5 21 ハニカム

幾何学において、5 ₂₁ハニカムは、8次元ユークリッド空間の均一なモザイク状配置である。記号5 _21はコクセターに由来し、コクセター・ディンキン図の3つの枝の長さにちなんで名付けられた。^[1]

頂点に球を配置することで、8 次元で可能な限り高密度に球を詰め込むことができます。これは、 2016 年にMaryna Viazovskaによってモジュラー形式理論を使用して証明されました。Viazovska は、この研究により 2022 年に フィールズ賞を受賞しました。

このハニカムはゴセットによって初めて研究され、彼はこれを9次元半正則図形と呼んだ^[2]（ゴセットはn次元のハニカムを退化したn +1多面体 とみなした）。

5 _{21ハニカムの各頂点は、2160 個}の 8 直交複体と 17280個の 8 単体に囲まれています。

ゴセットのハニカムの頂点図形は、半正則4 ₂₁多面体です。これはk ₂₁ファミリーの最後の図形です。

このハニカムは、その対称群 (アフィンワイル群) がk ≤ 6のk面に対して推移的に作用するという意味で、非常に正則です。k ≤ 7のk面はすべて単体です。 ${\displaystyle {\チルダ {E}}_{8}}$

これは、8 次元空間内の 9 つの超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。

2 長さの枝の端にあるノードを削除すると、8 オルソプレックス、6 ₁₁が残ります。

長さ 1 の枝の端にあるノードを削除すると、8 単体が残ります。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、4 ₂₁多面体が作成されます。

頂点図形から環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで、辺図形が決定されます。これにより、3 21多面体_が作成されます。

面図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで、エッジ図形から決定されます。これにより、2 ₂₁多面体が作成されます。

面図形から環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることでセル図形が決定されます。これにより、1 ₂₁多面体が作成されます。

このタイル分割の各頂点は、8 次元で最も密に詰め込まれた7 次元球面の中心です。その接吻数は240 で、頂点図 4 ₂₁の頂点で表されます。

${\displaystyle {\チルダ {E}}_{8}}$は指数5760のサブグループとして含む^。[3]と は両方とも異なるノードからのアフィン拡張として見ることができる。${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$${\displaystyle {\チルダ {E}}_{8}}$${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$${\displaystyle A_{8}}$

${\displaystyle {\チルダ {E}}_{8}}$は指数270のサブグループとして含む^。[4]と は両方とも異なるノードからのアフィン拡張として見ることができる。${\displaystyle {\チルダ {D}}_{8}}$${\displaystyle {\チルダ {E}}_{8}}$${\displaystyle {\チルダ {D}}_{8}}$${\displaystyle D_{8}}$

5 ₂₁の頂点配置はE8格子と呼ばれる。^[5]

E8格子は、2つの8デミキューブハニカムの頂点の和集合（D82格子またはD8+格子と呼ばれる_）^として構築_する^{ことも、3つの}8単体ハニカムの頂点の和集合（A83_{格子と呼ばれる}^）として構築することもできます。^[6]

=∪=∪∪

複素数座標系を用いると、記号3{3}3{3}3{3}3{3}3とコクセター図で表される正多面体として構成することもできる。${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$ _{その要素は、1頂点、80 3辺、270 3} {3} ₃面、80 ₃ {3} ₃ {3} ₃セル、1 ₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃ ウィッティング多面体セルという相対的な割合です。 ^[7]

5 ₂₁は、1900 年にThorold Gossetによって特定された半正多面体の次元シリーズの 7 番目です。シーケンスの各メンバーは、その前の要素を頂点図形としています。これらの多面体のすべての面は正多面体、つまり単体と正多面体です。

• E8ラティス
• 1 ₅₂ハニカム
• 2 ₅₁ハニカム

• コクセター 『幾何学の美：12のエッセイ』、ドーバー出版、1999年、ISBN 978-0-486-40919-1（第3章：ワイトフの一様多面体の構築） 
• コクセター、HSM (1973)。正多面体（第3版）。ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 0-486-61480-8。
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• NWジョンソン：幾何学と変換、（2015）