リングのカテゴリー

数学において、環のカテゴリは、 Ringで表され、そのオブジェクトが環（恒等写像を持つ）であり、その射が環準同型（恒等写像を保存する）であるカテゴリです。数学の多くのカテゴリと同様に、環のカテゴリは大きく、すべての環のクラスが適切であることを意味します。

環というカテゴリは具体的なカテゴリであり、オブジェクトは追加の構造（加算と乗算）を持つ集合であり、射はこの構造を保存する関数であることを意味する。自然な忘却関手が存在する。

U  :リング→セット

環の圏を集合の圏に当てはめると、各環はその基底集合に送られる（したがって、加算と乗算の演算は「忘れられる」）。この関手は左随伴関数を持つ。

F  :セット→リング

これは各集合XにXによって生成された自由環を割り当てます。

環の圏をAb（アーベル群の圏）やMon（モノイドの圏）上の具体的な圏として見ることもできる。具体的には、忘却関手

A  :リング→ Ab

M  :リング→モン

これらはそれぞれ乗算と加算を「忘れる」。これらの関数は両方とも左随伴関数を持つ。A の左随伴関数は、すべてのアーベル群X ( Z加群と考えられる)にテンソル環T ( X ) を割り当てる関数である。Mの左随伴関数は、すべてのモノイドXに整モノイド環Z [ X ]を割り当てる関数である。

カテゴリRing は完全かつ余完全であり、すべての小さな極限と余極限がRingに存在することを意味します。他の多くの代数カテゴリと同様に、忘却関手U  : Ring → Set は極限と フィルターされた余極限を作成(および保存)しますが、余積または余等化子は保存しません。AbとMonへの忘却関手も極限を作成および保存します。

リングにおける極限と余極限の例には次のものがあります。

• 整数環 Zは、Ringの初期オブジェクトです。
• ゼロリングは、リングの終端オブジェクトです。
• リングの積は、環の直積で与えられます。これは、加算と乗算が成分ごとに定義された基になる集合の直積です。
• 環族の余積は存在し、群の自由積に類似した構成によって与えられます。非零環の余積は零環になることがあります。特に、因子が互いに素な 特性を持つ場合は常にこれが発生します（( R _i ) _{i ∈ I}の余積の特性は、環R _iのそれぞれの特性を割り切れる必要があるため）。
• Ringのイコライザーは、集合論的なイコライザーにすぎません (2 つの環準同型のイコライザーは常に部分環です)。
• RからSへの2 つの環準同型fとgの共等化子は、r ∈ Rに対して形式f ( r ) − g ( r ) のすべての元によって生成されるイデアルによるSの商です。
• 環準同型f  : R → Sが与えられたとき、 fの核ペア（これはf をそれ自身に引き戻すだけです）はR上の合同関係です。この合同関係によって決定されるイデアルは、まさにfの（環論的な）核です。零射が存在しないため、圏論的な核はRingでは意味をなさないことに注意してください（以下を参照）。

数学で研究される多くのカテゴリとは異なり、 Ring内のオブジェクトのペアの間には必ずしも射が存在するわけではありません。これは、環準同型が恒等性を保持する必要があるという事実の結果です。たとえば、ゼロ環 0から任意の非ゼロ環への射は存在しません。 RからSへの射が存在するための必要条件は、Sの特性がRの特性を割り切ることです。

いくつかのホム集合が空であっても、カテゴリリングは初期オブジェクトを持っているため、 依然として接続されていることに注意してください。

リングにおける射影の特別なクラスには次のものがあります:

• リングにおける同型は、単射な環準同型です。
• リングにおける単射は、単射準同型です。ただし、すべての単射が正規であるわけではありません。
• すべての全射準同型はRingにおけるエピモフィズムですが、その逆は真ではありません。包含Z → Qは非全射エピモフィズムです。任意の可換環Rからその局所化のいずれかへの自然な環準同型は、必ずしも全射ではないエピモフィズムです。
• 射影準同型は、リング内の正則または極値エピモフィズムとして特徴付けることができます(これら 2 つのクラスは一致します)。
• リングにおける双射は、単射なエピモーフィズムです。包含Z → Q は、同型ではない双射の例です。

• 同型性を除いてリングにおける唯一の入射オブジェクトはゼロ環（つまり終端オブジェクト）です。
• 零射がないので、環のカテゴリは前加法カテゴリにはなり得ません。(ただし、単一のオブジェクトを持つカテゴリとして考えた場合、すべての環は前加法カテゴリです)。
• 環の圏は、環⊗ _Zのテンソル積をモノイド積とし、整数環Zを単位対象とする対称モノイド圏である。エックマン・ヒルトン定理から、Ringのモノイドは可換環となる。モノイド (= 可換環) RのRingの対象 (= 環) Aへの作用はR代数である。

