合理的な多様性

数学において、有理多様体とは、与えられた体K上の代数多様体であり、K上のある次元の射影空間と双有理的に同値である。これは、その関数体が次のものと同型である ことを意味する。

${\displaystyle K(U_{1},\dots ,U_{d}),}$

不定値の集合に対するすべての有理関数の体。ここでd は多様体の 次元です。${\displaystyle \{U_{1},\dots ,U_{d}\}}$

Vを の素イデアルI  = ⟨ f ₁ , ..., f _k ⟩で定義される次元dのアフィン代数多様体とする。V が有理数であれば、にはn  + 1 個の多項式g ₀ , ..., g _nが存在し、次のようになる。言い換えれば、${\displaystyle K[X_{1},\dots,X_{n}]}$${\displaystyle K(U_{1},\dots ,U_{d})}$${\displaystyle f_{i}(g_{1}/g_{0},\ldots ,g_{n}/g_{0})=0.}$ 多様性の 合理的なパラメータ化。${\displaystyle x_{i}={\frac {g_{i}}{g_{0}}}(u_{1},\ldots ,u_{d})}$

逆に、このような有理パラメータ化は、Vの関数体の への体準同型を誘導します。しかし、この準同型は上へのものである必要はありません。このようなパラメータ化が存在する場合、その多様体は単有理であると言われます。Lüroth の定理 (下記参照) は、単有理曲線が有理であることを意味します。Castelnuovo の定理は、標数 0 では、すべての単有理曲面が有理であることを意味します。 ${\displaystyle K(U_{1},\dots ,U_{d})}$

合理性の問題は、与えられた体拡大が、有理多様体の関数体（同型性を除いて）であるという意味で有理的であるかどうかを問うものです。そのような体拡大は、純粋に超越的であるとも記述されます。より正確には、体拡大 の合理性の問題は、超越次数によって与えられた不定数の個数において、上の有理関数体と同型であるか、 というものです。${\displaystyle K\subset L}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

この質問には、フィールドとの構築 方法に応じていくつかの異なるバリエーションがあります。${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$

例えば、を体とし、 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \{y_{1},\dots ,y_{n}\}}$

をK上の不定値とし、それらによってK上に生成される体をLとする。K上のそれらの不定値を並べ替える有限群を考える。標準的なガロア理論によれば、この群作用の不動点の集合はの部分体であり、通常は と表記される。の合理性問題はノイザーの問題と呼ばれ、この不動点体がKの純粋に超越的な拡大であるかどうかを問うものである。ガロア理論に関する論文 (Noether 1918) で、彼女は与えられたガロア群を持つ方程式をパラメータ化する問題を研究し、それを「ノイザーの問題」に帰した。(彼女はこの問題を (Noether 1913) で初めて言及し、そこでは E. Fischer の問題であるとしている。) 彼女は、n = 2、3、または 4 のいずれの場合にもこれが当てはまることを示した。RG Swan (1969) は、 n = 47でGが位数 47 の巡回群で  あるノイザーの問題の反例を見つけた。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{G}}$${\displaystyle K\subset L^{G}}$

有名な事例は、ヤコブ・リュロートが19世紀に解決したリュロートの問題である。リュロートの問題は、単一の不定元Xの有理関数K ( X )の部分拡大Lに関するものである。そのような体はどれもKに等しいか、または有理数でもある。つまり、何らかの有理関数Fに対してL = K ( F ) である。幾何学的に言えば、これは、射影直線から曲線Cへの非定数有理写像は、C の種数が 0である場合にのみ発生するということを意味している。この事実は、リーマン・フルヴィッツの公式から幾何学的に読み取ることができる。

リューロートの定理は非基本的な結果であると考えられることが多いが、古くからいくつかの基本的な短い証明が知られている。これらの簡単な証明は、体論の基礎と原始多項式に対するガウスの補題のみを使用する（例えば^[1]を参照）。

体K上の単有理多様体 Vは有理多様体によって支配される多様体であり、そのためその関数体K ( V ) は有限型の純粋超越体 ( Kが無限大の場合、K ( V ) 上の有限次数に選ぶことができる) に存在する。Lüroth の問題の解は、代数曲線については有理と単有理は同じであることを示し、Castelnuovo の定理は複素曲面については単有理は有理を意味することを意味している。これは、両方とも数論的種数と第二多種数が両方とも消えるという特徴があるからである。Zariski は、特性p  > 0 で単有理だが有理ではない例 ( Zariski 曲面) をいくつか見つけた。Clemens と Griffiths (1972) は、3 次3 次元多様体は一般に有理多様体ではないことを示し、単有理性が有理性を意味しない 3 次元の例を示した。彼らの研究では中間ヤコビアンが使用された。 Iskovskih と Manin (1971) は、特異でない4 次 3 次元多様体はすべて無理数であるが、そのうちのいくつかは有理数であることを示した。Artin と Mumford (1972) は、第 3 コホモロジー群に非自明なねじれを持ついくつかの有理数 3 次元多様体を発見した。これは、それらが有理数ではないことを意味している。

2000年にヤノシュ・コラーは、任意の体Kに対して、少なくとも 2 次元の滑らかな3 次超曲面は、 K上に定義された点を持つ場合、単有理であることを証明しました。これは、3次曲面(代数閉包上の有理多様体)の場合から始まる多くの古典的な結果の改良です。単有理であることが示された多様体の他の例としては、曲線のモジュライ空間の多くのケースがあります。^[2]

有理連結多様体 Vは、代数閉体上の射影代数多様体であり、任意の2点には射影直線からVへの正則写像の像が通る。同様に、任意の2点が多様体に含まれる有理曲線で連結されている場合、多様体は有理連結である。^[3]

この定義は、パスの連結性の定義とはパスの性質によってのみ異なりますが、有理的に連結されている代数曲線は有理数曲線だけであるため、非常に異なります。

射影空間を含むすべての有理多様体は有理連結であるが、その逆は偽である。したがって、有理連結多様体のクラスは、有理多様体のクラスの一般化である。単有理多様体は有理連結であるが、その逆が成り立つかどうかは不明である。

多様体Vが安定有理数であるとは、が何らかの に対して有理数である場合をいう。したがって、任意の有理数多様体は、定義により、安定有理数である。しかし、Beauville ら (1985) によって構築された例は、その逆は偽であることを示す。 ${\displaystyle V\times \mathbf {P} ^{m}}$${\displaystyle m\geq 0}$

Schreieder (2019) は、Vの次数が少なくとも である場合、非常に一般的な超曲面 は安定的に有理ではないことを示しました。 ${\displaystyle V\subset \mathbf {P} ^{N+1}}$${\displaystyle \log_{2}N+2}$

• 有理曲線
• 有理曲面
• セヴェリ・ブラウアー多様体
• 双有理幾何学

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