球体充填

幾何学において、球体充填とは、包含空間内に重なり合わない球体を配置することを指します。通常、対象となる球体はすべて同じ大きさであり、空間は通常、3次元ユークリッド空間です。しかし、球体充填問題は、大きさが異なる球体、他の次元の空間（この場合、問題は2次元では円充填、より高次元では超球充填となります）、あるいは双曲空間のような非ユークリッド空間にも一般化することができます。

典型的な球体充填問題は、球体が空間をできるだけ多く埋めるような配置を見つけることです。球体が占める空間の割合を、その配置の充填密度と呼びます。無限空間における充填の局所密度は、測定する体積によって変化する可能性があるため、通常は、十分に大きな体積で測定した平均密度または漸近密度を最大化することが問題となります。

3次元空間における等しい球体の場合、最も密な充填では体積の約74%が使用される。等しい球体のランダム充填では、一般的に密度は約63.5%となる。^{[ 1 ]}

格子配置（一般に規則配置と呼ばれる）とは、格子の点が非常に対称的なパターンを形成し、n次元ユークリッド空間ではn個のベクトルだけで定義できる配置のことです。格子配置は周期的であり、格子を平行移動（移動）してある点を別の点があった場所に移動しても、配置は以前と同じになるという性質を持ちます。点が格子を形成しない配置でも周期的になることがありますが、ランダム配置のように非周期的になる場合もあります。格子充填は、その高い対称性のため、格子でない充填よりも分類が容易です。周期的な格子は、明確な密度を持ちます。

球体を密に詰め込んだ集合体を作ろうとすると、次の球体を常に3つの球体の間の空洞に置きたくなるでしょう。このようにして5つの球体を組み立てると、上記の規則的な充填配置のいずれかと一致します。しかし、このように6番目の球体を配置すると、構造は規則的な配置と一致しなくなります。この結果、圧縮に対して安定した球体のランダムな密充填が可能になります。 ^{[ 8 ]}ランダムな緩い充填の振動により、球状粒子が規則的な充填に配列されることがあり、これは粒状結晶化として知られるプロセスです。このようなプロセスは、球状粒子を保持する容器の形状に依存します。^{[ 2 ]}

球体を容器にランダムに追加して圧縮すると、それ以上圧縮できなくなったときに、一般的に「不規則」または「詰まった」充填構成を形成します。この不規則な充填の密度は、一般的に約 64% です。最近の研究では、密度の限界が 63.4% を超えることはないことが解析的に予測されています^{[ 9 ]}この状況は、1 次元または 2 次元の球体 (つまり、線分または円) の集合を圧縮すると規則的な充填が得られる 1 次元または 2 次元の場合とは異なります。

球体充填問題は、任意の次元における球体充填問題の3次元版である。2次元では、同等の問題は平面上に円を充填することである。1次元では、線分を線形空間に充填することである。^{[ 10 ]}

超球体の最も密な格子充填は、1～8次元と24次元で知られています。^{[ 11 ]}非格子超球体充填については比較的知られておらず、最適な結果は1～3次元、8次元、24次元でのみ知られています。一部の次元では、最も密な充填が不規則である可能性があります。この推測を裏付ける証拠として、特定の次元（例えば10次元）では、既知の最も密な不規則充填が、既知の最も密な規則充填よりも密であるという事実があります。^{[ 12 ]}

