超弦理論

超弦理論は、自然界のすべての粒子と基本的な力を、小さな超対称弦の振動としてモデル化することで、1つの理論で説明しようとする試みです。

「超弦理論」は超対称弦理論の略称です。これは、ボソン弦理論とは異なり、フェルミオンとボソンの両方を考慮し、重力をモデル化するために超対称性を組み込んだ弦理論のバージョンだからです。

第二次超弦革命以来、 5 つの超弦理論 (タイプ I、タイプ IIA、タイプ IIB、HO 、 HE ) は、暫定的にM 理論と呼ばれる単一の理論の異なる限界であると見なされています。

理論物理学における最も深い未解決問題の一つは、量子重力理論を定式化することです。このような理論は、重力を説明し大規模構造に適用される一般相対性理論と、原子スケールで作用する他の3つの基本的な力を説明する量子力学、より具体的には量子場理論の両方を組み込んでいます。

量子場理論、特に標準モデルは、現在、基本的な力を記述する最も成功した理論であるが、興味のある物理量を計算すると、単純に無限大の値が得られる。物理学者は、実験的にテストできる有限値を得るために「これらの無限大を消去する」ために、繰り込みの技術を開発した。この技術は、4つの基本的な力のうち、電磁力、強い力、弱い力の3つには有効であるが、繰り込み不可能な重力には有効ではない。したがって、重力の量子理論の開発には、他の力に使用されるものとは異なる手段が必要である。^[1]

超弦理論、あるいはもっと一般的に弦理論によれば、現実の基本的な構成要素は、プランク長（約 10 ⁻³³  cm）のオーダーの半径を持つ弦です。弦理論の魅力的な特徴は、基本粒子を弦の励起として見ることができることです。弦の張力はプランク力（10 ⁴⁴ ニュートン）のオーダーです。重力子（重力のメッセンジャー粒子として提案されている）は、理論によって波の振幅がゼロの弦であると予測されています。

弦理論がどのようにしてそのスペクトルにフェルミオンを含むのかを研究した結果、 1971年に（西洋では^{[説明が必要]}）超対称性^[2]が発明され、^[3]ボソンとフェルミオンの間の数学的変換が生まれました。フェルミオン振動を含む弦理論は現在「超弦理論」として知られています。

超弦理論は、 1970 年代に始まって以来、多くの異なる研究者の共同の努力により、量子重力、素粒子および凝縮物質物理学、宇宙論、純粋数学とのつながりを持つ幅広く多様な主題に発展してきました。

超弦理論は超対称性に基づいています。超対称粒子は発見されておらず、2011年に大型ハドロン衝突型加速器（LHC）^[4]と2006年にテバトロンで行われた初期調査では、いくつかの範囲が除外されました。^{[5] [自費出版ソース? ] [6] [7] [8]たとえば、}極小超対称標準モデルの スクォークの質量制限は最大1.1 TeV、グルーイノは最大500 GeVです。^{[9] LHCからは、}大きな余剰次元を示唆する報告は出されていません。真空のランドスケープの概念において、真空の数を制限する原理は今のところありません。^[10]

素粒子物理学者の中には、超対称性の実験的検証の欠如に失望した者もおり、すでに超対称性を放棄した者もいる。^[11] ロンドン大学ユニバーシティ・カレッジのジョン・バターワースは、数TeVまでのトップクォークの超パートナーを除いて、より高いエネルギー領域でさえ超対称性の兆候は見られなかったと述べた。ケンブリッジ大学のベン・アラナックは、LHCでの次の試行で新しい粒子が発見されなければ、近い将来にCERNで超対称性が発見される可能性は低いと言えるだろうと述べている。 ^[11]

我々の物理空間は3 つの大きな空間 次元を持つことが観測されており、時間とともに、時空として知られる無限の 4 次元連続体です。しかし、理論が 4 次元以上を含むことを妨げるものは何もありません。弦理論の場合、一貫性を保つには時空が 10 次元 (3D 通常空間 + 1 時間 + 6D超空間) を持つ必要があります。^[12]私たちが 3 次元の空間しか見ていないという事実は、2 つのメカニズムのいずれかで説明できます。余分な次元が非常に小さなスケールでコンパクト化されているか、そうでなければ私たちの世界は、重力以外のすべての既知の粒子が制限されるブレーンに対応する3 次元部分多様体上に存在する可能性があります。

余分な次元がコンパクト化されると、余分な 6 次元はカラビ・ヤウ多様体の形でなければなりません。M 理論のより完全な枠組みでは、それらはG2 多様体の形を取らなければなりません。弦理論と M 理論の特定の正確な対称性はT 双対性(運動量モードを巻き数と交換し、半径 R のコンパクト次元を半径 1/R に変換する) ^{[13]と呼ばれ、異なるカラビ・ヤウ多様体間の}ミラー対称性と呼ばれる同値性の発見につながりました。

