Tノルム

数学において、t-ノルム（T-ノルム、省略されていない三角ノルムとも呼ばれる）は、確率計量空間の枠組みや多値論理、特にファジー論理で使用される一種の二項演算である。t-ノルムは、格子における交差と論理における連言を一般化する。三角ノルムという名前は、確率計量空間の枠組みにおいて、t-ノルムが通常の計量空間の三角不等式を一般化するために使用されるという事実に由来する。

tノルムは、次の特性を満たす 関数T: [0, 1] × [0, 1] → [0, 1]です。

• 可換性: T( a , b ) = T( b , a )
• 単調性: a ≤ cかつb ≤ d の場合、T( a , b ) ≤ T( c , d )
• 結合性: T( a , T( b , c )) = T(T( a , b ), c )
• 数1は単位元として機能します: T( a ,1) = a

t-ノルムは区間[0, 1]上の2進代数演算であるため、挿入代数表記も一般的であり、t-ノルムは通常 と表記されます 。 ${\displaystyle *}$

t-ノルムの定義条件は、実数単位区間 [0, 1] 上の半順序 アーベルモノイドの定義条件とまったく同じです。 ( 順序群を参照)。したがって、任意の半順序アーベルモノイドLのモノイド演算は、一部の著者によってL 上の三角ノルムと呼ばれています。

t-ノルムは、[0, 1] ²上の通常の区間位相において関数として連続している場合、連続していると呼ばれます。（左連続性および右連続性についても同様です。）

t ノルムは、連続かつ厳密に単調である場合に厳密であると呼ばれます。

t ノルムは、連続しており、開区間 (0, 1) 内の各x がべき零である、つまりx ... x ( n回) が 0 となる自然数nが存在する場合、べき零であると呼ばれます 。 ${\displaystyle *}$${\displaystyle *}$

t-ノルムは、アルキメデスの性質を持つ場合、つまり開区間 (0, 1) 内の各x、yに対して、 x ... x ( n回) がy 以下となる自然数nが存在する場合、アルキメデスと呼ばれます。 ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle *}$${\displaystyle *}$

t-ノルムの通常の半順序は点単位、つまり、

[0, 1]内のすべてのa、bに対して   T ₁ ( a、b ) ≤ T ₂ ( a、b )であればT ₁ ≤ T ₂。

関数としては、点ごとに大きい t ノルムは、点ごとに小さい t ノルムよりも強いと言われることがあります。ただし、ファジー ロジックのセマンティクスでは、t ノルムが大きいほど、それが表す結合は (論理的強度の観点から) 弱くなります。

• 最小 t ノルムは ゲーデル t ノルムとも呼ばれ、ゲーデル ファジー論理における結合の標準セマンティクスです。また、ほとんどの t ノルム ベースのファジー論理では、弱結合の標準セマンティクスとして使用されます。これは、点ごとに最大の t ノルムです (以下の t ノルムの特性を参照してください)。${\displaystyle \top _{\mathrm {min} }(a,b)=\min\{a,b\},}$

• 積 t ノルム (実数の通常の積)。他の用途に加えて、積 t ノルムは積ファジー論理における強結合の標準的な意味論です。これは厳密なアルキメデスの t ノルムです。${\displaystyle \top _{\mathrm {prod} }(a,b)=a\cdot b}$

• Łukasiewicz t-ノルム この名前は、t-ノルムがŁukasiewiczファジー論理における強結合の標準セマンティクスであるという事実に由来しています。これは、積t-ノルムよりも点ごとに小さい、べき零アルキメデスt-ノルムです。${\displaystyle \top _{\mathrm {Luk} }(a,b)=\max\{0,a+b-1\}.}$

• 劇的なtノルム

${\displaystyle \top _{\mathrm {D} }(a,b)={\begin{cases}b&{\mbox{if }}a=1\\a&{\mbox{if }}b=1\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

この名前は、drastic t-ノルムが点ごとに最小のt-ノルムであるという事実を反映しています（以下のt-ノルムの特性を参照）。これは右連続のアルキメデスt-ノルムです。