環のカテゴリには、いくつかの重要なサブカテゴリがあります。これらには、可換環、整域、主イデアル域、および体という完全なサブカテゴリが含まれます。

可換環の圏はCRingと表記され、その対象がすべて可換環であるRingの完全なサブカテゴリです。この圏は、可換代数の主題における中心的な研究対象の 1 つです。

任意の環は、形式 ( xy − yx ) のすべての元によって生成されるイデアルで商を取ることによって可換にすることができます。これにより、包含関手に左随伴する関手Ring → CRingが定義され、 CRing はRingの反射サブカテゴリになります。生成元集合E上の自由可換環は、変数がEから取られる多項式環Z [ E ]です。これにより、 CRingからSetへの忘却関手に左随伴関手が与えられます。

CRing はRingにおいて極限閉じており、つまりCRingの極限はRingの極限と同じです。ただし、余極限は一般に異なります。余極限は、Ringの余極限の可換商を取ることで形成されます。2 つの可換環の余積は、環のテンソル積で与えられます。また、2 つの非ゼロの可換環の余積はゼロになることがあります。

CRingの反対のカテゴリは、アフィンスキームのカテゴリと同値です。同値性は、可換環をそのスペクトル、つまりアフィンスキームに送る反変関手Specによって与えられます。

フィールドで表される体のカテゴリは、体 をオブジェクトとするCRingの完全なサブカテゴリです。体のカテゴリは、他の代数カテゴリほど適切に動作しません。特に、自由体は存在しません (つまり、忘却関手Field → Setの左随伴はありません)。したがって、フィールド はCRingの反射サブカテゴリではありません。

体のカテゴリは有限完備でも有限余完備でもありません。特に、体には積も余積もありません。

体のカテゴリのもう一つの興味深い側面は、すべての射が単射であるということです。これは、体Fの唯一のイデアルは零イデアルとF自身であるという事実から導かれます。したがって、体の射を体の拡大として見ることができます。

体のカテゴリは連結されていません。異なる特性の体の間には射は存在しません。体の連結成分は、特性pの完全なサブカテゴリです。ここで、p = 0 または は素数です。このようなサブカテゴリにはそれぞれ、初期オブジェクト、つまり特性pの素体( p = 0の場合はQ、それ以外の場合は有限体F _p )があります。

Ringから群のカテゴリGrpへの自然な関手があり、これは各環Rをその単位群 U ( R )に送り、各環準同型をU ( R )への制限に送ります。この関手には、各群Gを整群環Z [ G ]に送る左随伴関数があります。

これらのカテゴリ間の別の関手は、各環Rを、環P( R )上の射影直線に作用する行列環M2 ( R )の単位群に送り_ます。

可換環Rが与えられた場合、そのオブジェクトがすべてR代数であり、その射がR代数準同型であるカテゴリR -Alg を定義できます。

環のカテゴリは特別なケースと考えることができる。すべての環は一意的にZ代数と見なすことができる。環準同型はまさにZ代数準同型である。したがって、環のカテゴリはカテゴリZ-Algと同型である。^{[1]環のカテゴリに関する多くのステートメントは、} R代数のカテゴリに関するステートメントに一般化できる。

各可換環Rに対して、 R加群構造を忘れる関手R -Alg → Ringが存在します。この関手には、各環A をテンソル積R ⊗ _Z Aに送る左随伴関数があります。これは、 r ·( s ⊗ a ) = rs ⊗ aと設定することでR代数として考えられます。

多くの著者は、環が乗法的単位元を持つことを要求せず、したがって、環準同型が単位元を保存すること（存在する場合）を要求しません。これにより、かなり異なるカテゴリが生まれます。区別するために、このような代数構造をrng、その射をrng 準同型と呼びます。すべての rng のカテゴリはRngで表されます。

環のカテゴリRingは、 Rngの非完全 サブカテゴリです。環の間には恒等写像を保存しない rng 準同型写像があり、したがってRingの射ではないため、非完全です。包含関手Ring → Rngには、任意の rng に恒等写像を形式的に付加する左随伴写像があります。包含関手Ring → Rng は極限を尊重しますが、余極限を尊重しません。

ゼロ環はRngの始点オブジェクトと終点オブジェクトの両方として機能します(つまり、ゼロオブジェクトです)。したがって、RngはGrpと同様ですがRing とは異なり、ゼロ射を持ちます。これらは、すべてを 0 にマップする rng 準同型です。ゼロ射が存在するにもかかわらず、Rngはまだ前加法カテゴリではありません。2 つの rng 準同型の点ごとの和は、一般に rng 準同型ではありません。

アーベル群のカテゴリからRngへの完全に忠実な関数が存在し、これはアーベル群を平方ゼロの関連する rngに送信します。

Rngにおける自由構成は、 Ringにおける自由構成よりも自然ではありません。たとえば、集合 { x } によって生成される自由 rng は、定数項のないx上のすべての整多項式の環ですが、 { x }によって生成される自由環は、多項式環 Z [ x ]にすぎません。

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