2016年、マリーナ_・ヴィアゾフスカは、充填密度が${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{4}}{2^{4}4!}}}$は、8次元空間において（規則性に関わらず）最適な充填を提供する。^{[ 13 ]}その後まもなく、彼女と共同研究者グループは、密度が のリーチ格子が であることを示す同様の証明を発表した。${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}}$は 24 次元で最適です。^{[ 14 ]}これらの結果は、これら 2 つの格子が最適に非常に近いことを示した以前の方法に基づいて構築され、改善されました。 ^{[ 15 ]} 新しい証明では、慎重に選択されたモジュラー関数のラプラス変換を使用して、原点でfとそのフーリエ変換f̂の両方が1 に等しく、最適格子の他のすべての点で両方ともゼロになるような放射対称関数fを構築します。fは充填の中心球の外側で負になり、f̂ は正になります。次に、fのポアソン総和公式を使用して、最適格子の密度を他の任意の充填の密度と比較します。^{[ 16 ]}証明が正式に査読され出版される前に、数学者のPeter Sarnak は証明を「驚くほど単純」と呼び、「論文を読み始めるだけで、これが正しいことがわかります」と書いています。^{[ 17 ]}  

高次元におけるもう一つの研究分野は、最も密な充填構造の密度の漸近的な上限を見つけることである。nが大きい場合、 n次元における最も密な格子は密度を持つことが知られている。${\displaystyle \theta (n)}$cn ⋅ 2 ^{− n} (定数cの場合) と2 ^{−(0.599+o(1)) n}の間。^{[ 18 ]} 予想境界はその間にあります。^{[ 19 ]} 2023 年のプレプリントで、Marcelo Campos、Matthew Jenssen、Marcus Michelen、Julian Sahasrabudheは、最大密度の下限の改善を発表しました。${\displaystyle \theta (n)\geq (1-o(1)){\frac {n\ln n}{2^{n+1}}}}$; ^{[ 20 ] [ 21 ]}彼らの技術の中には、レードルニブルが用いられている。2025年4月のプレプリントで、ボアズ・クラルタグは、さらに大幅な改善を発表した。${\displaystyle \theta (n)\geq c{\frac {n^{2}}{2^{n}}}}$[ ^{22 ] [ 23 ]それ以来、クラルタグの考えは}さらに改良され、$\displaystyle \theta (n)\geq c{\frac {n^{2}\log \log n}{2^{n}}}}$無限に多くの${\displaystyle n}$[ ^{24 ]​}

化学や物理科学における多くの問題は、複数のサイズの球体が存在する充填問題に関連している。この場合、球体を密に充填された等しい球体の領域に分けるか、複数のサイズの球体を組み合わせて複合充填または間隙充填を行うかの選択肢がある。多くのサイズの球体（またはその分布）が存在する場合、問題はすぐに手に負えなくなるが、2種類のサイズの球体（二元硬球）に関する研究はいくつか存在する。

2番目の球が最初の球よりはるかに小さい場合、大きな球を密に充填し、その隙間に小さな球を配置することが可能です。この隙間充填の密度は半径比に大きく依存しますが、極端なサイズ比の極限では、小さな球が隙間を埋める密度は、大きな球が空間を埋める密度と同じになります。^{[ 26 ]}大きな球が密に充填されていなくても、最大でいくつかの小さな球を挿入することは常に可能です。より大きな球の半径の0.290 99。^{[ 27 ]}

小さい球の半径がより大きい場合より大きな球の半径の0.414 21を超えると、密充填構造の八面体空隙にさえ収まらなくなります。したがって、この点を超えると、ホスト構造が空隙を収容するために膨張するか (これにより全体の密度が低下します)、より複雑な結晶性化合物構造に再配列する必要があります。半径比が最大 10 まで密充填密度を超える構造が知られています。0.659 786 . ^{[ 25 ] [ 28 ]}

このようなバイナリパッキングで得られる密度の上限も、半正定値計画の二乗和階層の連続アナログを使用して得られています。^{[ 29 ]}

イオン結晶など多くの化学的状況では、化学量論は構成イオンの電荷によって制約されます。このパッキングに対する追加的な制約と、相互作用する電荷のクーロンエネルギーを最小化する必要性から、最適なパッキング配置には多様性が生じます。

任意の半径を持つ厳密に密集した球体充填の密度の上限は 1 であり、そのような球体充填の例としてアポロニウス球体充填がある。そのような球体充填の下限は 0 であり、例としてディオニュソス球体充填がある。^{[ 30 ]}  