• べき零極小値

${\displaystyle \top _{\mathrm {nM} }(a,b)={\begin{cases}\min(a,b)&{\mbox{if }}a+b>1\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

は、左連続だが連続ではない t ノルムの標準的な例です。その名前にもかかわらず、べき零最小値はべき零 t ノルムではありません。

• ハマッハー製品

${\displaystyle \top _{\mathrm {H} _{0}}(a,b)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a=b=0\\{\frac {ab}{a+b-ab}}&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

は厳密なアルキメデスのt-ノルムであり、ハマッハーのt-ノルムとシュバイツァー・スクラーのt-ノルムのパラメトリッククラスの重要な代表です。

劇的な t ノルムは点ごとに最小の t ノルムであり、最小値は点ごとに最大の t ノルムです。

${\displaystyle \top _{\mathrm {D} }(a,b)\leq \top (a,b)\leq \mathrm {\top _{min}} (a,b),}$任意のtノルムおよび[0, 1]内のすべてのa、bに対して。${\displaystyle \top}$

すべてのtノルムTに対して、数0はヌル要素として機能します。つまり、 [0, 1]内のすべてのaに対してT( a , 0) = 0です。

t ノルム T が零因子を持つのは、それが冪零元を持つ場合のみです。T の各冪零元は、T の零因子でもあります。すべての冪零元の集合は、区間 [0,  a ] または [0,  a ) であり、a は[0, 1] 内にあります。

^{2変数の実関数は、[0, 1] 2}で連続していなくても各変数で連続することがありますが、t-ノルムの場合はそうではありません。t-ノルム T が連続するのは、1つの変数で連続している場合、つまり関数f _y ( x ) = T( x , y ) が [0, 1] の各yについて連続している場合のみです。t-ノルムの左連続性と右連続性についても同様の定理が成り立ちます。

連続 t ノルムは、0 と 1 がその唯一のべき等値である場合に限り、アルキメデス的である。

連続アルキメデスの t ノルムは、0 が唯一の冪零元である場合は厳密であり、そうでない場合は冪零である。さらに、定義により、連続アルキメデスの t ノルム T が冪零となるのは、各 x  < 1 が T の冪零元である場合に限ります。したがって、連続アルキメデスの t ノルム T では、(0, 1) の要素がすべて冪零であるか、まったく冪零ではないかのいずれかです。(0, 1) のすべての要素が冪零である場合、t ノルムは Łukasiewicz t ノルムと同型です。つまり、次の式で 表される厳密に増加する関数fが存在します。

${\displaystyle \top (x,y)=f^{-1}(\top _{\mathrm {Luk} }(f(x),f(y)).}$

一方、T にべき零元が存在しない場合は、t ノルムは積 t ノルムと同型です。言い換えると、すべてのべき零 t ノルムは同型であり、Łukasiewicz t ノルムがその典型的な代表例です。また、すべての厳密な t ノルムは同型であり、積 t ノルムがその典型的な例です。Łukasiewicz t ノルム自体は、0.25 でアンダーカットされた積 t ノルム、つまり[0.25, 1] ^{2上の関数}p ( x ,  y ) = max(0.25, x  ⋅  y )と同型です。

連続 t ノルムごとに、そのべき等元集合は [0, 1] の閉部分集合です。したがって、その補集合 (べき等元でないすべての要素の集合) は、可算個数の重複しない開区間の和集合です。t ノルムをこれらの区間 (端点を含む) のいずれかに制限することはアルキメデス的であり、したがって Łukasiewicz t ノルムまたは積 t ノルムのいずれかに同型です。非べき等元の同じ開区間に該当しないx、yについては、t ノルムはxとyの最小値に評価されます。これらの条件は、実際には連続 t ノルムの特徴付けを与え、モスタート–シールズ定理と呼ばれます。これは、すべての連続 t ノルムをこのように分解でき、説明した構成から常に連続 t ノルムが得られるためです。この定理は次のように定式化することもできます。

t ノルムが連続となるのは、それが最小値、Łukasiewicz、および積 t ノルムの順序和に同型である場合のみです。

非連続 t ノルムに対する同様の特性定理は知られておらず (左連続のものでさえも)、 t ノルムを構築するための非網羅的な方法がいくつか発見されているだけです。

任意の左連続tノルムに対して、 [0, 1]上の 唯一の二項演算が存在し、${\displaystyle \top}$${\displaystyle \Rightarrow}$

