ヒポペード

幾何学において、ヒッポペード（古代ギリシャ語 のἱπποπέδη （hippopédē）  「馬の足かせ」に由来）は、次の式の方程式によって決定される 平面曲線である。

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=cx^{2}+dy^{2},}$

ここで、残りのケースは単一の点に還元されるか、回転によって指定された形式にすることができるため、c > 0およびc > dであると想定されます。ヒッポペードは、 x軸とy軸の 両方に関して対称な、次数4の双円、有理、代数曲線です。

d > 0 のとき、曲線は楕円形になり、しばしばブースの楕円として知られています。また、d < 0 のとき、曲線は横向きの 8 の字、つまりレムニスケートに似ており、これを研究した19 世紀の数学者ジェームズ ブースにちなんで、ブースのレムニスケートとして知られています。ヒッポペードはプロクロス(プロクロスのヒッポペードと呼ばれることもある) やエウドクソスによっても研究されました。d = − cの場合、ヒッポペードはベルヌーイのレムニスケートに相当します。

ヒッポペデスは、トーラスと平面の交差によって形成される曲線として定義できます。ここで、平面はトーラスの軸に平行で、内部円上でトーラスの軸に接しています。したがって、これは螺旋断面であり、トーリック断面の一種です。

半径aの円をその中心から距離bの軸を中心に回転させると、極座標におけるヒッポペードの方程式は次のようになる。

${\displaystyle r^{2}=4b(ab\sin ^{2}\!\theta )}$

または直交座標で

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+4b(ba)(x^{2}+y^{2})=4b^{2}x^{2}}$。

a > bの場合、トーラスは交差するため、通常のトーラスの図とは似ていないこと に注意してください。

• 曲線のリスト

• Lawrence JD. (1972) Catalog of Special Plane Curves、Dover Publications。145～146 ページ。
• ブース J. 『いくつかの新しい幾何学的手法に関する論文』、ロングマンズ、グリーン、リーダー、ダイアー、ロンドン、第 1 巻 (1873 年) および第 2 巻 (1877 年)。
• Weisstein、Eric W.「Hippopede」。MathWorld。
• 2dcurves.com の「Hippopede」
• 「クールブ・ド・ブース」（Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables）

• ナショナル カーブ バンクの「プロクルスのヒッポペード」