円や球の概念は双曲空間にも拡張できますが、最も密な充填を見つけることははるかに難しくなります。双曲空間では、別の球を囲むことができる球の数に制限はありません（たとえば、フォード円は、各円が無限個の他の円に囲まれている同一の双曲円の配置と考えることができます）。平均密度の概念も正確に定義することがはるかに難しくなります。任意の双曲空間における最も密な充填は、ほとんどの場合不規則です。^{[ 31 ]}

この困難にもかかわらず、K. Böröczky は、 n ≥ 2の双曲n空間の球充填密度の普遍的な上限を与えている。^{[ 32 ]} 3 次元では、Böröczky の上限は近似的に次のようになる。  85.327 613 %であり、 Schläfli 記号{ 3,3,6 }を持つ6 次四面体ハニカムのホロスフィア充填によって実現される。^{[ 33 ]}この構成に加えて、双曲 3 空間には密度上限を実現する少なくとも 3 つの他のホロスフィア充填が存在することが知られている。 ^{[ 34 ]}

任意の有限単位球のパッキングの接触グラフは、頂点がパッキング要素に対応し、対応する 2 つのパッキング要素が互いに接触する場合に 2 つの頂点が辺で結ばれるグラフです。接触グラフの辺集合の濃度は接触ペアの数を示し、接触グラフの 3 サイクルの数は接触トリプレットの数を示し、接触グラフの四面体の数は接触クワッドの数を示します (一般に、n次元の球パッキングに関連付けられた接触グラフの場合、接触グラフのn単体の集合の濃度は、球パッキングの接触 ( n  + 1) タプルの数を示します )。3 次元ユークリッド空間の場合、接触ペア、トリプレット、およびクワッドの数の非自明な上限^{[ 35 ]}は、カルガリー大学のKaroly Bezdekと Samuel Reidによって証明されました。

n個の同一の球体の配置で、球体間の接触点の数を最大化する問題を見つける問題は、「粘着球体問題」として知られています。n ≤ 11 の場合の最大値は知られていますが、nが大きい場合は推測値しか知られていません。^{[ 36 ]}

超立方体の角に球を詰める（ハミング距離で定義される球をハミング球とする）ことは、誤り訂正符号の設計に対応します。球の半径がtの場合、その中心は (2 t + 1) 誤り訂正符号の符号語になります。格子パッキングは線形符号に対応します。ユークリッド球パッキングと誤り訂正符号の間には、他にも微妙な関係があります。例えば、バイナリ ゴレイ符号は、24 次元のリーチ格子と密接に関連しています。  

これらの関連性の詳細については、ConwayとSloaneによる書籍「Sphere Packings, Lattices and Groups」を参照してください。^{[ 37 ]}

• Aste, T.; Weaire, D. (2000).完全充填の追求. ロンドン: Institute of Physics Publishing. ISBN 0-7503-0648-3。
• Conway, JH ; Sloane, NJH (1998).球体充填、格子、群（第3 版）. Springer. ISBN 0-387-98585-9。
• Sloane, NJA (1984). 「球体の充填」 . Scientific American . 250 : 116–125 . Bibcode : 1984SciAm.250e.116G . doi : 10.1038/scientificamerican0584-116 .

• ダナ・マッケンジー（2002年5月）「素晴らしい混乱」（ニュー・サイエンティスト） – 双曲空間におけるパッキングの非専門的な概説。
• ワイススタイン、エリック W. 「円の充填」 . MathWorld .
• 「球体梱包」 (TE Dorozinski)
• 「3D球体パッキングアプレット」 2009年4月26日にWayback Machineにアーカイブされました。球体パッキングJavaアプレット
• 「球体への球体の最密充填」 Javaアプレット
• 「球体充填のデータベース」（エリック・アグレール）