C. ; Stevenson, Danny (2009)、「位相的 2 群の分類空間」、Baas, Nils、Friedlander, Eric、Jahren, Bjørn、Østvær, Paul Arne (編)、『代数的位相学。アベルシンポジウム 2007』、Springer、ベルリン、pp. 1–31、arXiv : 0801.3843
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• ブラウン、ロナルド、ヒギンズ、フィリップ J.、シベラ、ラファエル (2011 年 8 月)、「非アーベル代数的位相幾何学: フィルター空間、交差複体、立方ホモトピー群」、EMS Tracts in Mathematics、vol. 15、arXiv : math/0407275、doi :10.4171/083、ISBN 978-3-03719-083-8、MR  2841564、Zbl  1237.55001
• Pfeiffer, Hendryk (2007)、「2 群、三角環、およびそれらのホップ表現カテゴリ」、Advances in Mathematics、212 (1): 62–108、arXiv : math/0411468、doi : 10.1016/j.aim.2006.09.014
• セガーラ、アントニオ・マルティネス。エレディア、ベンジャミン A. Remedios、Josué (2012)、「Double groupoids and homotopy 2-types」、Applied Categorical Structures、20 (4): 323–378、arXiv : 1003.3820、doi : 10.1007/s10485-010-9240-1

• n研究室の2グループ
• 2008マテマティカ研究センターでのカテゴリー グループに関するワークショップ