${\displaystyle \top (z,x)\leq y}$もし、もし、${\displaystyle z\leq (x\Rightarrow y)}$

[0, 1]内のすべてのx、y、zに対してです。この演算はtノルムの残差と呼ばれます。接頭表記では、tノルムの残差はまたは文字Rで 表されることが多いです。${\displaystyle \top}$${\displaystyle {\vec {\top }}}$

t-ノルムとその剰余を備えた区間 [0, 1] は剰余格子 を形成します。t-ノルム T とその剰余 R の関係は、随伴（具体的にはガロア接続）の例です。剰余は、格子 [0, 1] の各x をposet カテゴリとしてとった場合、関数 T(–, x ) に対する右随伴 R( x , –) を形成します。

t-ノルムに基づくファジー論理の標準的な意味論では、論理積は t-ノルムによって解釈され、残差は含意（多くの場合、R-含意と呼ばれる）の役割を果たします。

が左連続tノルムの残差である場合、 ${\displaystyle \Rightarrow}$${\displaystyle \top}$

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid \top (z,x)\leq y\}.}$

その結果、単位区間内の すべてのx、yについて、

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=1}$もし、もし、${\displaystyle x\leq y}$

そして

${\displaystyle (1\Rightarrow y)=y.}$

が左連続tノルムであり、その剰余が ${\displaystyle *}$${\displaystyle \Rightarrow}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\min(x,y)&\geq &x*(x\Rightarrow y)\\\max(x,y)&=&\min((x\Rightarrow y)\Rightarrow y,(y\Rightarrow x)\Rightarrow x).\end{array}}}$

が連続している場合、前者では等式が成立します。 ${\displaystyle *}$

x ≤ yの場合、任意の残差 R に対して R( x , y ) = 1 となります。したがって、次の表はx > yの場合のみの主要な残差の値を示しています。

T-コノルム（S-ノルムとも呼ばれる）は、1 – xを[0, 1]上のxに割り当てる順序反転操作の下でt-ノルムと双対である。t-ノルムが与えられた場合、相補コノルムは次のように定義される。 ${\displaystyle \top}$

${\displaystyle \bot (a,b)=1-\top (1-a,1-b).}$

これはド・モルガンの法則を一般化したものです。

したがって、t コノルムは次の条件を満たし、t ノルムとは独立して t コノルムの同等の公理的定義に使用できます。

• 可換性: ⊥( a , b ) = ⊥( b , a )
• 単調性: a ≤ cかつb ≤ d の場合、⊥( a , b ) ≤ ⊥( c , d )
• 結合性: ⊥( a , ⊥( b , c )) = ⊥(⊥( a , b ), c )
• 単位元: ⊥( a , 0) = a

T-コノルムは、ファジー論理における論理和やファジー集合論における論理和を表すために使用されます。

重要な t-コノルムは、著名な t-ノルムと双対となるものです。

• 最大 t-コノルムは 、最小 t-ノルムの双対であり、最小の t-コノルムです (以下の t-コノルムの特性を参照)。これは、ゲーデル ファジー論理における選言と、すべての t-ノルム ベースのファジー論理における弱選言の標準的なセマンティクスです。${\displaystyle \bot _{\mathrm {max} }(a,b)=\max\{a,b\}}$

• 確率和は 積 t ノルムの双対です。確率論では、これは独立したイベントの和の確率を表します。また、積ファジー論理の拡張で定義可能なもの (たとえば、反転否定を含むもの) における強い選言の標準的な意味論でもあります。${\displaystyle \bot _{\mathrm {sum} }(a,b)=a+ba\cdot b=1-(1-a)\cdot (1-b)}$

