関数の零点

関数のグラフ${\displaystyle \cos(x)}$のために${\displaystyle x}$で${\displaystyle \left[-2\pi ,2\pi \right]}$ゼロは​${\displaystyle -{\tfrac {3\pi }{2}},\;-{\tfrac {\pi }{2}},\;{\tfrac {\pi }{2}}}$、 そして${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{2}},}$赤色でマークされています

数学において、実数値関数、複素数値関数、または一般的にベクトル値関数の零点（根とも呼ばれる）${\displaystyle f}$はメンバーです${\displaystyle x}$の領域​${\displaystyle f}$そのため${\displaystyle f(x)}$消える​${\displaystyle x}$;つまり、関数${\displaystyle f}$0 の値に達する${\displaystyle x}$または同等に、${\displaystyle x}$は方程式の解です${\displaystyle f(x)=0}$関数の「ゼロ」とは、出力が0になる入力値のことである。^{[ 1 ]}

多項式の根とは、対応する多項式関数の零点のことである。^{[ 2 ]}代数学の基本定理によれば、零でない多項式は次数以下の根を持ち、複素根（より一般的には、代数的に閉じた拡張における根）を重複度で数えると、根の数と次数は等しくなる。^{[ 3 ]}例えば、多項式${\displaystyle f}$次数が２で、定義される${\displaystyle f(x)=x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)}$2と3という2つの根（または零点）を持つ。 $${\displaystyle f(2)=2^{2}-5\times 2+6=0{\text{ および }}f(3)=3^{2}-5\times 3+6=0.}$$

関数が実数を実数に写像する場合、その零点は${\displaystyle x}$グラフがx軸と交わる点の座標。このような点の別名。${\displaystyle (x,0)}$この文脈では${\displaystyle x}$-切片。

未知数を含むすべての方程式${\displaystyle x}$次のように書き換えることができます

${\displaystyle f(x)=0}$

左辺のすべての項をまとめると、このような方程式の解は関数の零点と正確に一致することがわかります。${\displaystyle f}$言い換えれば、「関数の零点」とはまさに「関数を0に等しいとおくことによって得られる方程式の解」であり、関数の零点の研究は方程式の解の研究と全く同じである。

奇数次の実多項式はすべて奇数個の実根を持ちます（重複度を考慮して）。同様に、偶数次の実多項式は偶数個の実根を持ちます。したがって、奇数次の実多項式は少なくとも1つの実根を持ちます（最小の奇数は1であるため）。一方、偶数次の実多項式は実根を持たない場合があります。この原理は中間値の定理を参照することで証明できます。多項式関数は連続であるため、関数値は負から正、またはその逆（奇関数では常に起こります）に変化する過程でゼロを横切る必要があります。

関数の根の正確な近似値を計算する方法は数多くありますが、最も優れた方法はニュートン法です（根探索アルゴリズムを参照） 。

多項式については、より効率的で、すべての根またはすべての実根を提供する特殊なアルゴリズムがあります。詳細については、「多項式の根の探索」および「実根の分離」を参照してください。

次数が 4 以下の多項式を含むいくつかの多項式は、そのすべての根を係数を用いて代数的に表すことができます。根号による解法を参照してください。

数学のさまざまな分野において、関数の零点集合とは、その関数のすべての零点の集合のことである。より正確には、${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$は実数値関数（またはより一般的には、何らかの加法群の値をとる関数）であり、その零点集合は${\displaystyle f^{-1}(0)}$の逆像​${\displaystyle \{0\}}$で${\displaystyle X}$。

関数の終域に関する同じ仮定の下で、関数のレベルセット${\displaystyle f}$関数の零点集合は${\displaystyle fc}$一部の人にとって${\displaystyle c}$のコドメインにおいて${\displaystyle f.}$

線形写像の零点集合は、その核とも呼ばれる。

関数のコゼロ集合${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$はゼロ集合の補集合である${\displaystyle f}$（つまり、${\displaystyle X}$で${\displaystyle f}$（ゼロではない）。

• 根探索アルゴリズム
• ボルツァーノの定理によれば、区間の両端で符号が逆になる連続関数は、その区間内に少なくとも1つの零点を持つ。
• ガウス・ルーカスの定理によれば、多項式の導関数の複素零点は、その多項式の根の凸包の内側に位置する。
• マーデンの定理は、3次多項式に対するガウス・ルーカス定理の改良版である。
• センドフ予想、ガウス＝ルーカス定理の改良版とされる予想
• 無限遠ではゼロ
• ゼロ交差とは、関数のグラフがゼロ点付近で示す性質のことである。
• 正則関数の零点と極

• ワイススタイン、エリック W. 「ルート」 . MathWorld .