超弦理論は、余分な空間次元を提案した最初の理論ではありません。4 +1次元（5D）の重力理論を提案したカルツァ-クラインの理論に基づいていると見ることができます。円上にコンパクト化されると、余分な次元の重力は、残りの3つの大きな空間次元の観点から電磁気学を正確に説明します。したがって、元のカルツァ-クラインの理論は、少なくとも古典的なレベルでは、ゲージと重力の相互作用の統一のプロトタイプですが、さまざまな理由（弱い力と強い力の欠落、パリティの破れの欠如など）により、自然を説明するには不十分であることが知られています。既知のゲージ力を再現するには、より複雑なコンパクトな幾何学が必要です。また、一貫性のある基本的な量子理論を得るには、余分な次元だけでなく、弦理論へのアップグレードが必要です。

理論物理学者は、5つの別々の超弦理論の存在に悩まされていた。このジレンマに対する可能な解決策は、1990年代のいわゆる第二次超弦革命の初めに示唆され、5つの弦理論はM理論と呼ばれる単一の基礎理論の異なる限界である可能性があると示唆した。これはまだ推測の域を出ない。^[14]

一貫性のある 5 つの超弦理論は次のとおりです。

• タイプI の弦は、 10 次元の意味で 1 つの超対称性 (16 個の超電荷) を持ちます。この理論は、他の理論が向きのある閉じた弦に基づいているのに対し、向きのない開いた弦と閉じた弦に基づいているという点で特殊です。
• タイプII 弦理論には、10 次元の意味で 2 つの超対称性 (32 個の超電荷) があります。実際には、タイプ II 弦にはタイプ IIA とタイプ IIB の 2 種類があります。主な違いは、IIA 理論が非カイラル(パリティ保存) であるのに対し、IIB 理論はカイラル (パリティ違反) である点です。
• ヘテロティック弦理論は、タイプ I スーパーストリングとボゾン弦の特殊なハイブリッドに基づいています。10 次元ゲージ グループが異なる 2 種類のヘテロティック弦があります。ヘテロティックE ₈ × E ₈弦とヘテロティックSO(32)弦です。(ヘテロティック SO(32) という名前は、SO(32)リー群の中で、弦理論が SO(32) と等しくない商 Spin(32)/Z ₂を区別するため、やや不正確です。)

カイラルゲージ理論は、異常性のために矛盾することがあります。これは、特定の 1 ループファインマン図がゲージ対称性の量子力学的破綻を引き起こすときに発生します。異常性は、グリーン・シュワルツ機構によって解消されました。

超弦理論は 5 つしかありませんが、実際の実験の詳細な予測を行うには、理論がどのような物理的構成になっているかを正確に知る必要があります。このため、弦理論をテストする作業はかなり複雑になります。なぜなら、私たちの世界と一致する基本的な要件の一部を満たす構成が天文学的に多い (10,500^以上) からです。プランク スケールの極度に遠いことと並んで、これが超弦理論をテストするのが難しいもう 1 つの大きな理由です。

超弦理論の数に対する別のアプローチは、合成代数と呼ばれる数学的構造を参照する。抽象代数の発見では、実数体上の合成代数はわずか7つである。1990年にオーストラリアの物理学者R.フットとGCジョシは、「7つの古典的な超弦理論は、7つの合成代数と1対1に対応している」と述べた。^[15]

一般相対性理論は、通常、かなり広い時空領域にある大きな質量の物体が関係する状況を扱いますが、量子力学は、一般的に原子スケール（小さな時空領域）のシナリオに使用されます。この 2 つが一緒に使用されることはめったになく、それらを組み合わせる最も一般的なケースは、ブラックホールの研究です。ピーク密度、つまり空間内に存在する可能性のある物質の最大量と非常に小さな領域があるため、そのような場所の状況を予測するには、この 2 つを同期させて使用する必要があります。しかし、一緒に使用すると、方程式が崩壊し、虚数距離や 1 次元未満などの不可能な答えが吐き出されます。

これらの不一致の主な問題は、プランクスケール（長さの基本的な小さな単位）の長さでは、一般相対性理論は滑らかで流れるような表面を予測するのに対し、量子力学はランダムで歪んだ表面を予測し、これらはまったく両立しないということです。 超弦理論はこの問題を解決し、点粒子の古典的な概念を弦に置き換えます。 これらの弦の平均直径はプランク長さで、分散は極めて小さいため、プランクスケールの長さの次元の歪みという量子力学的予測は完全に無視されます。 また、これらの表面はブレーンとしてマッピングできます。 これらのブレーンは、それらの間にモルフィズムを持つオブジェクトとして見ることができます。 この場合、モルフィズムは、ブレーン A とブレーン B の間に伸びる弦の状態になります。

特異点は回避される。なぜなら、「ビッグクランチ」の観測結果がゼロサイズに達することは決してないからだ。実際、宇宙が「ビッグクランチ」のようなプロセスを開始する場合、弦理論によれば、宇宙は弦 1 本のサイズよりも小さくなることはなく、その時点で実際に膨張し始める。