• 有界和は Łukasiewicz t-ノルムの双対です。これはŁukasiewicz ファジー論理における強い選言の標準的な意味論です。${\displaystyle \bot _{\mathrm {Luk} }(a,b)=\min\{a+b,1\}}$

• 劇的なTコンフォーマンス

${\displaystyle \bot _{\mathrm {D} }(a,b)={\begin{cases}b&{\mbox{if }}a=0\\a&{\mbox{if }}b=0\\1&{\mbox{otherwise,}}\end{cases}}}$

drastic t-ノルムの双対である t-コノルムは、最大の t-コノルムです (以下の t-コノルムの特性を参照してください)。

• べき零最大値、べき零最小値の双対:

${\displaystyle \bot _{\mathrm {nM} }(a,b)={\begin{cases}\max(a,b)&{\mbox{if }}a+b<1\\1&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

• アインシュタイン和（特殊相対論における速度加算式と比較）

${\displaystyle \bot _{\mathrm {H} _{2}}(a,b)={\frac {a+b}{1+ab}}}$

はハマッカーのtノルムの1つと双対です。

t-コノルムの多くの特性は、t-ノルムの特性を双対化することで得られます。たとえば、次のようになります。

• 任意のt-コノルム⊥に対して、数1は消滅要素です: ⊥( a ,1) = 1（任意のaが[0,1]内に存在する場合）。
• t-ノルムと同様に、すべてのt-コノルムは最大t-コノルムと劇的t-コノルムによって制限されます。

${\displaystyle \mathrm {\bot _{max}} (a,b)\leq \bot (a,b)\leq \bot _{\mathrm {D} }(a,b)}$、任意のt-コノルムおよび[0, 1]内のすべてのa、bに対して。${\displaystyle \bot}$

t-ノルムとt-コノルムの関係、または他の演算子との相互作用から、さらなる特性が生じます。例:

• t-ノルムTはt-コノルム⊥上で分配される。つまり、

T( x , ⊥( y , z )) = ⊥(T( x , y ), T( x , z )) であり、任意のx、y、zは [0, 1] の範囲内である。

⊥ が最大 t-コノルムである場合に限ります。双対的に、任意の t-コノルムは最小値には分配されますが、他の任意の t-ノルムには分配されません。

否定子は、 およびとなる単調減少写像である。否定子nは、 ${\displaystyle n\colon [0,1]\to [0,1]}$${\displaystyle n(0)=1}$${\displaystyle n(1)=0}$

• 厳密な単調性の場合は厳密であり、
• 厳密かつ包含的である場合、つまりすべて[0, 1] の場合、強い。${\displaystyle n(n(x))=x}$${\displaystyle x}$

標準（標準）否定子は であり 、厳密かつ強力です。標準否定子は上記の t-ノルム/t-コノルム ペアの定義で使用されているため、次のように一般化できます。 ${\displaystyle n(x)=1-x,\ x\in [0,1]}$

ド・モルガン三重項とは、(T,⊥, n )の三重項であり、^[1]

1. Tはtノルムである
2. ⊥は、前述のt-コノルムの公理的定義によればt-コノルムである。
3. nは強い否定語である
4. ${\displaystyle \forall a,b\in [0,1]\colon \ n({\perp }(a,b))=\top (n(a),n(b))}$。

• t-ノルムの構築
• T-ノルムファジー論理

• クレメント、エーリッヒ・ペーター。メシアル、ラドコ。および Pap、Endre (2000)、三角規範。ドルドレヒト: クルーワー。ISBN  0-7923-6416-3。
• ペトル・ハジェク(1998)、ファジー論理のメタ数学。ドルドレヒト: クルーワー。ISBN 0-7923-5238-6 
• チニョーリ、ロベルト LO; D'Ottaviano, イタラ ML ;および Mundici、Daniele (2000)、多値推論の代数的基礎。ドルドレヒト: クルーワー。ISBN 0-7923-6009-5 
• Fodor, János (2004)、「ファジー論理における左連続t-ノルム：概要」Acta Polytechnica Hungarica 1 (2)、ISSN  1785-8860 [1]