リウヴィルの方程式

力学系におけるリウヴィル方程式については、リウヴィルの定理 (ハミルトニアン)を参照してください。

量子力学におけるリウヴィルの方程式については、フォン・ノイマン方程式を参照してください。

ユークリッド空間におけるリウヴィル方程式については、リウヴィル・ブラトゥ・ゲルファンド方程式を参照してください。

微分幾何学において、ジョゼフ・リウヴィルにちなんで名付けられたリウヴィル方程式^{[1] [2]}は、一定のガウス曲率Kの曲面上の計量f ² (d x ²  + d y ² )の共形因子fが満たす非線形偏微分方程式である。

${\displaystyle \Delta _{0}\log f=-Kf^{2},}$

ここで∆ _0は平坦なラプラス演算子である

${\displaystyle \Delta _{0}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}=4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}.}$

リウヴィルの方程式は、微分幾何学における等温座標の研究に登場します。独立変数 x、y は座標であり、f は平坦な計量に対する共形因子として記述できます。共形因子として参照されるのは、 f自体ではなく、平方f ^{2 で}ある場合もあります。

リウヴィルの方程式は、デイヴィト・ヒルベルトが第19の問題を定式化する際にも例として取り上げられた。^[3]

変数変換 log  f  ↦  uを使用すると、リウヴィルの方程式の別の一般的な形式が得られます。

${\displaystyle \Delta _{0}u=-Ke^{2u}.}$

文献^[4]でよく見られる方程式の他の2つの形式は、前述の変数変換のわずかな変形2 log  f  ↦  uとWirtinger計算を使用することで得られます。^[5] ${\displaystyle \Delta _{0}u=-2Ke^{u}\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}u}{{\partial z}{\partial {\bar {z}}}}}=-{\frac {K}{2}}e^{u}.}$

デイヴィッド・ヒルベルトが第19の問題の定式化で引用したのは、まさに前述の2つの形式のうち最初の形式であったことに注意されたい。^{[3] [a]}

より不変な形では、この方程式はラプラス・ベルトラミ演算子を使って表すことができる 。

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{f^{2}}}\Delta _{0}}$

次のように：

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }\log \;f=-K.}$

リウヴィル方程式は、計量がホップ微分が となるような等温座標で記述される場合、3 次元空間への最小浸漬に対するガウス-コダッツィ方程式と同等です。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathrm {d} z^{2}}$

単連結 領域 Ωでは、リウヴィル方程式の一般解はウィルティンガー計算によって求めることができる。^[6]その形は次のように与えられる。

${\displaystyle u(z,{\bar {z}})=\ln \left(4{\frac {\left|{\mathrm {d} f(z)}/{\mathrm {d} z}\right|^{2}}{(1+K\left|f(z)\right|^{2})^{2}}}\right)}$

ここでf  ( z ) は任意の 有理型関数であり、

• ⁠df​/dz​⁠ ( z ) ≠ 0 はすべてのz  ∈ Ωに対して成り立つ。 ^[6]
• f  ( z ) はΩにおいて最大で 個の単純な極を持つ。 ^[6]

リウヴィルの方程式は、表面の次の分類結果を証明するために使用できます。

定理. ^[7]ユークリッド3次元空間の面において、計量d l ²  =  g ( z、_ず) dzd​_ずであり、一定のスカラー曲率を持つKは、局所的に次の式と等長である。

1. K  > 0の場合は球面。
2. K  = 0の場合はユークリッド平面。
3. K  < 0の場合、ロバチェフスキー平面。

• リウヴィル場理論、その古典的な運動方程式がリウヴィル方程式の一般化である2次元共形場理論