D ブレーンは 10 次元弦理論における膜のような物体です。膜を含む 11 次元 M 理論のカルツァ・クラインのコンパクト化の結果として発生すると考えられます。幾何学理論のコンパクト化により余分なベクトル場が生成されるため、弦の作用に余分な U(1) ベクトル場を追加することで、D ブレーンを作用に含めることができます。

${\displaystyle \partial _{z}\rightarrow \partial _{z}+iA_{z}(z,{\overline {z}})}$

タイプ I の開弦理論では、開弦の端は常に D ブレーン表面に付着しています。SU(2) ゲージ場などのゲージ場をさらに持つ弦理論は、11 次元を超える高次元理論のコンパクト化に対応することになりますが、これは現在まで不可能だと考えられています。さらに、D ブレーンに付着したタキオンは、それらの D ブレーンが消滅に関して不安定であることを示しています。タキオンの全エネルギーは、D ブレーンの全エネルギーです (または反映します)。

10 次元の超対称理論では、32 成分のマヨラナ スピノルが許容されます。これは、16 成分のマヨラナ ワイル (カイラル)スピノルのペアに分解できます。この 2 つのスピノルが同じカイラリティを持つか、反対のカイラリティを持つかによって、不変量を構築するさまざまな方法があります。

_{ヘテロティック超弦には、上で示したようにSO(32)とE 8} ×E ₈の2つのタイプがあり、タイプIの超弦には開いた弦が含まれます。

5 つの超弦理論は、おそらく膜を含む高次元の理論に近似されると考えられます。この作用は 4 次以上の項を含むためガウス分布ではないため、関数積分を解くのは非常に難しく、これがトップクラスの理論物理学者を困惑させています。エドワード・ウィッテンは、超弦理論の既知の対称性から補間する膜を含む、M 理論と呼ばれる 11 次元の理論の概念を普及させました。高次元には膜モデルやその他の非膜モデルが存在することが判明する可能性があり、非可換幾何学などの自然の新しい未知の対称性が見つかったときに受け入れられる可能性があります。ただし、SO(16) は最大の例外リー群である E8 の最大部分群であり、標準モデルを収容するのに十分な大きさであるため、16 がおそらく最大値であると考えられています。非関数型の 4 次積分は解くのがより簡単なので、将来に希望があります。これは級数解であり、a がゼロ以外で負の場合には常に収束します。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp({ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+f})\,dx=e^{f}\sum _{n,m,p=0}^{\infty }{\frac {b^{4n}}{(4n)!}}{\frac {c^{2m}}{(2m)!}}{\frac {d^{4p}}{(4p)!}}{\frac {\Gamma (3n+m+p+{\frac {1}{4}})}{a^{3n+m+p+{\frac {1}{4}}}}}}$

膜の場合、この級数は弦理論では見られないさまざまな膜相互作用の合計に対応します。

高次元の理論を研究するには、10 次元の超弦理論を調べ、よりわかりにくい結果をコンパクト化された次元の観点から解釈することがしばしば必要になります。たとえば、D ブレーンは11 次元 M 理論からはコンパクト化された膜として見られます。12 次元 F 理論やそれ以上の高次元の理論は、U(1) より高いゲージ項などの他の効果を生み出します。D ブレーンの作用における余分なベクトル場 (A) の成分は、変装した余分な座標 (X) と考えることができます。しかし、超対称性を含む既知の対称性は現在、スピノルを32 成分に制限しており、次元の数は 11 (または 2 つの時間次元を含めると 12) に制限されます。一部の物理学者 (例: John Baezら) は、最大直交部分群 SO(10)、SO(12)、SO(16) を持つ例外的なリー群E ₆、E ₇、E _{8 が}、 10、12、16 次元の理論に関連しているのではないかと推測しています。10 次元は弦理論に対応し、12 次元と 16 次元の理論はまだ発見されていませんが、それぞれ 3 次元ブレーンと 7 次元ブレーンに基づく理論になります。ただし、これは弦理論コミュニティ内では少数派の見解です。 E _{7 は}ある意味で F _{4 の}四元数であり、E _{8 は}F _{4 の}八元数であるため、12 次元と 16 次元の理論が存在する場合、それぞれ四元数と八元数に基づく非可換幾何学が含まれる可能性があります。上記の議論から、物理学者は現在の 10 次元理論を超えて超弦理論を拡張するための多くのアイデアを持っているが、これまでのところすべて成功していないことがわかります。

弦は無限の数のモードを持つことができるため、弦理論を記述するために使用される対称性は、無限次元リー代数に基づいています。M理論の対称性として考えられてきたカッツ・ムーディ代数には、E ₁₀と E ₁₁およびそれらの超対称拡張があります。

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• ポルチンスキー、ジョセフ (1998a)。弦理論第 1 巻:ボソン弦入門。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-63303-1。
• ポルチンスキー、ジョセフ（1998b）。弦理論第2巻：超弦理論とその先。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-63304-8。